Ecuaciones exactas. Ejemplo 1

ok ya llenes tu cerebro con un montón de derivadas parciales de sí respecto de x de y creo que ahora es el momento de hacerlo en realidad con una ecuación diferencial concreta y hacer esto más claro así que vamos a decir que tengo la ecuación diferencial por coseno de x ok más 2 veces x a la aie y qué más le hacemos más seno de equis ok seno de x mas x al cuadrado por ea la y menos 1 y esto último multiplicando a la derivada de ye respecto de x y esto lo igualamos a 0 ok entonces esperemos ya estemos en el modo adecuado para poder resolver esto con una ecuación exacta y ahora lo que hay que observar de esta parte es que este primer término es una función que depende de xy de y lo mismo pasa para esta segunda parte ok podríamos intentar hacerlo por separación de variables pero lleva mucho tiempo darse cuenta que esto no es posible así que si no es por separación de variables pues vamos a intentar si es una ecuación exacta así que ésta procuraremos que sea nuestra función m de xy y está nuestra función ndx ok ahora la prueba para ver si esto es una ecuación exacta es derivar la función m respecto de iu y ver que sea igual a la derivada de n respecto de x ok quien es la derivada de m respecto de y bueno pues esto simplemente será coseno dx más la 2x es una constante para fines de derivar respecto de iu y sólo nos queda 2x por la derivada de alaye que es 2x por ea la y muy bien ahora como es la derivada de n respecto de x bueno si derivamos n tenemos que la derivada de seno simplemente es coseno de x correcto entonces el primer término es fácil es coseno de x y luego a la ye es una constante para fines de derivar respecto de x y la derivada de x cuadrada es 2x y multiplicamos por el iedt y luego la derivada de una constante simplemente 0 ok entonces ahora ya tenemos las derivadas de m respecto de ella y n respecto de x y lo que aquí observamos es que es exactamente igual estas dos expresiones así que ya está hemos demostrado que m su pie es igual a n sub x lo cual nos dice inmediatamente que esta ecuación es exacta ok esta expresión o más bien esta igualdad de expresiones nos dice que esta ecuación es exacta así que mi esposa acaba de colarse detrás de mí y pensé que había algún criterio en casa o algo así es bueno de todos modos que nos dice bueno eso nos dice que hay alguna función sí que depende de xy de y tal que la derivada respecto de x ccm y su derivada respecto de y es igual a n si sabemos cuál es sí entonces podemos reescribir esta ecuación diferencial como la derivada si respecto de x0 ok vamos a resolver para sí ya que sabemos que la derivada respecto de x depp si es m entonces escribimos la parcial de epsy respecto de x es igual a m que en este caso es que por coseno de x más 2 x port y alaia está justo aquí arriba podríamos haber hecho al revés haber empezado con la parcial de eps y respecto de iu y poner la función n pero vamos a hacerlo por el momento con x ahora vamos a obtener una primera aproximación de lo que bueno una aproximación sino lo que vamos a tomar es una deriva perdón no tampoco es una derivada es vamos a tomar la primitiva de ambos lados es decir vamos a integrar de este lado izquierdo respecto de x ok y del otro lado también ok al integrar respecto de x sub x esto va a ser igual vamos a integrar respecto de x por supuesto y esto va a ser igual a la integral de todo esto que es x coseno de x más 2 x x ala y respecto de x ok estamos integrando respecto de x ahora normalmente al integrar esto respecto de x decimos bueno al final me queda una constante pero notemos que también una constante para fines de integral respecto de x puede ser cualquier función que dependa de ella como una constante cierto y bueno esto tiene sentido verdad porque si tomáramos la parcial respecto de x de esta expresión bueno si aquí tenemos una función que depende explícitamente sólo de y entonces al derivar respecto de x toda esta función se anula correcto entonces de todos modos esto simplificará up sí porque al integrar su derivada respecto de x simplemente nos queda si ahora el detalle será integrar esta expresión ya después determinaremos quién es esta función que depende únicamente de ella así que vamos a averiguar quién es este integral vamos a hacerlo en azul y recordemos que ya es una constante para fines de esta integral así que de la primera tenemos que es el seno de x más si integramos todo esto simplemente nos queda la integral de 2x que es x cuadrada que multiplica a la ye entonces solo falta agregar esta función efe y entonces ya tenemos esta expresión previa o preliminar de lo que es si si tomamos la parcial de esto respecto de x vamos a encontrar el integrando cierto que en este caso es m ahora a continuación vamos a ver qué pasa con f de y estamos ya casi a nada de encontrar la solución casi hemos averiguado quién es si excepto por esta función bella ahora bien sabemos que si tomamos la derivada respecto de y debemos encontrar nuestra función n así que vamos a hacer esto vamos a derivar si la parcial de pepsi respecto de y muy bien la parcial de pge y respecto de ella aquí x es una constante entonces simplemente al derivar este término nos queda seno de x ahora sumamos la derivada de este término respecto del x cuadrada es constante y sólo derivamos al ayer que es el ayer y finalmente derivamos efe de respecto de y que es simplemente f prima de i ahora que hicimos tomamos m integramos respecto a xy nos dice muy bien podríamos haber perdido mucha información pero realmente ya tenemos resuelta esta integral y hemos construido todas y de esta forma simplemente vamos a determinar f prima de y eso lo haremos igualando esta expresión con nuestra función n entonces esto vimos que n déjenme encontrarlo acá está en el seno de x x cuadrada por el al menos 1 entonces esto es seno de x y que era que era así más más x cuadrada por al menos 1 eso fue nuestra n original de la ecuación diferencial ahora resolvamos para f prima de y vamos a ver qué se repite en varios términos dejen escribirlo de nuevo seno de x mas x cuadrada a la ye más efe prima de y igual a de este lado tenemos seno de x mas x cuadrada por ea la ye menos 1 y entonces vemos que este seno de x se cancela con este seno de x x cuadra por ea la ye con esta x cuadrada korea la ye y simplemente nos queda una ecuación diferencial de esta forma la derivada de f respecto de ella es igual a 1 así que ahora sólo encontraremos efe resolviendo esta ecuación diferencial que es muy sencilla así que si su derivada es 1 así que esta es nuestra nuestra función efe y podemos agregar cualquier constante c ahora si sustituimos esto cuál sería entonces nuestra si bueno de xy era igual a esta parte que teníamos acá arriba y seno de x seno seno de x ok más más x cuadrada por ella la y más ahora esta función que más se espera en la derivada era menos 1 así que aquí sería menos disculpen disculpen este error bueno sustituyendo esto es menos yemas y entonces que nos dice bien dijimos que la ecuación diferencial de arriba la original usando la regla de la cadena para para usando derivadas parciales podemos reescribir la de la siguiente forma que la derivada total de sí respecto de x era bueno ésta depende de xy de y esto es igual a cero o bien si fuéramos a integrar de ambos lados respecto de x tendríamos que si de xy es igual a una constante es igual a una constante correcto entonces si ya obtuvimos sí entonces simplemente lo sustituimos es decir que por el seno de x mas x cuadrada por ea la ye menos y menos ye más una constante déjenme llamarle ésta hace 1 es igual a otra constante s 2 bien podrían ser las mismas distintas vamos a quedarnos sólo con una constante del lado derecho que es restando las recapitulemos obtuvimos que esta ecuación diferencial era exacta porque porque derivamos esta m respecto de iu y vimos que era igual a esta n al derivar la respecto de x como vimos que eran iguales dijimos ok entonces si es exacta vamos a averiguar cuál es la pge y que necesitamos para resolver el problema entonces si su derivada parcial respecto de x era igual a m por lo cual si integrábamos si integramos esto respecto de x y vamos a obtener la expresión de pepsi excepto por una función que depende exclusivamente de ella ok ahora tomábamos que si deriva vamos la función si respecto de y esto nos tenía que dar igual a n y la f se deriva entonces nos queda al final una ecuación diferencial que deberíamos resolver pero para nuestra función efe al resolver la obtuvimos nuestra app si final y entonces la ecuación diferencial debido a la regla de la cadena utilizando derivadas parciales la re escribíamos como si de xy igual a una constante nos vemos en el próximo vídeo