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Transcripción del video
Vamos a introducirnos ahora A la idea de Ecuaciones Diferenciales y como podemos ver las ecuaciones diferenciales son bastante útiles para modelar y simular fenómenos y entender como estos operan. pero hablaremos de eso luego. Por ahora solo pensemos sobre que, o por lo menos veamos que son las ecuaciones diferenciales en realidad. Entonces si yo escribiera, veamos aquí hay un ejemplo de una ecuacion diferencial, si yo escribiera que la segunda derivada de Y mas dos veces la primera derivada de Y, es igual a tres veces Y esto aquí es una ecuación diferencial. otra manera en que pudiésemos escribirla es si dijeramos que Y es una funcion de x, podemos escribir esto en notación funcional. podríamos escribir la segunda derivada de nuestra funcion con respecto a X mas dos veces la primera derivada de nuestra función es igual a tres veces nuestra función. O si quisiéramos usar la notación de Leibniz, también podríamos escribir, que la segunda derivada de Y con respecto a X mas dos veces la primera derivada de Y con respecto a X es igual a tres veces Y. Todas estas tres ecuaciones representan lo mismo ellas están diciendo, Ok puedo encontrar funciones donde la segunda derivada de la funcion mas dos veces la primera derivada de la funcion es igual a tres veces la función? entonces para quedar claro, ellas estan todas esencialmente diciendo lo mismo. Y tu quizás ya te has dado cuenta por como lo he descrito que la solución de una ecuación diferencial es una función o un grupo de funciones. no es solamente un valor o un grupo de valores. entonces la solucion aqui, la solucion para una ecuacion diferencial es una funcion, o un grupo de funciones es importante comparar esto con una ecuacion tradicional asi que dejame escribir eso. entonces una equacion tradicional, quizás no debería de decir ecuación tradicional, las ecuaciones diferenciales han existido por bastante tiempo entonces podría escribir esto como, una ecuación algebraica con la cual estan familiarizados Una ecuación algebraica puede verse de esta manera voy a escribir una ecuación cuadrática simple digamos X cuadrado mas tres X mas dos es igual a cero. las soluciones para estas ecuaciones algebraicas va a ser unos valores, o unos grupos de valores. podemos resolver esto, va a ser X mas dos multiplicado por X mas uno es igual a cero. entonces X puede ser igual a menos dos o X puede ser igual a menos uno. las soluciones aqui son valores o grupos de valores que satisfacen la ecuación. Aquí es una relación entre una funcion y sus derivadas. entonces las soluciones, o la solucion, va a ser una funcion, o un grupo de funciones. Ahora hagamos esto un poco mas tangible. como la solución para algo como cualquiera de estos tres que en realidad representan lo mismo como se podría la solución ver? en realidad, déjame mover esto un poquito mover esto un poquito para que podamos ver como alguna de estas soluciones se podrían ver déjame borrar esto un poco esta pequeña cosa que tengo aqui entonces voy a darles ejemplos de soluciones aqui. vamos a verificar que estas son en realidad soluciones para lo que creo, es en realidad solo una ecuacion diferencial representada en varias maneras. pero espero puedan apreciar como se ve la solucion para una ecuacion diferencial y que en ocasiones hay mas de una sola solucion existen grupos enteros de funciones que pudieran ser una solucion entonces una solucion para esta ecuacion diferencial, y voy a escribirla como nuestra primera solucion. entonces una solucion, y voy a llamarla Y uno y pudiera escribirla como Y uno de X para hacer explicito que es una funcion de X una solucion es Y uno de X es igual a e elevado a la menos tres X y los animo a que detengan este video y consigan la primera derivada de Y uno y la segunda derivada de Y uno y verifiquen que en realidad satisface esta ecuación diferencial asumo que han intentado entonces trabajemos esto juntos entonces esto es Y uno. la primera derivada de Y uno, tenemos que aplicar la regla de cadena aqui la derivada de menos tres X con respecto a X es menos tres y la derivada de "e" elevado a la menos tres X con respecto a a menos tres X es tan solo "e" elevado a la menos tres X y si tomamos la segunda derivada de Y uno esto es igual a exactamente lo mismo la derivada de esto es tres veces menos tres va a ser nueve "e" elevado a la menos tres X y ahora podemos substituir estos valores dentro de la ecuación diferencial, o estas expresiones en la ecuacion diferencial para verificar que esto es en realidad verdadero para esta funcion entonces verifiquemos eso entonces primero tenemos la segunda derivada de Y eso es el termino justo aqui entonces tenemos nueve "e" elevado a la menos tres X mas dos veces la primera derivada eso va a ser dos veces esto que esta aqui entonces va a ser menos seis, voy a escribir mas, menos seis "e" elevado a la menos tres X noten que yo solo tome esto dos veces la primera derivada dos veces la primera derivada va a ser igual o necesita ser igual a, si esto satisface en realidad si Y en realidad satisface la ecuacion diferencial, esto necesita ser igual a tres veces Y. bueno tres veces Y es tres veces "e" elevado a la menos tres X tres "e" elevado a la menos tres X veamos si eso es en realidad verdad entonces estos dos términos de aqui nueve "e" elevado a la menos tres X esencialmente menos seis "e" elevado a la menos tres X eso va a ser tres "e" elevado a la menos tres X que es igual a tres "e" elevado a la menos tres X entonces Y uno es en realidad una solucion para esta ecuacion diferencial pero como vamos a ver, no es la unica solucion para esta ecuacion diferencial por ejemplo por ejemplo digamos que Y dos es igual a "e" elevado a la X es tambien una solucion para esta ecuacion diferencial y los animo a que detengan el video nuevamente y verificar que es una solucion asumiendo que ya verificaron la primera derivada de esto es bastante simple es "e" elevado a la X segunda derivada, una de las cosas profundas de la funcion exponencial es que la segunda derivada es tambien "e" elevado a la X entonces la segunda derivada, dejame colocarlo en el mismo color entonces la segunda derivada va a ser "e" elevado a la X mas dos veces "e" elevado a la X mas dos veces "e" elevado a la X y es igual a tres veces "e" elevado a la X esto va ser totalmente cierto "e" elevado a la X mas dos "e" elevado a la X es tres "e" elevado a la X entonces Y dos es tambien una solucion para esta ecuacion diferencial bueno esto es un inicio en los proximos videos exploraremos mas esto veremos como son las soluciones que es un grupo de soluciones tecnicas para resolverlas visualizar soluciones para ecuaciones diferenciales y un monton de herramientas para profundizar aun mas