Ejemplo resuelto: solución lineal de una ecuación diferencial

vamos a ponernos un poco más cómodos en la comprensión de lo que es una ecuación diferencial y aquí tenemos justamente una ecuación diferencial y no hemos explorado aún cómo hallar las soluciones de una ecuación diferencial pero digamos que tú ves esto y alguien por la calle no se te dice oye te daré una pista hay una solución a esta ecuación diferencial que es una función lineal y cuando pensamos en una función lineal pensamos algo de la forma m x más de verdad entonces esa pista que nos han dado nos dicen que desde la de esta forma es una función lineal y lo que nosotros tenemos que hacer es determinar qué valores de m y qué valores debe satisfacen la ecuación bueno más bien hacen que esta función satisfaga la ecuación diferencial y esto tiene que ser cierto para todas x verdad que es nuestra variable independiente entonces lo que tenemos que hacer es sustituir y ver qué condiciones debe cumplir tanto la m como la d para que se satisfaga la ecuación entonces por ejemplo si nosotros calculamos la derivada de esta función que es lo que tendríamos la derivada de nuestra función con respecto de x sería la derivada de mx que es m más la derivada de una constante que vale 0 verdad entonces si si nosotros queremos hallar mb que hagan que esa función cumpla la ecuación diferencial tendríamos que del lado izquierdo sería m esto sería menos 2 x tres veces pero en este caso como nos dijo esta persona en la calle es mx + b y finalmente restamos 5 muy bien entonces aquí viene la parte interesante de este problema porque bueno quizás deberíamos ir desarrollando esto para ver si y simplificando tendremos ms menos 2x y ahora desarrollamos esta expresión esto sería 3 m x + 3 b menos 5 verdad o lo que es lo mismo podríamos poner esto como m igual a podríamos agrupar nuestra equis verdad entonces tendríamos 3m -2 aquí está esta 3m y este menos 2 que multiplican a x más la parte constante verdad que es 3 b menos 5 entonces piensa digamos de la siguiente forma del lado izquierdo nosotros tenemos una constante que es la constante m y esto debe ser igual a una constante por x más otra constante pero debe ser cierto para todas x entonces si nos damos cuenta esto que tenemos del lado derecho es algo que cambia con con x mientras que del lado izquierdo tenemos algo constante entonces eso nos dice que esta parte que depende de x debe digamos de alguna forma debe desaparecer verdad y una forma de que esto desaparezca es justamente si este coeficiente de aquí el 3m -2 se vuelve cero o bien otra forma de pensarlo es que esto lo podemos escribir como 0 x + gm debe ser igual a algo por x más otra cosa entonces tenemos que igualar los coeficientes verdad pero tendría que ser 3m -2 y m tendría que ser 3 b los 50 son dos formas de pensarlo y lo que tenemos es justamente que 3m -2 tiene que ser igual a cero o lo que es lo mismo tres m tienen que ser igual a dos o bien m tiene que ser dos tercios verdad y finalmente con esta información que ya ya tenemos con este conocimiento que hemos adquirido ya podemos determinar quién es nuestro nuestra verdad porque tendríamos entonces que b tiene que ser igual a tres b menos cinco de la misma forma que 0 fue 3m -2 verdad entonces m tiene que ser tres b menos cinco o lo que es lo mismo m ya vimos que era dos tercios entonces dos tercios tiene que ser 3b menos cinco y algo que podemos hacer para eliminar este 5 digamos este menos 5 es sumar justamente cinco de ambos lados pero vamos a hacerlo en términos de tercios verdad podríamos nosotros sumar quince tercios quince tercios son justamente cinco entonces eso se cancela y también tendremos que sumar quince tercios del lado izquierdo esto nos dice que diecisiete tercios que es lo que tenemos del lado izquierdo es 3 b y finalmente podemos concluir que nuestra b es 17 tercios entre tres que es 17 novenos entonces ahí tenemos el valor de m que ya está de este lado y el valor debe entonces en resumen si le hacemos caso a esta persona que nos dio la pista de que la solución es de esta forma entonces ya tenemos que valores de m&b satisfacen o más bien hacen que la función satisfaga la ecuación diferencial verdad entonces hemos terminado en ese sentido hemos ya concluido con la solución con una solución de la ecuación diferencial verdad que tendría que ser mx que en este caso es dos tercios de x + b que es 17 novenos y por supuesto te invito a que verifique es que en realidad esta función de aquí esta función que depende de x es una solución a la ecuación diferencial