Ejemplo resuelto: ley de enfriamiento de Newton

vamos a aplicar la ley de enfriamiento de newton y solo para recordar teníamos que si t mayúscula es la temperatura y t minúscula era el tiempo pero dado en minutos entonces teníamos que la tasa de cambio o la derivada de la temperatura respecto del tiempo era proporcional verdad a la diferencia y de hecho déjenme ponerlo así era menos una constante por la diferencia de la temperatura con la temperatura ambiente del cuarto donde estuviéramos o donde estuviera el objeto depositado verdad y realmente este signo menos o este signo es útil de tal suerte que cuando la temperatura es más grande que la temperatura ambiente entonces todo esto tiene que irse enfriando es decir la temperatura tiene que disminuir y por lo tanto tiene que ser negativo verdad entonces si te es mayor que te a este término es positivo la k es positiva y con el menos se hace negativo lo mismo si tuviéramos que si la temperatura fuera más chica que la temperatura ambiente entonces ésta empieza a elevarse verdad es decir el objeto empieza a calentarse y entonces si esto si te es menor que te a este término es negativo con este menos se vuelve positivo y entonces la temperatura crece verdad entonces parece para este vídeo solo vamos a tomar el caso en el que la temperatura es mayor o igual que tea vamos a pensar que a lo mejor tenemos no sé un tazón con avena caliente verdad y por estar muy caliente es decir estar por arriba de la temperatura ambiente entonces va a ser bueno en realidad solo vamos a considerar ese caso verdad y de hecho vimos las soluciones generales en el vídeo anterior a esta ecuación diferencial pero bueno aquí vamos a considerar que nuestro tazón de avena es que tiene una temperatura que está por arriba de la temperatura ambiente y vimos que la solución general era la temperatura verdad como función del tiempo era una constante por la exponencial verdad el exponencial de menos k t ok más la temperatura ambiente más la temperatura ambiente ok entonces vamos ahora a dar una solución particular vamos a dar una solución particular vamos a suponer que la temperatura ambiente digamos que tenemos un cuarto muy grande y tenemos nuestro tazón de avena y digamos que ese cuarto donde se encuentra el tazón está 20 grados centígrados muy bien perdón en 20 grados celsius quise decir entonces si si el cuarto está 20 grados celsius y ponemos digamos que la temperatura inicial de nuestro tazón de avena es de 80 grados celsius ok entonces realmente está muy caliente y vamos a poner una condición más digamos que después de dos minutos después de dos minutos tendremos el tazón de avena a 60 grados celsius muy bien entonces usando la ley de newton o la ley de enfriamiento de newton y esta información inicial buscaremos cuál es la solución particular a este problema es decir cómo expresar la temperatura en función del tiempo ok y además vamos a tratar de responder la siguiente pregunta cuántos minutos verdad cuántos minutos debe estarse enfriando nuestro tazón de avena para poder alcanzar los 40 grados celsius entonces cuántos minutos debe enfriarse para para llegar a 40 grados celsius muy bien entonces como siempre te invito a que hagas una pausa y pienses cómo resolver este problema entonces suponiendo que ya hiciste una pausa vamos a vamos a proceder a resolverlo entonces vamos a usar la información que tenemos acá arriba para determinar las constantes de ica muy bien entonces él siempre lo más fácil es considerarla la condición inicial es decir si tenemos una temperatura inicial de 80 grados y ya bueno ya no voy a poner grados perdón grados celsius ok entonces por un lado esto es t evaluado en 0 verdad pero por el otro se veía a sustituir aquí con con cero verdad entonces era la menos acá por cero es era la menos 0 a la 0 es 1 y entonces del lado derecho sólo tenemos c más la temperatura ambiente pero la temperatura ambiente dijimos que era de 20 grados celsius entonces aquí simplemente vamos a agregar 20 verdad y entonces podemos calcular fácilmente quién es la cee porque si restamos 20 de ambos lados si restamos 20 de ambos lados tendremos que la constante se vale 60 verdad la constante veces vale 60 ahora vamos a tratar de encontrar cuánto vale nuestra constante acá verdad es lo que sigue y entonces podemos utilizar esta información cuál es la temperatura después de dos minutos entonces la temperatura después de dos minutos son 60 verdad por un lado y por el otro lado es sede de hecho creo que valdría la pena de escribir quien es nuestra función ahora verdad tdt es ese que en este caso es 60 por el elevado a la menos k cate más la temperatura ambiente que son 20 verdad entonces por un lado sabemos que la temperatura después de dos minutos son 60 grados verdad y por otro lado tendríamos que evaluar con t igualados verdad entonces sería 60 por el elevado a la menos al menos dos cadáver that sería poner de igualados entonces tenemos menos 2 k más 20 más 2020 muy bien y entonces todo lo que tenemos que hacer ahora es tratar de despejar quienes acá muy bien entonces podemos restar 20 de ambos lados y lo que obtenemos es que 40 es igual a 60 y 60 y elevado a la menos 2 k muy bien ahora dividimos de ambos lados entre 60 verdad y tenemos del lado izquierdo 40 en 360 eso son dos tercios y esto será igual ha elevado a la menos 2 k elevado a la menos 2 k entonces para poder quitar este exponencial tenemos que obtener un logaritmo natural de ambos lados verdad entonces tenemos el logaritmo natural dejen de hacerlo igual con con verde verdad porque se relaciona con la exponencial entonces el logaritmo natural de dos tercios debe ser igual a menos 2 cabras del logaritmo natural digamos que anula la expone o más bien cancela el exponencial de verdad y ahora simplemente dividimos entre menos 2 verdad entonces obtenemos que cada k es igual al logaritmo natural y bueno vamos a poner primero menos son medio menos un medio de pasar este menos dos dividiendo verdad menos un medio del logaritmo natural de dos tercios tercios y entonces aquí tenemos nuestro valor de acá que es un número bastante raro verdad entonces de hecho podemos observar aquí que acá es un número positivo porque el logaritmo natural de dos tercios es negativo ya que dos tercios es más chico que uno verdad y con este menos pues se vuelve algo positivo entonces realmente la fórmula a la que llegamos es la siguiente es tdt tdt es igual a 60 60 por el elevado a la menos k - acá que en este caso pues este menos con este menos se cancelan y nos queda un medio del logaritmo natural de dos tercios 2 al revés serían dos tercios que multiplica a t verdad ahí lo tenemos más 20 más 20 y quizás ya no voy a seguir usando tantos colores verdad entonces este exponente podemos ver que es negativo entonces todo va bien ok entonces todo todo marcha en orden ahora realmente tenemos que responder esta pregunta cuántos minutos deben pasar para que nuestra votación de avena pueda enfriarse hasta llegar a 40 grados centígrados verdad entonces ya no voy a usar tantos colores simplemente vamos a hacerlo directamente nosotros queremos 40 grados centígrados por un lado 40 grados centígrados verdad y esto debe ser igual a 60 por el ala un medio logaritmo natural de dos tercios por t que es justamente la que queremos encontrar más 20 verdad entonces si pasamos 20 restando sí entonces pasando 20 restando tenemos aquí 20 igual a 60 a la un medio logaritmo natural de dos tercios que multiplica de verdad y luego dividimos entre 60 y que es lo que nos queda 20 entre 60 es un tercio y esto es igual a e al a un medio logaritmo natural de dos tercios de doradas y luego podemos sacar un logaritmo natural verdad para quitar la exponencial entonces tenemos logaritmo natural de un tercio debe ser igual a un medio logaritmo natural de dos tercios que multiplica t y entonces ya podemos despejar la t t sería puede pasar multiplicando dos veces el logaritmo natural de un tercio dividido entre el logaritmo natural de dos tercios y entonces solo para darnos una idea de cuánto tiempo tiene que ocurrir vamos a calcularlo y para eso voy a utilizar la calculadora que tiene google en su página entonces vamos a poner aquí 22 que multiplica el logaritmo natural de un tercio un tercio verdadera lo que teníamos dividido entre el logaritmo natural de dos tercios nos da esto y entonces según la calculadora son 5.42 aproximadamente entonces esto es más o menos 5.42 minutos verdad el tiempo estaba dado en minutos entonces después de 5.42 minutos vamos a tener que nuestro tazón de avena se encuentra a 40 grados centígrados