Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:10:08

Transcripción del video

ya hemos visto que si iniciamos con la ecuación diferencial derivada de ye respecto de x igual ayer y con una condición inicial de digamos llevarlo a vencer o iguala o no entonces obtenemos la solución esta solución particular verdad para esta condición inicial de llevarlo a nx iguala a la x y si no te gusta la anotación de función simplemente puedes ponerlo como ye igual a a la x verdad y todo esto es muy fácil de hacer porque es una ecuación diferencial de variables separables pero como verás a medida que avances en este mundo de las ecuaciones diferenciales la mayoría de las ecuaciones diferenciales no son tan fáciles de resolver y de hecho muchas de ellas son imposibles de resolver usando métodos analíticos así que con esto dicho pues qué vamos a hacer muchos fenómenos naturales se describen muy bien con con con las ecuaciones diferenciales pero si no podemos resolverlas entonces deberíamos rendirnos y la respuesta es no no te rindas porque ahora tenemos algo muy importante casi todos en nuestras manos que son las computadoras y son muy buenas con los métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales y al menos ver cómo son ahora bien en este vídeo vamos a explorar uno de los métodos numéricos más directos para próximo para aproximar una solución particular así que para eso vamos a empezar dibujando una tabla que íbamos a dibujar una tabla aquí vamos a poner a x vamos a poner ayer verdad y tenemos algo así y vamos a pintar tan o más bien vamos a a poner los valores también de la deriva de ye con respecto de x verdad y si se acuerdan cuando hicimos campos dependientes lo que hacemos con esta tabla era por ejemplo sea x le damos un valor cero aquí en particular pues sabemos que la deriva de perdón el valor de ye es una verdad el valor de ye es una verdad de nuestra condición inicial y la pendiente nos dice que es el valor de ye que en este caso sería una verdad y entonces uno podría ir haciendo este este método con todos estos puntos del plano con un montón de puntos del plano y entonces al menos podemos esbozar cómo es la pendiente de las soluciones en cada punto verdad entonces algo similar vamos a hacer con esta condición inicial y para para ir creando este método así que dejen hacerlo con un color que llame más la atención verdad entonces aquí estamos diciendo que en la condición inicial es decir en x igual a cero y ye igual aunque este punto de aquí la pendiente vale uno más o menos esa es la pendiente y a diferencia de lo que hemos estado manejando con los campos dependientes en vez de hacerlo con muchos puntos vamos a suponer que está pendiente es es la misma o es constante hasta el siguiente valor de x queramos elegir y usamos vamos a usar esa idea para hallar el siguiente valor de ye que corresponde a esta solución particular verdad entonces qué es lo que quiero decir con todo esto si nosotros consideramos digamos un cambio en x una del ta x igual a uno es decir vamos a ir aumentando x de uno en uno entonces podemos tomarnos por ejemplo podemos sumar 1 verdad que nuestro delta x y ver qué pasa con la solución que pasa en x iguala o no verdad y si consideramos que está pendiente es constante verdad entonces al aumentar 1 en x debe aumentar 1 y nieve verdad entonces el siguiente punto que lo voy a poner de verde sería este de aquí muy bien si nosotros extendiéramos está pendiente de verdad si nosotros hiciéramos está pendiente igual a 1 ahí lo tienen entonces éste sería nuestro siguiente punto verdad que de hecho de hecho lo pinté mal debería más arriba ahí está la verdad en 1,2 ahí está varada lance uno en x entonces avanzó 1 y entonces la aie tendría que ser dos verdad ahora bien si nos fijamos si pensamos que este es un punto de la solución cuál sería su pendiente por la pendiente tendría que ser dos verdad nos dice que es el valor de yeah entonces a partir de este punto por ejemplo ahora si tomas un color rosa nos dice que si avanzamos uno en x tenemos que avanzar 12 nieve verdad entonces si avanzamos uno en x que sería poner aquí dos tenemos que avanzar dos en yesos y significa que estaríamos en el valor 4 verdad entonces aquí tendríamos que estar en el valor 4 ahí lo tienen y esto sería suponer que la pendiente es constante y vale 2 verdad ahora bien eso es aquí en este punto cuál sería la pendiente ahora ya que estamos en este nuevo punto en el 2,4 pues la pendiente tendría que ser cuatro verdad así que vamos a hacer un último punto es decir vamos a sumarle uno a las x tendremos aquí tres y si la pendiente vale 4 esto significa que al aumentar 1 en x aumentamos 4 -es decir tendría que estar en el 8 verdad entonces aquí está el 8 ya que arriba es del 3 pero aquí he aquí a la derecha hasta el 3 y más o menos entonces se ve algo así verdad más o menos ahí tenemos una aproximación de lo que es la solución y entonces tú dirás bueno esto realmente es una muy mala aproximación verdad si nos fijamos en el error como es que va aumentando pues ni las que esta es una muy mala aproximación y yo te diría que en realidad depende de cuáles sean tus objetivos verdad yo aquí quise hacer este ejemplo porque quería hacerlo a mano verdad y por eso tomé mis digamos mis brincos que hago en x o o las distancias que tengo entre cada valor de x muy grande verdad vale uno así que nosotros podríamos intentar hacer otra aproximación cuando por ejemplo un delta x igual a algo más pequeño por ejemplo delta x igual a un medio que 0.5 verdad entonces podríamos intentar hacerlo con ese valor vamos a ver qué nos dábamos a tomarnos una nueva tabla vamos a poner aquí x que íbamos a poner x vamos a poner la aie y vamos a poner el valor de la derivada de ye con respecto de x ahora nosotros tenemos que partir nuevamente de la condición inicial que es el 0-1 verdad y la pendiente vale 1 y entonces seguimos estando en esta condición inicial muy bien ahora bien si nosotros aumentamos punto 5 ahora nos movemos sumamos 0.5 ahora estamos en el 0.5 y si aumentamos la mitad fíjense muy bien si por cada uno que aumentamos de x aumentamos uno de yeah si aumentamos punto 5 vamos a tener que aumentar 0.5 y eso nos dice que hay que estar en 1.5 verdad entonces sí se dan cuenta ya tenemos una mejor aproximación de lo que la solución yo sé que aquí se va a ver muy amontonado pero vamos a ir viendo que esto va a verse cada vez mejor verdad y si ahora estamos en este punto en el 0.5 verdad y 1.5 la derivada en ese punto es el valor de jehú justamente que es 1.5 es decir la pendiente de la solución en ese en ese punto en particular verdad entonces si nosotros volvemos agregar 0.5 digamos no sé nada malo con un color morado agregar un color morado y agregamos 0.5 entonces ahora ya nos encontramos en el punto 1 verdad y si por cada uno de x que avancemos aumentamos 1.5 deie entonces sean segmentados la mitad de x o o más bien un medio perdón entonces vamos a tener que aumentar 0.75 que al sumarse lo está acorde aquí ya teníamos será 2.25 verdad entonces aquí estaremos en 2.25 que es un punto que más o menos corresponde a esa altura y si te das cuenta nada más de estos tres puntos se va viendo que tenemos una mejor aproximación de nuestra solución recordemos que la solución es llegue x iguala a la x entonces si queremos fijarnos por ejemplo en el punto uno lleno no la solución debería ser verdad que de hecho sabemos que es el número de hoy la verdad y si nos fijamos en esta aproximación tenemos que es 2.25 verdad en iguala o perdonen x igual a 1 mientras que en ésta en este otro ejemplo teníamos que valía 2 verdad entonces si te das cuenta esta es una muy mala aproximación este es un poco mejor porque el valor de e es más o menos dos puntos 70 y algo de hecho si tomáramos una del ta x por ejemplo de 0.00 001 entonces tendríamos una muchacha o una mejor aproximación de la solución y de hecho podríamos calcular con mayor precisión el valor de esta constante verdad entonces cómo podrías haberte dado cuenta en este vídeo muchas ecuaciones diferenciales se pueden simular usando distintos métodos numéricos y éste es el más directo de ellos y bueno te preguntarás cómo se llama este método en particular pues este método se le conoce como el método de oyler justamente oyler del que hablamos hace unos segundos verdad oyler el matemático famoso que de hecho trabajó en muchísimas áreas pero bueno este método se le conoce justamente como el método de oyler entonces si te das cuenta este método ayuda muchísimo a calcular el valor de con una mayor precisión aunque en realidad nos ayuda también a encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales al menos de una forma aproximada