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Transcripción del video

bueno pues hoy vamos a pensar un poco sobre modelos de población tu o la nación ok y antes de empezar a hablar sobre este tipo de modelos lo primero que quiero hacer es presentarte a estos dos personajes que tengo aquí ante con dos personajes muy importantes el primero este es el personaje yo creo am más nombrado por la gente cuando se piensa en crecimiento de población y bueno también cuando se piensa en los límites que se pueden alcanzar en el crecimiento poblacional éste es thomas malthus que fue un clérigo inglés además de escritor y profesor de finales del siglo 17 y principios del siglo 18 y bueno entre sus ideas estaba que la población puede crecer indefinidamente además de que la tecnología bueno pues ayuda a alimentar a la población y bueno también dio pie a la idea de que el ambiente pone ciertas restricciones sobre cuánto y en donde puede crecer una población y por acá tengo ap/efe verhulst y bueno del cual estoy casi seguro que estoy produciendo erróneamente su nombre pero él fue un matemático belga el cual leyó el trabajo de malthus e intentó modelar la idea de la cual hablaba malthus es decir si no consideramos las restricciones del ambiente entonces la población puede crecer de manera exponencial mientras que si nos acercamos a los límites datos por el ambiente entonces la población va a crecer de una manera asintótica hacia algún tipo de población por cierto malthus no creía que la población crecía de manera asintomática perfecta él pensaba que cuando se llegaba a un límite poblacional ocurrían cosas como catástrofes y entonces la población oscilaba alrededor del límite sucediendo estas catástrofes y bueno como ves malthus era un tipo bastante optimista en fin pensemos un poco las matemáticas que hay detrás y pensemos un poco en ecuaciones diferenciales que nos ayudarán a entender este tipo de modelos lo primero antes de pensar en un acuario diferencial sería bueno definir variables así que voy a llamarle a la variable n ã n va a ser muy variable de población está en él para representar población así que déjame ponerlo o oblación y yo lo que quiero es ver a esta n como una función del tiempo es decir lo que vamos a buscar es la población en un tiempo dado en el dt y esto es justo lo que queremos por lo tanto yo creo que es lo que nos vamos a preguntar este y en los siguientes vídeos ahora bien para encontrar esta función de la población yo creo que sería muy bueno pensar en la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo así que han pensarlo por aquí si yo me fijo en la taza de cambio de la población con respecto al tiempo que está pasando bueno pues esto nos habla del crecimiento de la población y una forma de verlo sería pensar que esta tasa de cambio o esta velocidad de crecimiento es proporcional es proporcional a la población misma y es que esto tiene bastante sentido que sea proporcional a la misma población por ejemplo si tenemos una población muy pequeña entonces la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo o el crecimiento de la población con respecto al tiempo bueno pues va a ser muy pequeño ya que tenemos una población muy pequeña ahora si pensamos una población muy pero muy grande entonces la tasa de crecimiento de la población con respecto al tiempo parece una buena idea pensar que va a ser muy grande y de hecho ésta es una ecuación diferencial de las ecuaciones diferenciales típicas que existen de las cuales estoy casi seguro que tú ya ha resuelto así que te voy a encargar que pausas el vídeo justo ahorita e intentes por ti mismo resolver este tipo de cuestión diferente al encontrar la función en el tec me ve que me dé la solución que estamos buscando y es que bueno de hecho es justo lo que vamos a hacer ahorita y te vas a dar cuenta que nuestra respuesta es una función exponencial una función exponencial que depende del tiempo así que pausa el video porque justo ahorita la voy a resolver bien pues vamos a resolver la y para resolverlo aunque te parece si bueno pues vivimos todo / m y multiplicamos todo por de te voy a suponer que puedo separar este detem y voy a multiplicar todo por este dt y a dividir todo por él y que va a quedar bueno si dividimos todo / n de este lado izquierdo me va a quedar uno / / n ok y como estamos multiplicando todo por este detem este pequeño dt entonces éste va a pasar para cam y aquí solamente me queda de en de n esto va a ser igual ok y de este lado derecho bueno me queda la erre ante japón en la col este color ere que va a multiplicar a ésta en ese banco y éste te lo voy a pasar el otro lado multiplicando ok dt de lujo y ahora qué te parece si tomamos de ambos lados la andi derivada voy a tomar de ambos lados la anti derivada para poder obtener así la solución de estas 2 am derivadas que tengo aquí ok y si tomó la anti derivada de 1 / n dn bueno pues nosotros sabemos cuántos eso la anti derivada de 1 / n dn es lo mismo que el logaritmo natural del valor absoluto de en ok y bueno suponiendo que n es mayor o igual que cero podemos quitar el valor absoluto es decir si pensamos que no tenemos poblaciones negativas pero eso justo y te lo voy a apuntar mientras que aquí me va a quedar una constante pero ahora te la voy a escribir también de este lado izquierdo así que del lado izquierdo que me queda la anti derivada de hebe dt bueno pues eso es lo mismo que ft y déjame ponerlo con este jugador r que multiplica atem ok ere que multiplica t'aime ya esto hay que sumarle una constante una constante de integración pero como aquí tenía otra constante voy a reducir a más constantes y solamente me va a quedar una ley bueno pero recuerda que lo que queremos es encontrar a n como función del tiempo así que hay que despejar a en ahora sí esto es igual a esto entonces podemos tomarnos la función exponencial de ambos lados omm o dicho de otra manera lo podemos ver así si yo pongo aquí una e sí elevado a esta potencia es exactamente lo mismo que ha elevado a esta potencia es decir me estoy tomando la función exponencial de ambos lados entonces que me va a quedar y ojo aquí voy a hacer algo muy importante voy a suponer voy a suponer que no tenemos supone que no tenemos poblaciones negativas es decir que en siempre es mayor o igual a cero y eso tiene toda la lógica del mundo no tiene mucho sentido pensar en una población negativa y bueno si suponemos que él es mayor o igual que 0 entonces aquí que nos queda ok pues vamos a reducir un poco esto dejan de bajar un poco la pantalla y ahora sí si nosotros suponemos que es mayor o igual que cero entonces am de este lado que me va a quedar ha elevado a logaritmo natural del valor absoluto de en ok si eres mayor igual que hicieron entonces todo esto se reduce solamente en n n porque el valor absoluto de algo mayor o igual que 0 bueno pues es exactamente lo mismo y elevado al hogar es natural de l bueno el lugar es natural y la función exponencial se elimina mientras que de este lado me queda es elevado a la r temas que por cierto esto lo podemos ver de la siguiente manera esto lo podemos ver ok y date cuenta de lo siguiente es lo mismo que tener en elevado a la r amp m ponerlo con este mismo color hala ere que multiplica t'aime ok esto multiplicado esto a su vez x en déjame ponerlo con este color x mh elevado a una constante lo único que estoy haciendo es utilizando las leyes de los exponentes y bueno es que estoy haciendo esto porque date cuenta de lo siguiente si yo tengo aem que es un número elevado a una constante esto de aquí bueno pues es una constante así que no nos hagamos bolas y en lugar de poner elevado la cem esto como es una constante a lo voy a sustituir por una c es decir que ha elevado a la rd más cm eso es lo mismo que he elevado a la rtp por elevado al hacer esto por las 10 los exponentes pero ahora sí sí yo quiero encontrar a en como función del tiempo ok déjame ponerlo con este color en con función del tiempo quién va a ser igual bueno pues esto es exactamente lo mismo ok que una constante que una constante llamada cm que multiplican a en que multiplica a la función exponencial elevado a la r t elevado ok a la r que multiplica a su vez al tiempo y ya está aquí n como función del tiempo esta es la solución demi ecuación diferencial con la que empecé en esta ecuación diferencial estamos suponiendo que la población crece con la tasa de cambio tn con respecto al tiempo es proporcional a la población y entonces llegamos a esta solución que tenemos aquí este es un modelo de las ideas de malthus pero sin restricciones porque se te das cuenta esto crece de una manera infinita ahora si nosotros pensamos en unas condiciones iniciales y para eso voy a suponer que en el c zero dejan de tomarlo con este color si yo pienso en mis condiciones iniciales es decir no estoy fijando la población cuando el tiempo vale cero si yo me fijo en la población cuando el tiempo vale cero es decir mi población inicial y supongamos que esta población inicial le pongo el hombre de en el subíndice 0 y lo voy a poner con este color esto sea en subíndice 0 entonces cómo podemos encontrar aquí el valor de cm bueno pues en la de cero quienes am y dejan a ponerle fin si yo me fijo en n de cero en ok de 0 quien es esto si nosotros utilizamos ahora nuestra solución es lo mismo que se abre y deja no ponerlo así que sé que multiplica ha elevado a la r por cero porque en este caso el tiempo vale cero pero r por cero a cero al acero bueno pues esos 1 entonces me quedaría pues simple y sencillamente se y esto es exactamente lo mismo que en el subíndice 0 por lo que dice que arriba es lo mismo que en el subíndice 0 entonces en lugar de ponerse voy a poner en el subíndice cero que es población inicial y entonces para no complicarnos la vida voy a quitar esta sede a kim ok vamos a quitar esta sede a kim en lugar de poner estas el ok voy a poner en el subíndice 0 en sub índice cero y esta es la solución demi ecuación diferencial que tengo aquí y ahora hay que tener cuidado porque si nosotros ratificamos stop bueno pues date cuenta que estamos hablando de una función exponencial aquí tengo uno de mis ejes aquí tengo otro de mis ejes ok este es el eje del tiempo ok mientras que éste este es el eje de la población está el eje de en empezamos en una población llamada en el subíndice 0 ya partir de aquí crecemos y crecemos y crecemos y bueno de hecho la tasa de cambio de esta función exponencial está dada por esta constante r pero lo que quiero hacerte notar es que esta función exponencial crece cada vez más rápido rápido rápido así hasta la eternidad pero realmente lo que habíamos comentado esquema altos no creía eso de hecho mal 2 am no pensaba justo eso así que dejen de poner aquí que está un poco serio porque malthus lo que creían es que existía un límite de la población y eso es muy importante es decir que esta función sigue creciendo hasta cierto límite hasta un cierto límite que voy a poner aquí y bueno es que este límite es muy importante lo que quiere decir que un modelo un poco más realista de este crecimiento de la población se vería más o menos y va creciendo hasta un cierto punto y después se va acercando hasta este límite en otro sirve si queremos ver las ideas como las veía malthus entonces la población se verá cercano está este límite la pasada después de regresar y aquí ocurren un buen de catas y todo esto alrededor de éste que es nuestro límite pero de hecho lo que vamos a ver en el siguiente vídeo es que la idea de pf verhulst es muy parecida a la idea de malthus vamos a tener una ecuación diferencial la cual por cierto modela mucho mejor esta idea que tenía más altos así que no te pierdas el siguiente vídeo