Nociones de ecuaciones exactas 1 (demostrativo)

ahora les voy a presentar el concepto de ecuaciones exactas y es otro método para resolver un determinado tipo de ecuaciones diferenciales este tema es ecuaciones exactas y antes de mostrarles lo que una ecuación exacta es quiero hablarles un poco de lo que es la construcción para después poder demostrar todo lo que hay detrás de las ecuaciones exactas y que vean que no sale de la nada así que vamos a pensar en una función que depende de dos variables x y ok y vamos a llamar a esta función si de x si de xy así que probablemente no estás familiarizado con la regla de la cadena para funciones de dos variables o en derivadas parciales pero voy a dar un poco de intuición para ello así que si tuviera que derivar esto respecto a x donde además que es una función de x esto lo podemos escribir como llegue no no no lo lo siento no es no no es que es sí si de equis coma ya que es una función de equis ok y lo podemos escribir de esta forma ahora si tuviéramos que tomar la derivada de pepsi con respecto a la variable x e insisto esto es sólo la construcción de lo que vamos a hablar después de ecuaciones diferenciales exactas entonces usando la regla de la cadena y espero que esto sea al menos intuitivamente claro vamos a derivar si respecto a la variable x y luego vamos a sumar la derivada de sí con respecto a iu y por la regla de la cadena derivamos con respecto a x esto debe ser un poco intuitivo estamos tomando la derivada respecto a x y digamos que en ese sentido podemos cancelar la diferencial de del lado derecho y de esta forma pues estamos pensando que estos dos términos pues ahora nos da la derivada total con respecto a x ok ahora vamos a tomar una una función particular de epsy y digo es una es una función muy particular quizás puede tener una una identidad bastante complicada pero digamos por por ahora que sí e insisto es una función de xy de y digamos que esta app si es una función que depende de x digamos f 1 y después lo multiplicamos por una función que depende de ella ok y que además es una suma de un montón de términos de este estilo hasta sumar la enésima función que depende de x por la enésima función que depende de ella ok entonces vamos a suponer que si tiene esta forma y así vamos a quedar claros con la intuición de cómo se deriva esta fórmula que utilizamos anteriormente ahora cuál es la derivada del sí respecto de x es una derivada parcial ok esto sólo implica que según lo que aprendimos en la en el primer curso de cálculo elemental que hay que derivar la parte derecha respecto de x ok entonces vamos a derivar primero la función f 1 respecto a x muy bien y multiplicamos por la segunda que esto es por la regla del producto de la derivada y ahora agregamos la derivada de la segunda por la primera función ok entonces sumamos f1 de x que es la primera por la derivada de la segunda función ok que es simplemente la derivada de g1 respecto de i y ahora usamos la regla de la cadena y derivamos por equis ok si te parece muy extraño hay que revisar los videos de regla de la cadena pero esto que hice aquí louis es sólo para una expresión de esta suma ok derivamos respecto a x a esto y tenemos n términos así que vamos a seguir agregando estas derivadas ok hasta el último de ellos que es la enésima función de x por la enésima función de ayer entonces derivamos la primera respecto de xy multiplicamos por la segunda y sumamos la primera de ellas por la derivada de la segunda que escribimos como g n prima de i y que esto simplemente es consecuencia de la regla del producto y multiplicamos por la derivada de ye respecto de x debido a la regla de la cadena ahora tenemos estos n términos aquí del lado derecho donde cada término era una función de x por una función de y ok ahora para cada uno de ellos hicimos la regla del producto y obtuvimos toda esta fórmula qué pasaría si agrupamos estos términos estos términos que no tienen la derivada de ye respecto de x ok sólo vamos a reordenar en este paso así que vamos a tener f1 prima de x x g1b y que es la derivada de f1 por g1 y sumamos todos los demás términos hasta fn prima de x por gn v y ok eso es todo lo que suman los primeros términos que no tienen la derivada de ye respecto de x ahora todos los términos que si lo tienen que es lo que nos da vamos a ver vamos a hacerlo con un color diferente todos estos términos en los que vamos a agrupar ahora vamos a hacerlo en este paréntesis entonces tenemos f1 de x por g1 prima de i que es derivar respecto a a su variable y sumamos todos los demás términos hasta fn de x por g n prima de y ok y todo esto lo estamos multiplicando por la derivada de y respecto de x ahora aquí parece algo interesante originalmente definimos si como esta fórmula está del lado derecho pero qué es lo que tenemos en el término verde bueno lo que hicimos fue tomarnos esos términos de pepsi y derivar respecto de x ok justo cada uno de los términos porque tomar la derivada respecto x simplemente es derivar f1 o más bien todas las jefes y las funciones que son constantes para fines de derivar respecto de x correcto así la derivada de esto sólo sería la derivada de f 1 ig1 porque eso es constante etcétera entonces todos estos términos se pueden ver como la parcial la derivada parcial de pepsi x ok recordemos que las gesto sólo funcionan como constantes para eso entonces estos términos llevarán la misma lógica ok aquí tomamos si íbamos a derivar lo respecto de y por lo tanto las funciones jefes solamente son constantes para fines de derivar respecto de ella ok y luego multiplicamos por la derivada de jr respecto de x así que en otras palabras vamos a reescribir esto esto verde es la parcial de pge y la parcial de epsy respecto de x más ahora esto de morado es esta parte púrpura esto es la parcial vamos a cambiarle de color esto será la parcial de pge y respecto de i ok y luego multiplicamos por la derivada de y respecto de x eso es básicamente lo que quería mostrarles en este vídeo porque ahora si ya me estoy quedando sin tiempo ahora lo que usamos fue la regla de la cadena para varias variables cuando la segunda variable es una función que depende de la primera ok que también es una función de x sips y es una función de x ideye utilizando las derivadas parciales podemos encontrar esta expresión ok la expresión de la parcial de pepsi respecto de x si ya no era una función de x o si era independiente pues entonces simplemente la derivada de jr respecto de x se hace 0 ok y entonces pues la parcial de eps y nos queda como la parcial de pepsi que realmente es haber hecho nada ok de todos modos quiero que tengan esta fórmula en mente para poder utilizar la intuición que generamos en este vídeo vamos a utilizar esta propiedad en la próxima serie de vídeos y vamos a poder comprender exactamente qué son las ecuaciones exactas ok en este vídeo solo hemos dado intuición no hemos dicho que es una ecuación exacta pero para eso habrá tiempo