Introducción a modelos de crecimiento

bueno pues hoy vamos a pensar un poco sobre modelos de población acción ok y antes de empezar a hablar sobre este tipo de modelos lo primero que quiero hacer es presentarte a estos dos personajes que tengo aquí and tengo dos personajes muy importantes el primero este es el personaje yo creo a más nombrado por la gente cuando se piensa en crecimiento de población y bueno también cuando se piensa en los límites que se pueden alcanzar en el crecimiento poblacional este es thomas malthus que fue un clérigo inglés además de escritor y profesor de finales del siglo 17 y principios del siglo 18 y bueno entre sus ideas estaba que la población puede crecer indefinidamente además de que la tecnología bueno pues ayuda a alimentar la población y bueno también dio pie a la idea de que el ambiente pone ciertas restricciones sobre cuánto y en dónde puede crecer una población y por acá tengo a p verhulst y bueno del cual estoy casi seguro que estoy pronunciando erróneamente su nombre pero él fue un matemático belga el cual leyó el trabajo de malthus e intentó modelar la idea de la cual hablaba malthus es decir si no consideramos las restricciones del ambiente entonces la población puede crecer de manera exponencial mientras que si nos acercamos a los límites dados por el ambiente entonces la población va a crecer de una manera asintótica hacia algún tipo de población por cierto malthus no creía que la población creciera de manera asintótica perfecta él pensaba que cuando se llegaba a un límite poblacional ocurrían cosas como catástrofes y entonces la población oscilaba alrededor del límite sucediendo estas catástrofes y bueno como ves malthus era un tipo bastante optimista en fin pensemos un poco en las matemáticas que hay detrás y pensemos un poco en ecuaciones diferenciales que nos ayudarán a entender este tipo de modelos lo primero bueno de pensar en una ecuación diferencial sería bueno definir variables así que voy a llamarle a la variable n va a ser mi variable de población está en el barrio presentar población así que déjame ponerlo población y yo lo que quiero es ver a esta n como una función del tiempo es decir lo que vamos a buscar es la población en un tiempo dado n dt y esto es justo lo que queremos por lo tanto yo creo que es lo que nos vamos a preguntar este y en los siguientes vídeos ahora bien para encontrar esta función de la población yo creo que sería muy bueno pensar en la tasa de cambios de la población con respecto al tiempo así que pensamos lo por aquí si yo me fijo en la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo que está pasando bueno pues esto nos habla del crecimiento de la población y una forma de verlo sería pensar que esta tasa de cambio o esta velocidad de crecimiento es proporcional es proporcional a la población misma y es que esto tiene bastante sentido que sea proporcional a la misma población por ejemplo si tenemos una población muy pequeña entonces la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo o el crecimiento de la población con respecto al tiempo bueno pues va a ser muy pequeño ya que tenemos una población muy pequeña ahora sí pensamos en una población muy pero muy grande entonces la tasa de crecimiento de la población con respecto al tiempo parece una buena idea pensar que va a ser muy grande y de hecho esta es una ecuación diferencial de las ecuaciones diferenciales típicas que existen de las cuales estoy casi seguro que tú ya has resuelto así que te voy a encargar que pausas el vídeo justo ahorita e intentes por ti mismo resolver este tipo de ecuación diferencial y encontrar la función en el dt que me dé que me dé la solución que estamos buscando y es que bueno de hecho es justo lo que vamos a hacer y te vas a dar cuenta que nuestra respuesta es una función exponencial una función exponencial que depende del tiempo así que pausa el vídeo porque justo ahorita la voy a resolver bien pues vamos a resolverla y para resolverlo aunque te parece sí bueno pues dividimos todo entre n y multiplicamos todo por d te voy a suponer que puedo separar este dt y voy a multiplicar todo por este dt y a dividir todo por n y que me va a quedar bueno si dividimos todo entre n de este lado izquierdo me va a quedar 1 entre / n ok y como estamos multiplicando todo por este tema este pequeño dt entonces éste va a pasar para acá y aquí solamente me queda de n esto va a ser igual ok y de este lado derecho bueno me queda el aire antes de ponerla con este color r que va a multiplicar a esta en ese bar y este desde lo voy a pasar el otro lado multiplicando ok dt de lujo y ahora qué te parece si tomamos de ambos lados la anti derivada voy a tomar de ambos lados la anti derivada para poder obtener así la solución de estas dos am derivadas que tengo aquí ok y si tomo la anti derivada de 1 entre n dn bueno pues nosotros sabemos cuánto es eso la anti derivada de 1 entre n de nm es lo mismo que el logaritmo natural del valor absoluto de n ok y bueno suponiendo que n es mayor o igual que 0 podemos quitar el valor absoluto es decir si pensamos que no tenemos poblaciones negativas pero eso justo ahorita lo voy a apuntar mientras que aquí me va a quedar una constante pero ahora te la voy a escribir también de este lado izquierdo así que del lado izquierdo que me queda la anti derivada de r dt bueno pues eso es lo mismo que rte y déjame ponerlo con este color r que multiplica a t ok r que multiplica t ya esto hay que sumarle una constante una constante de integración pero como aquí tendría otra constante voy a reducir ambas constantes y solamente me va a quedar una ok bueno pero recuerda que lo que queremos es encontrar a n como función del tiempo así que hay que despejar a n ahora si esto es igual a esto entonces podemos tomarnos la función exponencial de ambos lados o dicho de otra manera lo podemos ver así si yo pongo aquí una en sí he elevado a esta potencia es exactamente lo mismo que elevado a esta potencia es decir me estoy tomando la función exponencial de ambos lados entonces que me va a quedar y ojo aquí voy a hacer algo muy importante voy a suponer voy a suponer que no tenemos suponer que no tenemos poblaciones negativas es decir que n siempre es mayor o igual a 0 y eso tiene toda la lógica del mundo no tiene mucho sentido pensar en una población negativa y bueno si suponemos que es mayor o igual que 0 entonces aquí que nos queda ok pues vamos a reducir un poco esto déjame bajar un poco en la pantalla y ahora sí si nosotros suponemos que es mayor o igual que 0 entonces am de este lado que me va a quedar en elevado al logaritmo natural del valor absoluto de n ok si en es mayor o igual que 0 entonces todo esto se reduce solamente en n en n porque el valor absoluto de algo mayor o igual que 0 bueno pues es exactamente lo mismo y elevado al lugar y natural de n bueno el logaritmo natural y la función exponencial se eliminan mientras que de este lado me queda el elevado al aire temas que por cierto esto lo podemos ver de la siguiente manera esto lo podemos ver ok y date cuenta de lo siguiente esto es lo mismo que tener en elevado a la r antes me ponerlo con este mismo color a la r que multiplica t ok esto multiplicado esto a su vez x am y déjame ponerlo con este color multiplicado por el elevado a una constante lo único que estoy haciendo es utilizando las leyes de los exponentes y bueno es que estoy haciendo esto porque date cuenta de lo siguiente si yo tengo a él que es un número elevado a una constante esto de aquí bueno pues es una constante así que no nos hagamos bolas y en lugar de poner el elevado a la cem esto como es una constante lo voy a sustituir por una c es decir que he elevado a la rtp más cm esto lo mismo que he elevado al aire por el elevado al hacer esto por las leyes los exponentes pero ahora sí si yo quiero encontrar a n como función del tiempo o que déjeme ponerlo con este color en él como función del tiempo quien va a ser igual bueno pues esto es exactamente lo mismo ok que una constante que una constante llamada c que multiplica a en que multiplica a la función exponencial elevado a la rtm elevado ok a la r que multiplica a su vez al tiempo y ya está aquí n como función del tiempo esta es la solución de mi ecuación diferencial con la que empecé en esta ecuación diferencial estamos suponiendo que la población crece o la tasa de cambio de n con respecto al tiempo es proporcional a la población y entonces llegamos a esta solución que tenemos aquí este es un modelo de las ideas de maltos pero sin restricciones porque si te das cuenta esto crece de una manera ahora si nosotros pensamos en unas condiciones iniciales y para eso voy a suponer que n de 0 déjame tomarlo con este color si yo pienso en mis condiciones iniciales es decir me estoy fijando en la población cuando el tiempo vale 0 si yo me fijo en la población cuando el tiempo vale 0 es decir mi población inicial y supongamos que esta población inicial le pongo el nombre de n subíndice 0 amp y lo voy a poner con este color esto sea en el subíndice 0 entonces cómo podemos encontrar aquí el valor de s bueno pues n de 0 quien es am y déjame ponerlo así si yo me fijo en n de 0 en n ok de 0 quien es esto si nosotros utilizamos ahora nuestra solución esto es lo mismo que ese amplio y déjame ponerlo así que ese que multiplica ha elevado a la red por 0 porque en este caso el tiempo vale cero pero r por cero es cero a cero bueno pues eso entonces lo que daría pues simple y sencillamente ser y esto es exactamente lo mismo que en ese subíndice cero por lo que dice aquí arriba esto es lo mismo que en el subíndice cero entonces en lugar de ponerse voy a poner en el subíndice cero que es una población inicial y entonces para no complicarnos más la vida voy a quitar estas siete aquí ok vamos a quitar esta sede aquí y en lugar de poner estas en ok voy a poner en el subíndice 0 en el subíndice 0 y esta es la solución de mi ecuación diferencial que tengo aquí ahora hay que tener cuidado porque si nosotros gráfica mos esto bueno pues date cuenta que estamos hablando de a una función exponencial aquí tengo uno de mis ejes aquí tengo otro de mis ejes ok este es el eje del tiempo ok mientras que este este es el eje de la población este es el eje de n empezamos en una población llamada en el subíndice 0 y a partir de aquí crecemos y crecemos y crecemos y bueno de hecho la tasa de cambios de esta función exponencial está dada por esta constante r pero lo que quiero hacerte notar es que esta función exponencial crece cada vez más rápido rápido rápido así hasta la eternidad pero realmente lo que habíamos comentado es que malthus no creía eso de hecho mal 2 am no pensaba justo eso así que déjeme poner aquí que está un poco serio porque más de lo que creía es que existía un límite de la población y eso es muy importante es decir que esta función sigue creciendo hasta un cierto límite hasta un cierto límite que voy a poner aquí y bueno es que este límite es muy importante lo que quiere decir que un modelo un poco más realista de este crecimiento de la población se debería más o menos y va creciendo hasta un cierto punto después se va acercando hasta este límite o inclusive si queremos ver las ideas como los veía más altos entonces la población se vaya acercando hasta este límite la va a pasar después va a regresar y aquí ocurren un buen de catástrofes y todo esto alrededor de este que es nuestro límite pero de hecho lo que vamos a ver en él vídeo es que la idea de pf verhulst es muy parecida a la idea de maltos vamos a tener una ecuación diferencial la cual por cierto modela mucho mejor esta idea que tenía maltos así que no te pierdas el siguiente vídeo