Nociones de ecuaciones exactas 2 (demostrativo)

en el vídeo anterior les presenté la idea de la regla de la cadena usando derivadas parciales y dijimos bueno si yo tengo una función sí que es una letra griega y ésta sí depende de dos variables xy de y si quiero tomar la parcial con resto no perdón no quiero tomar la parcial quiero tomar la derivada de eps y respecto de x esto será igual a la parcial de epsy respecto de x más la parcial de pepsi respecto de iu y luego multiplicado por la derivada de y respecto de x ok y en el último vídeo esperemos que haya quedado un poco de intuición créanme tal vez algún día voy a probar bien esto de la regla de la cadena pero si no pueden buscarlo en internet ok por si están interesado en el tema de la de las derivadas parciales y utilizando la regla de la cadena entonces ya estamos listos para resolver las ecuaciones exactas la intuición es un poco no quiero decir difícil porque si tienes la intuición pues la tienes pero bueno lo que pasa es lo siguiente digamos que tenemos esta función sí y vamos a tomar la derivada parcial de epsy con respecto a x primero ok no vamos a seguir escribiendo que depende de xy de y simplemente lo pondremos así y ahora vamos a tomar la derivada parcial de esto respecto de y ok esto simplemente como notación nos va a quedar en términos de operadores digamos como el parcial cuadrado de pepsi respecto de y ok respecto de x donde esto es como una de ree sarita o algo así y también puede escribirse con otra anotación que no tiene toda esta basura de letras a mí me gusta más que es si su x que es derivar primero respecto de x a la función sí y luego respecto a y ok ahora qué sucede cuando tomamos la parcial respecto de x y luego respecto de y ok es decir recordemos que cuando derivamos respecto de x todo lo que involucra ye se queda como constante y al revés ok ahora cuál es la diferencia si cambiáramos el orden es decir qué pasaría y déjenme escribirlo con otro color qué pasaría si primero yo derivo con respecto ayer y luego derivó con respecto a x ok entonces nuevamente como notación esto es la parcial de segundo orden respecto de x respecto de i y esto es en términos de operadores y podría ser un poco confuso aquí verdad porque como que el orden se invierte de este lado estamos pensando en el lado derecho que primero derivamos respecto x y luego derivamos respecto a y de este lado estamos pensando en operadores como si fuera una multiplicación de ellos correcto ok de todos modos vamos a también escribir esto como la parcial perdón si su ya y luego x ok y ahora voy a decir que que si cada uno de los primeros parciales son continuas es decir la parcial de epsy respecto de x y la parcial de eps y respecto de y en algún dominio sin agujeros y que realmente sean continuas en ese lugar este tipo de funciones continuas son las más comunes en un primer curso de cálculo diferencial cierto entonces si estas dos funciones son continuas nos referimos a las primeras derivadas parciales de pepsi ok entonces estas dos van a ser iguales entre sí es decir si sub x es igual a pge y sub x ok ahora vamos a utilizar este conocimiento junto con la regla de la cadena que dijimos en el vídeo anterior ok y esto que acabamos de observar ok esta igualdad para decir qué tipo de ecuaciones diferenciales son las exactas ok y cómo es el aspecto de una ecuación exacta ok ahora una ecuación exacta tiene el siguiente aspecto siempre elegir el color es la parte dura del vídeo pero bueno digamos que tenemos una función m que depende de xy de ye puede ser x cuadrada x coseno de hielo que se ok y luego le sumamos una función n que también depende de xy de iu y multiplicamos por la derivada de ye respecto de x y que esto nos diera 0 bueno esto aún no es una ecuación exacta todavía pero tiene alguna forma que debemos distinguir bueno en realidad el primer impulso debería ser oye esta ecuación es separable porque si es separable a través de álgebra o lo que sea podemos resolverlo de una forma más fácil pero si la vemos como decimos si es una ecuación exacta este patrón aquí parece bastante horrible pero es muy parecido a lo que tenemos de este lado de arriba qué pasa si m fuera la parcial de sí respecto de x ok la parcial de epsy respecto de x es m y qué pasa si la n fuera la parcial de eps y respecto de y ok parcial de epsy respecto de ella sólo estoy diciendo que esto pues no va a suceder al azar digo no va a ser siempre es cierto pero qué tal que sí que tal que de repente m es la parcial de una función respecto de x quien es la parcial respecto de y si esto fuera cierto entonces la ecuación toma esta forma la parcial de epsy respecto de x más la parcial de pge y respecto de y por la derivada de ye respecto de x igual a 0 y esto es exactamente lo que teníamos arriba ok esto simplemente es la derivada de pepsi respecto de x usando la regla de la cadena así que así podemos reescribirlo esto es la derivada respecto de x de una función sí que depende de xy de iu y esto es igual a 0 y ahora si ves una ecuación diferencial y esto de casualidad tiene esta fórmula y te dices oye chico pues no puedo separar la bueno vamos a intentar a ver si es una ecuación exacta y francamente si lo encontramos de esta forma probablemente podamos resolverlo ok entonces si es una ecuación exacta vamos a mostrar cómo utilizar los principios que hemos encontrado anteriormente para llegar a esta fórmula ok en donde está m sería la parcial respecto de x y en la parcial respecto de ella entonces si se puede escribir de esta forma obtenemos una primitiva de ambos lados y entonces escribimos que si es igual a una constante ok y esa sería la solución ok hay dos cosas que debemos preocuparnos primero podrías estar diciendo ok a ver ya te metiste con el rollo de eps y las parciales y todo esto pero como sé que es una ecuación exacta y si ahora sé que es una ecuación exacta entonces cómo resuelvo esto para así así que la forma de averiguar esto es utilizando esta información que tenemos de este lado sabemos que sí y sus derivadas son continuas sobre algún dominio entonces cuando tomes la parcial con respecto a equis y luego hay con respecto a y es lo mismo que hacerlo en el orden inverso ok por lo que hemos dicho anteriormente sale de este lado vamos a marcar estas dos cosas ok entonces si esto es una ecuación exacta muy bien entonces está m será la parcial respecto de x y n serãa la parcial respecto de y vamos a ver qué pasa si tomamos las derivadas de la m y la n primero si de x es igual a m si tomamos la derivada parcial respecto de i íbamos a ponerlo así esto debería ser exactamente igual que la derivada de n respecto de x ok porque fíjense en lo siguiente si su pie es igual a n y si ahora derivamos respecto de x ok ponemos como subíndice x entonces sabemos que la parte de la izquierda es igual ok porque sus parciales son continuas sobre el dominio que ya elegimos entonces la parte derecha también será igual por lo que este es realmente la prueba de cómo sabemos si es una ecuación exacta así que permítanme reescribir todo de nuevo así que si vemos algo de la forma m que depende de xy + n que depende de xy de y por la derivada de y con respecto de x y esto es igual a cero entonces tomamos la derivada de m con respecto de i y luego tomamos la derivada de n con respecto de x ok si estas dos son iguales entonces estamos hablando de una ecuación exacta de hecho es un sí si ok esto será una ecuación diferencial exacta si es una ecuación exacta nos dice que existe una sí que depende de xy de y ok tal que la deriva con respecto de x de essap sí que depende de xy de g es igual a cero o equivalente mente que si es igual a una constante esta ecuación y la derivada parcial de sí con respecto de x es igual a m y la derivada parcial respecto de y es igual a n es igual a n ok ahora voy a mostrar en el siguiente vídeo cómo utilizar toda esta información para resolver la ecuación de pesic ok esto será la derivada al respecto de x xxi ok pero cuando tomamos este tipo de prueba lo tomamos con respecto a iu a ver si es igual a la derivada respecto de x de n que en este caso la n sería la parcial de epsy respecto de iu y así tendríamos las las derivadas mixtas de todos modos sé que a lo mejor podría estar un poco complicado pero sé que si entendiste todo lo que hice en este vídeo tu intuición sobre las ecuaciones exactas será excelente nos vemos en el siguiente vídeo donde podrás ver algunos ejemplos de las soluciones de estas ecuaciones