Ecuaciones exactas. Ejemplo 3

bienvenidos de nuevo solo estoy tratando de mostrarles muchos ejemplos posibles de resolver ecuaciones diferenciales exactas uno intentando primero averiguar si son exactas y entonces si ya lo sabes puedes encontrar la aps y que nos resuelve el problema verdad entonces en el siguiente ejemplo o más bien el que teníamos anteriormente teníamos 3x cuadrada menos 2x y todo más más me faltó más 2 x de equis y ahora sumamos 66 de cuadrada - x cuadrada más 3 y todo esto por de ye igual a cero así que el camino que estaba escrito no es exactamente lo que queremos verdad así que no no tenemos de la forma algo de la forma m fx demás en el x por equis o ye prima igual a cero entonces pero estamos muy cerca realmente como podríamos obtener esta ecuación diferencial pues simplemente derivando perdón dividiendo entre de x ambos lados de la ecuación entonces nos queda 3x cuadrada menos 2 x + 2 ok y pues se cancela la de x y luego 6 y cuadrada menos equis cuadrada más 3 por de y / de x y esto es igual a cero ok entonces ya lo tenemos hemos escrito esto en la forma que que nos da o que nos nos da la intuición de si es una ecuación diferencial exacta o no entonces vamos a revisar esto cuál es la derivada parcial de m respecto de eso perdón que pinte de rosa era una más entonces cuál es la derivada parcial de m respecto de ye pues esto es menos 2 x verdad porque lo demás es constante y la derivada parcial de en el respecto de x pues simplemente será menos dos hechos ok ahí lo tienen la derivada de m respecto de y es igual a la derivada de n respecto de x verdad y como ya hemos visto en otros vídeos anteriores estamos en el caso de una ecuación diferencial exacta ahora tendremos que encontrar nuestra función sí que depende de xy de jeff sabemos que la derivada parcial de epsy respecto de x es m que es el 3 x cuadrada menos 2 x + 2 ok entonces tomaremos la primitiva o la integral respecto de x en ambos lados y que tenemos que si es igual a x al cubo - x cuadrada y ok porque ya es una constante más 2x y una función que depende de de bail y agregamos una función que depende de porque como ya hemos visto en vídeos anteriores derivamos esta expresión respecto de x obtenemos la línea de arriba y entonces pues cualquier derivada de una función que depende de iu respecto de x pues simplemente se anula verdad entonces cómo le hacemos ahora vamos a tomar la derivada parcial de epsy respecto de ella y eso debe ser igual a nuestra función n de acá arriba así que esto será simplemente - x cuadrada ok es más la derivada de h respecto de ella y esto debe ser igual esta función que subrayamos de amarillo así que va a ser igual a 6 cuadrada - x cuadrada + 3 ok entonces quitamos la equis cuadrada de ambos lados y lo que obtenemos es que la derivada de h respecto de y es igual a 6 cuadrada + 3 ahora esta primitiva de de dh prima pues simplemente es 2 y al cubo más 3 verdad simplemente integrando y podríamos poner una constante más pero ya vimos en otros vídeos que no tenemos que preocuparnos demasiado por eso así que cuál es nuestra función si lo voy a escribir con un nuevo color nuestra función si de xy es una función que depende de xy de g y esto será igual a x al cubo - x cuadrada x + + 2 x más nuestra función h que en este caso ya vimos que es 2 y al cubo más 3 y luego podríamos agregar una constante más pero ya vimos que no importa mucho realmente ahora lo que quiero hacer ahora es un poco distinto quiero volver a la intuición porque no quiero que esto sea completamente mecánico así que permítanme mostrarles cómo es la derivada decir respecto de x incluso aún si no su suite si no saben qué es lo que pasa con la regla de la cadena de las derivadas parciales como lo hemos visto anteriormente entonces si derivamos si respecto de x ok utilizando únicamente habilidades de diferenciación implícita pues tenemos la derivada del primer término es 3x cuadrada y luego la segunda pues utilizamos la regla del producto verdad entonces nos va a quedar aquí menos un signo menos y luego la derivada de la primera es 12 x por g y luego hay que sumar x cuadrada por la derivada de la segunda función que en este caso pues simplemente será ye prima ok justamente verdad entonces sólo estamos derivando respecto de x y es una función de x ok muy bien entonces el siguiente término pues su deriva de fácil es simplemente 2 y luego derivamos este término respecto de x pues utilizamos la derivación implícita verdad entonces nos queda simplemente al derivar primero respecto de y pues 6 cuadrada y luego multiplicamos usando la regla de la cadena por la derivada de la función ya que es justamente de prima finalmente vamos a derivar este último término y nos queda 3 y al derivar respecto de x pues nos queda la derivada de respecto x que prima no entonces veamos si podemos simplificar esto esto simplemente será 3x cuadrada menos dos equis y más dos más dos que son justo estos términos que estoy subrayando esos son los que primero me tomé y ahora pues sólo pongamos los demás términos ok esto será de prima ok vamos a factorizar y prima de los demás términos estamos y aquí sería menos x cuadrada muy bien más 6 cuadrada ok solo factor izamos de esos términos más 3 esto es la derivada de nuestra app sí y utilizando la derivación implícita pues es lo que obtenemos y ahora hay que observar qué es exactamente lo mismo que nuestro problema original entonces lo que obtenemos es que el problema original era 3x cuadrada menos 2x más 2 ok todo esto más 6 cuadrada - x cuadrada + 3 y todo esto multiplicando allí prima y esto lo igualamos a 0 que este era nuestro problema original entonces observamos que la derivada de pepsi con respecto a x utilizando la derivación implícita es esto así que esperemos que esto de más intuición de como reescribir esta ecuación porque entonces tendremos que la derivada de pesic respecto de x esto es igual a 0 porque esta es la derivada de pge y con respecto de x que es lo que escribí aquí ahora esto lo que nos implica inmediatamente al tomar una primitiva de ambos lados o la integral como gustes llamarlo es que si de xy es igual a una constante muy bien y sabemos que si es por lo que acaba lo que acabamos de ver en esta en esta línea de acá arriba ok por lo tanto no tenemos que hacerlo cada vez de hecho este paso aquí esté aquí ya habríamos acabado verdad esto solo fue una prueba expedida por algunas inquietudes acerca de que a lo mejor estuviéramos haciendo esto muy mecánico verdad así que hasta este punto de arriba ya teníamos la solución yo sólo quería mostrar en efecto usando la derivación implícita que si se cumple la condición que vimos en alguno de los otros vídeos muy bien es decir en el lado izquierdo de la ecuación diferencial es justo la derivada de sí respecto de x y lo igualamos a 0 pues porque así estaba la ecuación diferencial tomando la primitiva de ambos lados tendremos que si es igual a una constante y esta es la solución de la ecuación diferencial o si deseas escribirlos todo esto pues escribimos x al cubo menos equis cuadrada más 12 x más 2 y al cubo más 3 ya que este es nuestra app si es igual a c que es la solución implícitamente definida de la ecuación diferencial muy bien entonces de todas formas ya he agotado el tiempo otra vez nos veremos en el siguiente vídeo