Ecuaciones exactas. Ejemplo 2

hagamos algunos ejemplos más de ecuaciones diferenciales exactas estos problemas los estoy sacando de la página 80 de mi antiguo libro de ecuaciones diferenciales que es la quinta edición del libro de william boyce y richard y prima sólo quiero hacer esto para asegurarme de que reciban crédito por estos problemas y bueno de todos modos aquí solo voy a dar un montón de ecuaciones diferenciales y vamos a averiguar si estas son exactas o no ok para después de averiguar sus soluciones la primera de ellas vamos a ver vamos a escribir 12 x + 32 x más tres más dos menos dos y esto último vamos a multiplicarlo por mi prima y lo igualamos a cero así que esta función va a ser nuestra m y esta de la derecha va a ser nuestra n muy bien está m y está n ahora se le puede decir a lo mejor a primera vista quién es nuestra app si antes de hacer todo el análisis pero bueno vamos a ver quién es la parcial de m respecto de iu pues es una función que depende sólo de x por lo tanto simplemente será 0 también del lado derecho con nuestra función n vemos que cuál es la tasa de cambio respecto de x o su derivada respecto de x bueno es una función que depende de ella por lo tanto su derivada respecto de x simplemente será 0 ok y de hecho me subí es igual a nsv x porque ambas son 0 lo cual nos dice según todo lo que ya hemos visto que es una ecuación diferencial exacta ok si ustedes lo ven hubieran visto tal vez que en realidad esta es una ecuación de variables separables pero bueno aquí estamos ejercitando este tipo de problemas y vamos a tratar de ver quién es si entonces la derivada de sí respecto de x es 2 x + 3 que es nuestra función m ok ahora la parcial de sí respecto de iu pues es la n que en este caso es 2 - 2 ahora si podemos encontrar nuestra app si sabemos que esto solo es el la derivada total de epsy respecto de x no la derivada total de sí respecto de x nos debe dar igual a 0 que no es otra cosa más que si sube x más si subió porque prima ok y así es como encontramos la relación entre m y n y las derivadas parciales de pepsi ok concluimos como dije anteriormente que la derivada total de epsy respecto de x es igual a cero ahora déjenme cambiar los colores para hacer esto más cómodo esta ecuación diferencial es de la cual queremos encontrar nuestra app si muy bien entonces esto sólo puede ser descrita como la derivada de epsy respecto de x igual a cero utilizando la regla de la cadena que son estas dos líneas que tengo aquí a la derecha así que esta derivada respecto de x corresponde a m esta derivada respecto de que corresponde a n y este es el punto entero de las de las ecuaciones exactas de todos modos vamos a averiguar cuál es nuestra sí pero antes de hacerlo vamos a ver esta expresión vamos a integrar respecto d y si tenemos que si debe ser igual alguna constante y utilizando esta información vamos a ver si podemos resolver quienes si resolviendo si entonces ya tendremos la solución de esta ecuación diferencial dada por esta relación a continuación si tenemos algunas condiciones iniciales podremos determinar quién es la constante c así que vamos a integrar de estos de ambos lados y luego vamos a ver qué pasa entonces si es x cuadrada más 3x que es la integral de este lado derecho y aquí podemos agregar cualquier función que dependa de ella sí porque es una constante aquí hay que agregar una constante pero para fines de integral respecto de x pues cualquier función de jeff puede ser una constante ok entonces vamos a ver con qué continuamos por ejemplo si tomamos la derivada parcial de esto respecto de x pues esta constante o más bien esta función que depende de ella pues se hace cero al derivarse respecto de x por eso es que podemos agregar cualquier función que dependa de lleva ahora usemos esta información tomamos la parcial respecto de y de esta expresión y vamos a igualar con esta de acá arriba de la derecha para ver cómo tiene que ser esta función h entonces la derivada parcial de eps y respecto de ye pues simplemente va a ser la derivada de h porque todo esto es una función que depende de x y al derivar respecto de y pues se anula entonces simplemente tendremos la derivada de h respecto de g muy bien ahora que sabemos que la derivada parcial de epsy respecto de iu es igual a esta expresión de acá arriba entonces esto será igual a 2 y m2 muy bien ahora si queremos averiguar quién es h simplemente integramos respecto de yale a integrales y cuadrada más no perdonó no más no es menos dos más más una constante pero si vieron el ejemplo anterior vamos a ver qué combinaciones de esta constante con la otra pues nos vuelve a dar una constante así que vamos a quedarnos con esta expresión ok entonces sí que depende de xy de y es simplemente x cuadrada más 3x y luego agregamos nuestra función h que en este caso es de cuadrada menos 2 muy bien ya sabemos que una solución de la ecuación diferencial original es sí igual a una constante entonces simplemente la solución de la ecuación diferencial es x cuadrada más 3x base cuadrada menos 2 ye igual a una constante si tuviéramos condiciones iniciales adicionales a todo esto podríamos determinar quiénes se los animó a tomar la derivada respecto de x de esta función de forma implícita por supuesto y que vean que si ustedes derivan de esa forma entonces lo que obtienen es esta ecuación diferencial muy bien por ahora vamos a hacer otro ejemplo vamos a borrar toda la imagen y veamos con mientras más ejemplos veamos pues mejor verdad así que vamos a tomar este 2x más 4 y y ahí luego después vamos a sumarle y hace 12 x menos 2 porque prima igual a cero ok entonces cuál es la derivada parcial de esta expresión respecto de y pues esto simplemente va a ser 4 verdad porque 2x es constante y la derivada parcial de esta expresión respecto de x simplemente va a ser pues 2 la otra parte pues va a ser cero por lo tanto estas dos expresiones al derivar las como lo mencionamos son distintas lo cual quiere decir que no es exacta ok no podemos resolverlo utilizando la técnica que teníamos anteriormente así que vamos a hacer otra vamos a ver me estoy quedando sin tiempo voy a hacer uno que no sea muy complicado digamos 3x cuadrada menos 2x y ok en realidad no quiero correr estas cosas mejor vamos a verlo en el siguiente vídeo nos vemos luego