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Contenido principal

Transcripción del video

estamos en el momento perfecto para hacer un nuevo ejercicio que tenga que ver con ecuaciones diferenciales de primer orden pero que cumplan la propiedad de que sean homogéneas con este ejercicio lo que yo quiero hacer es que ustedes les quede mucho más claro la idea de un cambio de variable me voy a tomar un ejercicio muy parecido al ejercicio anterior pero un poco más difícil en esta ocasión voy a tomar la derivada de ley con respecto a x igual a una función que tenga que ver con ye y con x y esta función va a ser x cuadrada más 3 que cuadrada y esto lo voy a dividir entre 2 veces x la vez pasada lo que analizábamos era la idea de hacer un cambio de variable y de hecho nosotros tomábamos el cambio de variable entre x y con esto lográbamos hacer una separación de variables así que lo que se me ocurre es multiplicar esta ecuación por 1 pero por un 1 tramposo y una tramposa va a ser 1 / x cuadrada / 1 / x cuadrada así bien que si multiplicamos la parte de arriba por 1 / x cuadrada pues x cuadrada entre x cuadrada en meta 1 y 3 y cuadrada entre x cuadrada pues me da tres veces y cuadrada entre x cuadrado y en la parte de abajo pues tenemos un 2 y una x que se puede ir con una x de acá abajo entonces me va a quedar que entre x y en este momento voy a escribir esta expresión de una manera que me va a dejar ver mucho más nítidamente que es lo que está pasando pues me cambio de variable lo voy a escribir como 13 que multiplica a entre x elevado al cuadrado y esto sobre 2 que multiplica allí entre x de esta manera ya se ve mucho más claro quién va a ser mi cambio de variable y de hecho que voy a hacer le voy a llamar a mi cambio de variable v y esta v va a ser y entre x o dicho de otra manera y es igual a x por ver esto lo hacía porque yo ya puedo derivar a ye con respecto a x cosa que hice en el vídeo pasado y como era una multiplicación de funciones pues de aunque deriva el primero x que es 1 y multiplicarlo por ver ya esto sumarle la derivada de b y multiplicarlo por x es decir x que multiplica la derivada de b con respecto a x y ahora que ya tenemos nuestro cambio de variable y además tenemos la derivada de jake con respecto a x entonces ya podemos sustituir es nuestro siguiente paso entonces si yo pongo la derivada de jay con respecto a x pues esto era p más x por b prima ojo estoy pudiendo ver prima para no cargar todo el tiempo con la derivada de b con respecto a x es mucho más fácil así y del otro lado que tengo pues uno más 3 b cuadrada porque ya estoy usando mi cambio de variable aquí era y en tres elevado al cuadrado pues es p cuadrada y dividido entre dos o sea dos porque entre x usando otra vez me cambio de variable y es en este momento cuando me voy a quitar la capa de ecuaciones diferenciales y ahora me voy a poner la capa de álgebra para pasar esto a variables separables lo primero que voy a hacer es multiplicar todo de un lado y de otro por 2 b entonces me va a quedar 2 b cuadrada + 2x por b por b prima y esto va a ser igual a 13 b cuadrada es decir estoy pasando al 2 t del otro lado multiplicando y ahora lo que se me ocurre es bueno primero aquí puedo reducir un poco puedo poner 2x b por b prima y fíjense que aquí tengo 2 de cuadrada y 3 b cuadrada entonces los puedo restar me va a quedar solamente de cuadrada ya tengo una ecuación mucho más sencilla ahora lo que voy a hacer es dividir todo entre 1 + b cuadrado así va a ser mucho más fácil que tenga las veces de un lado y después las x del otro entonces obtenemos 2x por 20 por ver prima entre 1 + de cuadrada y del otro lado pues uno más de cuadrada entre 1 + b cuadrada es 1 ahora que queda del lado izquierdo de nuestra ecuación solamente lo que tenga que ver con b y del lado derecho solamente lo que tengan que ver con x es decir me va a quedar 2 b y aquí en lugar de mi prima ahora sí voy a cambiar a la derivada de b con respecto a x esto es porque el diferencial de x ahorita también me voy a deshacer de él y esto lo divide 1 + b cuadrado mientras que del lado derecho voy a pasar la x dividiendo es decir me va a quedar 1 / x bien ahora yo escribí mi prima como la derivada de b con respecto a x porque el de x lo voy a pasar del otro lado para que podamos integrar ahora sí tanto de un lado como de otro ahora pongamos los morados para pasar a la zona de integración voy a integrar pues 2 p entre 1 más de cuadrada de b ojo aquí está el debe y del otro lado pues tengo uno entre xy voy a pasar el de x del otro lado y pues integremos integremos aquí integremos acá y que voy a obtener bueno cuál es la integral de 2 p entre 1 más cuadrada de b lo primero que quiero que vean es que la derivada de 1 b cuadrada está acá arriba estás b si yo digo esto pues la derivada de uno es cero y la derivada de b cuadrada es 2 b y cuando nosotros aprendimos a integrar no sé si ustedes se acuerdan que cuando yo tenían las derivadas de una función entre esa función pues tenía que ver con el logaritmo natural de esa función del valor absoluto de esa función entonces pues vamos a escribirlo aquí esto va a ser el logaritmo natural de uno más b al cuadrado cuando era absoluto pero pues esto siempre es positivo no uno más de cuadrada pues es positivo entonces no es necesario que le pongamos el valor absoluto es el logaritmo natural de 1 + b cuadrado si hoy antes de incrédulos ustedes lo pueden probar haciendo un cambio de variable podrían decir que es igual a 1 + b cuadrada y pues verán que su derivada es 2p y entonces al final es va a quedar el logaritmo natural de 1 + b cuadrado bien y pues del otro lado yo tengo que es 1 / x a cuál es su integral de 1 / x pues es una cosa muy parecida se dan cuenta la integral de 1 / x es ni más ni menos que el logaritmo natural del valor absoluto de x entonces lo voy a escribir logaritmo natural del valor absoluto de x más una constante pero en esta ocasión voy a escribir mi constante como más me convenga voy a escribir me en constante como el logaritmo natural de el valor absoluto de una constante pues el logaritmo natural del valor absoluto de una constante es una constante entonces puesto puedo hacer al final es una constante no hay ningún problema porque hago esto pues porque yo puedo escribir el logaritmo natural de uno más b al cuadrado es igual a y aquí hay una suma de logaritmos y por las propiedades de los logaritmos esto es lo mismo que la multiplicación de lo que está dentro de los valores absolutos es decir el logaritmo natural de una constante por x en valor absoluto y ahora si tengo un logaritmo acá tengo un logaritmo ya pues los puedo cancelar y me va a quedar simplemente que uno más b cuadrada es igual a una constante por x para no hacer las cosas tremendamente complicadas fue por eso que puse el logaritmo natural de una constante y ahora sí voy a sustituir a be cuadrada pero b cuadrada era entre x elevado al cuadrado porque b era y entre x y ahora si obtengo que uno más entre x elevada al cuadrado es igual a una constante por x y si yo distribuyó mi cuadrado pues esto es ya cuadrado entre x cuadrada y ahora voy a multiplicar todo por x cuadrada para poder despejar allí cuadrada es decir me va a quedar x cuadrada más y cuadrada igual hace por x kubica porque x x x cuadrada puestas x cúbica y ahora pasemos el otro lado el cx cúbica pues para que se vista esto como de una curva entonces me va a quedar x cuadrada malla cuadrada menos x cúbica igual a cero esto es una función a una correa pero lo importante es que es la solución de esta ecuación diferencial que noten de una vez que era de primer orden y voy a tratar de una vez antes de que se nos escape nuestra solución nos vemos en el siguiente vídeo que de hecho en el siguiente vídeo lo que quiero ver es ecuaciones diferenciales pero con un orden superior es decir nos vamos a ir un poco más elevados cuídense mucho