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Contenido principal
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Transcripción del video

bueno pues en este vídeo vamos a resolver la ecuación diferencial logística justo esta que tenemos aquí ahora bien si recuerdas ya habíamos encontrado algunas soluciones constantes en los vídeos pasados y bueno esto solamente es un pequeño repaso de lo que vimos hace algunos vídeos si yo aquí tengo a mis dos ejes este va a ser uno de ellos este va a ser otro de ellos y bueno voy a decir que este es el eje del tiempo o ok esta es mi eje del tiempo mientras que éste es mi eje de la población ok nosotros habíamos encontrado que cuando tenemos la solución en el dtm igual a cero y déjeme cambiar de color y voy a poner este color cuando tenemos n igual a cero bueno pues date cuenta que esta parte se anula y entonces todo esto se hace cero dicho de otra manera entonces nuestra tasa de cambio va a ser cero porque todo esto se va a anular es decir cuando nuestra población es cero pues no tenemos a nadie que se reproduzca y esta ecuación diferencial va a ser consistente con ello solamente nos vamos a meter en el valor de 0 y está de lujo que nuestra tasa de cambio sea 0 se mantiene constante en 0 todo el tiempo y bueno estamos hablando que aquí n dt n dtm es exactamente igual a 0 lo cual es una solución constante aquí tenemos que la población nunca cambia ni crece ni nada interesante ahora por otra parte habíamos hablado de otra población constante la cual en la solución de esta ecuación diferencial que pasamos si nosotros hacemos en el dt igual a camps bueno siguiente de t es igual al valor máximo que puede alcanzar la población que es que entonces date cuenta que pasa lo siguiente acá entre acá es 11 menos 10 y entonces toda esta ecuación diferencial se va a reducir a 0 o dicho de otra manera la tasa de cambio de nuevo es 0 que eso quiere decir que cuando nosotros llegamos al valor de la población máxima que es camps este valor de aquí entonces tenemos otra solución constante porque en este caso nuestra población tampoco también se mantiene siendo la misma y esto es porque nuestra tasa de cambio se mantiene en 0 así que aquí tenemos otra solución constante en el dtm n de igual a igual acá está de aquí donde empezamos con nuestra población máxima y bueno ahí nos mantenemos ahora bien seguramente algo muy interesante va a pasar si nos tomamos una condición esencial por aquí la cual voy a llamar n subíndice cero es decir n de cero cuando el tiempo te vale cero y bueno vamos a tomarnos esta condición inicial más cerca del cero que de esta población máxima que podemos alcanzar porque si tomamos esta en el subíndice cero muy pero muy cerca de cero entonces date cuenta que esto va a ser muy pequeño y entonces todo esto va a ser cercano a 1 y todo esto quiere decir que la tasa de cambio es muy cercana a un valor proporcional de n y entonces esto se va a ver más o menos así cuando nosotros vamos creciendo nuestro valor de n nuestra tasa de cambio a ir creciendo y ahora entre más las vayamos acercando a este valor de acá bueno pues date cuenta que esto valdría uno cercano a uno y esto entonces valdría cercano a cero eso quiere decir que nuestra tasa de cambio se va a ir acercando a cero y entonces esto se va a ver como una asín total como una a sin dota al valor de acá y bueno si unimos esta curva entonces se va a ver más o menos así la curva que nosotros buscamos es decir vamos a ver si podemos encontrar una función en el dtm una función en eem que nos dé una representación una gráfica más o menos parecida a ésta una función nd que sea solución a esta ecuación diferencial y fíjate qué interesante estamos buscando una forma de modelar población o dicho de otra manera estamos buscando una solución que sea consistente a la idea principal de maltos así que vamos a ver si podemos hacerlo y para eso lo primero que quiero que te des cuenta es que esta ecuación diferencial que tengo aquí es una ecuación diferencial de separarles es decir que nosotros lo que buscamos es una n una n que depende del tiempo una n dt que sea solución de esta ecuación diferencial y bueno como no tenemos el tiempo de una manera explícita entonces se me ocurre que la forma más sencilla de resolver esto es decidir todo entre esta parte que tenemos aquí entre todo esto que tenemos aquí voy a dejar de este lado al aire porque bueno creo que así va a ser la forma más sencilla de resolverlo y voy a dividir todo entre esta parte que tengo aquí y que va a quedar bueno pues me va a quedar entonces que uno entre entre bueno pues toda esta parte de aquí así que déjenme ponerla uno entre nm que multiplica a su vez a uno menos entre khan ok vamos a ponerlo esto que multiplica su vez a uno ok - nm am vamos a ponerlo con este color menos nm dividida entre acá ok esto es dividido entre acá esto que a su vez multiplica bueno a esta parte de aquí y es más déjeme atraparla ok y la voy a copiar y la voy ok esto que multiplica a esta parte que tenemos aquí ok vamos a ponerlo así y voy a poner que estos dos están multiplicando am ok esto va a ser exactamente igual que y de este lado bueno pues solamente me quedo con er y bueno hay varias formas de resolver esto que tengo aquí pero se me ocurre que lo podemos hacer sumándonos la anti derivada con respecto al tiempo y bueno de esta parte va a ser muy sencillo me quedaría rt más una constante pero esta parte parece ser un poco enredada así que para tomarme el anti derivada con respecto al tiempo de esta parte se me ocurre que lo puedo resolver por fracciones parciales así que vamos a buscar una y una vez y déjame ponerlo aquí voy a buscar una am que al dividirla entre n ok más voy a buscar otra vez otra vez que al dividirla entre bueno entre esta parte que tengo aquí que es 1 - n / camps ok esto sea exactamente igual que bueno pues esta expresión que tengo aquí esto sea exactamente igual que uno entre am n que multiplica a 1 - n entre cam y bueno esto es el método de la expansión en fracciones parciales te encargo que si no recuerdas bien cómo resolver este tipo de ecuaciones pausa el vídeo justo ahora y vayas a la sección de khan academy que habla de la expansión en fracciones parciales ok y entonces vamos a trabajarlo aquí que nos va a quedar si yo hago la suma de estos dos bueno pues esto me va a quedar a que multiplicar a este de aquí y eso es lo mismo que a al menos a entre camps y entre camps esto que a su vez multiplica n y bueno a esto le voy a sumar ok esta vez que multiplica está n esta b por n y todo esto está dividido todo esto está dividido entre la multiplicación de estos dos entre n que multiplica a 1 - n entre k ok y esto voy a hacer de paréntesis otra forma de verlo es que estoy multiplicando esta fracción que tengo aquí por 1 - en entre cada tanto arriba como abajo a por 1 - entre acá bueno pues es esta parte de aquí a menos entre cada por n y la parte de abajo me va a quedar la multiplicación de estos dos y ahora a este de aquí lo voy a multiplicar tanto arriba como abajo por n y me va a quedar bn y estos dos se van a pasar multiplicando y ahora cuando lo sumo me queda esta expresión que tengo aquí y esto tiene que ser exactamente igual que uno entre ok n que multiplican a 1 - n entre acá y fíjate que lo que estoy logrando al hacer esto es que ahora tengamos el mismo denominador en estas dos fracciones y ya con esto entonces vamos a decir que todo lo que tenga que ser constante aquí va a ser igual a 1 y todo lo que tenga que ver con n lo podemos brasil esto va a ser igual a 0 porque aquí tengo 10 n dicho otra manera y déjame tomar este color esta parte de aquí esta parte de aquí ok más ven o sea esta parte de aquí esto tiene que ser igual a 0 que son los coeficientes que tenemos al lado de la n mientras que por otra parte esta parte que tengo aquí tiene que ser igual al coeficiente constante que tengo aquí que es 1 dicho otra manera am aquí me va a quedar que am debe de ser igual que 1 ok déjame bajar ahora un poco la pantalla y por otra parte me va a quedar que menos a entre cam eso lo voy a poner como menos 1 entre acá porque ya sabemos el valor de amd menos 1 entre acá ok más ven más esto tiene que ser igual a cero esto tiene que ser igual a cero o dicho de otra manera ve que es justo lo que queríamos va a tomar el valor de 1 entre camps y así ya estoy obteniendo el valor de amd y el valor de ver y esto nos va a ayudar a que esto lo podemos escribir de la siguiente manera utilizando la expansión en fracciones parciales y que nos va a quedar bueno pues aquí tengo am a / n lo cual es lo mismo que 1-1 amplio voy a poner justo aquí 1 entre n en esta de este color ok ya esto le voy a sumar ok am bem entre 1 - entre k&b vale 1 entre camps así que lo voy a poner justo con este color me queda 1 entre cam ok esto que a su vez está dividido entre esta expresión que tengo aquí que es 1 ok - n entre k - ok n entre acá y acá está de este color todo esto todo esto a su vez están multiplicando a bueno a esta expresión que tengo aquí es más déjame ponerlo justo así voy a tratar esto ok y lo voy a copiar y lo voy a pegar ok y ahora esto lo voy a poner justo aquí y vamos a poner que esto se está multiplicando ok ahora a esta parte de aquí por ahora creo que ya no nos va a servir mucho más esto nos ayudó a entender la expansión en fracciones parciales lo cual nos va a ayudar mucho con nuestra anti derivada pero lo voy a quitar justo de aquí para que no nos estorbe más en nuestro desarrollo si tú necesitas ver de nuevo el vídeo o al menos esa parte del vídeo para entender bien cómo llegué a esta expresión de aquí lo puedes volver a hacer pero por ahora necesito un poco de espacio muy bien ahora tengo esta expresión aquí y creo que esto me va a ayudar mucho más en contra del anti derivado al menos lo primero que puedes ver es que la anti derivada de 1 entre n parece ser ya más fácil de encontrar y bueno es tanto derivada ahorita trabajamos ok porque si nosotros pensamos en la anti derivada de 1 / n bueno pues eso sabemos que es el logaritmo natural del valor absoluto de n déjame ponerlo así déjenme cambiar de color y aquí voy a poner am la derivada ok con respecto a en el primero con respecto a n de el logaritmo natural del valor absoluto de n bueno nosotros sabemos que esto es lo mismo que la derivada de n con respecto a n lo cual es uno entre esto que tengo aquí que es n y ahora sí me quiero tomar la derivada con respecto al tiempo con respecto al tiempo de el logaritmo natural del valor absoluto de n bueno pues esto es lo mismo que la derivada con respecto a n de esto que es uno entre n ok por la derivada con respecto al tiempo de n la derivada de n con respecto al tiempo esto por la regla de la cadena justo es esta parte de aquí ahora si nos fijamos en esta expresión que tengo aquí en esto que tengo aquí bueno pues date cuenta que también casi tenemos su derivada y si nosotros calculamos la derivada de esto que tengo aquí me va a quedar solamente menos 1 entre acá y acá arriba tengo uno entre cada positivo así que es casi su derivada es más para hacerlas su derivada lo que podemos hacer es dejar meditar este signo más aquí y voy a poner en lugar de un signo más voy a poner un menos menos es decir esto me va a quedar como un menos aquí y acá arriba voy a poner un menos menos por menos me da más el más que teníamos antes pero ahora acá arriba tengo la derivada de esta expresión que tengo acá abajo y eso me va a ayudar mucho a encontrar su anti derivada y es más para que todo quede muy claro déjenme escribir de aquí si yo me quiero tomar la derivada con respecto a n ok de el logaritmo natural del valor absoluto de esto que tengo acá abajo de uno menos n entre camps bueno pues cursando la regla de la cadena nos va a quedar la derivada de esto lo cual es a menos 1 entre khan / cam ok que a su vez multiplica a la derivada del logaritmo natural de todo esto y bueno esto es exactamente lo mismo que a 1 entre esto mismo de aquí 1 - n entre cam n entre camps entre camps ok de lujo y si nosotros queremos calcular la derivada con respecto al tiempo de el logaritmo natural del valor absoluto de esto que tenemos aquí 1 - n entre camps ok si utilizamos la regla de la cadena esto nos va a quedar justo esta parte que tengo aquí y es más déjeme atraparla con esto ok la voy a atrapar ok vamos a copiarlo y pegarlo y a esto hay que multiplicarlo justo a esto hay que multiplicarlo por bueno pues por la derivada de n con respecto al tiempo y porque estoy haciendo esto bueno porque date cuenta que esto de aquí es exactamente lo mismo que tenemos aquí y date cuenta que éste sobre de tema está multiplicando a estos dos es decir que si nosotros distribuimos esta parte que tengo aquí me va a quedar justo expresiones como éstas deja de hacerlo de la siguiente manera si yo copio esta parte de aquí la voy a atrapar con esto ok vamos a copiar y pegar ok a me va a quedar 1 / n ok esto que a su vez multiplica a esta parte de aquí déjame a distribuir vamos a distribuir este paréntesis ok ya esto hay que quitarle porque aquí tengo un signo menos a esto le voy a quitar bueno pues esta parte de aquí que también voy a hacer lo mismo voy a atraparlo ok lo voy a copiar y lo voy a pegar o que ya lo tengo aquí lo voy a poner justo por acá que a su vez multiplica a tn con respecto al tiempo ok aún me queda esta parte de aquí y ahora lo voy a poner justo por acá estos dos están multiplicando y bueno ahora desde cuenta que esto va a ser igual que y ahora esto nos va a ayudar bastante a poder encontrar nuestras antes derivadas que tanto queríamos y ahora sí si nosotros tomamos la anti derivada con respecto al tiempo de esta parte que tengo aquí bueno pues que me va a quedar date cuenta que esto fuente derivada es justo lo que tenemos aquí y entonces me va a quedar am el logaritmo natural y déjame ponerlo así el logaritmo natural ok del valor absoluto de n ok esto - aquí tengo un menos y bueno si me tomo la anti derivada de esta parte que tengo aquí es decir de todo esto que tengo aquí con respecto al tiempo bueno pues date cuenta que vamos a llegar justo a esta expresión que tenemos aquí es decir al logaritmo natural del valor absoluto de 1 - n entre k ok ya esto ok en valor absoluto esto va a ser exactamente igual ao espera no olvidemos las constantes esto al sacar su anti derivada ok obtenemos 1 le voy a poner una constante 1 y esto va a ser exactamente igual a la anti derivada con respecto al tiempo de esta parte lo cual es r ok déjame ponerlo con este color es er que multiplica bueno al tiempo r que multiplica el tiempo y a esto hay que sumarle bueno pues otra constante de integración que sale de sacar la anti derivada de este otro lado más otra constante 2 ok y si ahora yo bajó un poco la pantalla vamos a bajar un poco la pantalla entonces qué voy a obtener y es que si ahora suponemos am y dejamos subir un poco la pantalla si suponemos que nuestra n dt m está justo en este intervalo es decir que nunca es más pequeña o igual que 0 y nunca es más grande o igual que acá o vamos a ponerlo justo aquí si suponemos su mus ok que n de nd y esto siempre es más grande que 0 ok justo como en este ejemplo y es menor que acá entonces date cuenta de lo siguiente en esta expresión que tengo aquí nos va a ayudar a simplificar bastante las cosas han dejado subir ahora un poco la pantalla porque entonces ahora date cuenta que yo puedo eliminar estos valores absolutos si yo veo que n siempre es más grande que ser on bueno entonces esto de aquí siempre va a ser positivo así que no es necesario ponerlo vamos a quitar este valor fruta de aquí y si yo supongo que n siempre es menor que acá entonces esta expresión que tengo aquí completa va a ser siempre mayor que 0 por lo tanto no es necesario poner este otro valor absoluto también lo voy a quitar de aquí y ahora sí suponiendo que n dt está entre 0 y cam bueno pues ya puedo obtener esta parte de aquí lo cual me ayuda un poco a simplificar las cosas déjame poner aquí un paréntesis y bueno ok por aquí también necesitó unos paréntesis y si ahora lo que voy a hacer es restar a uno de ambos lados de esta ecuación o cuando de hecho déjame hacer esto en el siguiente vídeo porque este vídeo está quedando enorme y es que estoy tan emocionado porque estoy muy pero muy cerca de llegar a la solución que yo quería pero no te apures en el siguiente vídeo voy a seguir resolviendo y encontrando la solución que estamos buscando que cerca estamos