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Transcripción del video

en el vídeo pasado nos quedamos muy pero muy cerca de obtener la solución a la ecuación diferencial que tenemos justo acá arriba es decir a esta de aquí que es nuestra ecuación diferencial logística y estamos muy muy cerca de encontrar esta solución porque solamente nos falta un poco de álgebra para obtener a n como función del tiempo y para eso vamos a trabajar fíjate bien en esta expresión que nos quedamos en la vez pasada lo primero que se me ocurre hacer es restar se uno de ambos lados para quedarnos solamente con una constante y para eso ante gemetro para esto de aquí y lo voy a volver a pegar justo por acá porque ahora lo que quiero hacer es restar se uno de ambos lados de esta ecuación y que me va a quedar bueno si resto se uno de este lado pues esto se va ok vamos a quitar lo justo de aquí y del otro lado me va a quedarse 2 - c1 c2 menos 1 ahora date cuenta que si yo resto a una constante otra constante bueno pues esto es lo mismo que una única constante así que en lugar de poner estas dos constantes lo único que voy a poner es una única constante la cual voy a llamar simple y sencillamente se así que a esto le voy a sumar una constante cm la cual resulta de es de 2 - c 1 ahora date cuenta de lo que tenemos aquí tenemos una diferencia de logaritmos y como tenemos una diferencia de logaritmos los podemos reducir en un solo logaritmo es decir que esto de aquí es exactamente lo mismo que tomar el logaritmo natural y cuando tengo el logaritmo natural de algo menos el logaritmo natural de otro algo bueno esto lo podemos reducir en una división esto es exactamente lo mismo que el logaritmo natural de éste que es dispositivo n entre a esta otra expresión 1 - n entre acá y vamos a ponerlo con este color 1 - n entre acá ok esto ya está reducido en un único logaritmo y por otra parte igual a esta parte que tengo aquí así que vamos a atraparla y la voy a poner justo por aquí esto es igual a rt más ahora qué te parece si pasamos este logaritmo natural con su función contraria del otro lado o dicho de otra manera es decir que tomamos el lugar es natural de esto de aquí es exactamente lo mismo que pensando de la siguiente manera podemos decir que la exponencial elevada esta potencia nos va a dar exactamente esto que tengo aquí o dicho de otra manera vamos a aplicar la función exponencial a ambos lados de esta ecuación y entonces que me va a quedar bueno del lado izquierdo solamente me va a quedar esta parte de aquí es decir el lugar es natural con exponencial y se eliminan ok y solamente me quedo con esta parte de aquí déjame bajar un poco en la pantalla un poco esta pantalla ok mientras que por otra parte ante el otro lado me voy a quedar con que esto es exactamente igual que la función exponencial am vamos a ponerlo así que he elevado a esta potencia que tengo aquí así que vamos a escribirlo ha elevado a la rte t t con el color blanco ok más c más ahora date cuenta de lo siguiente he elevado a la rte por las 62 exponentes es exactamente lo mismo que tomar me he elevado a la rtm y esto a su vez multiplicado por el elevado a la potencia c ahora si yo elevó a una constante bueno pues esto también es una constante por lo tanto no carguemos constantes demás y voy a quitar todo esto y voy a poner solamente una constante es decir que he elevado a la rtm lo voy a multiplicar por una constante lo cual es lo mismo que él de lujo esto ya está mucho más fácil de trabajar y además ya estamos muy cerca de lo que queremos y ahora es hora de resolver para n y para eso dejan bajar un poco más esta pantalla ok y vamos a trabajar con esto es más déjenme hacer una pequeña línea por aquí para que estemos separando con lo que está acá arriba ok vamos a empezar justo por aquí y ahora lo que quiero que veas es justo lo siguiente que si yo ahora tomo esta parte de aquí y es más para no confundirnos primero vamos a ponerle nombre estas constantes esta vamos a suponer que es muy constante 1 ok esta fue mi constante 1 ok pero aquí cuando yo elevé todo a la exponencial obtengo una constante nueva este lo voy a llamar una constante 2 porque ahora lo que quiero hacer es tomarme el recíproco de esto que tengo aquí es decir en lugar de poner n entre 1 - entre acá voy a tomarme el recíproco y eso es tomarme y déjame ponerlo con este color 1 - n / cam ok ya esto a esto mismo lo voy a dividir entre esta en el que tengo aquí solamente estoy invirtiendo el denominador en el numerador y viceversa ok y esto lo voy a hacer exactamente igual que el recíproco de esta parte de aquí ahora ten cuidado porque si yo me toma recíproco esta parte de aquí bueno en primer lugar me quedarían 1 entre c todos pero 1 en 13 2 bueno pues también es otra constante así que para no confundirnos más a esta constante 1 en 13 2 le voy a poner el nombre de ese 3 voy a decir que ésta es muy constante número 3 ok una constante distinta a esta constante 2 3 es lo mismo que uno en 13 2 y bueno si me tomo el recíproco de elevado a la rte eso es exactamente lo mismo y lo voy a poner así que en elevado a la menos recuerda que cuando está dividiendo aquí va a pasar con un signo negativo - r elevado a la t ok y bueno si yo lo que hago es ahora dividir esta diferencia entre n bueno pues voy a llegar a lo siguiente si yo me tomo 1 entre n eso es uno entre n ok pero en esta parte se va a reducir porque cuando yo me tomé - am n entre k entre n eso es exactamente lo mismo en entre k entre n que uno entre k ok y esto va a ser exactamente igual que esta otra parte que tenemos aquí así que déjenme atraparla ok y vamos a copiar y pegar la ok y bueno todo esto parece ser un buen recordatorio de nuestras clases de álgebra pero bueno ya estamos muy cerca de este final y ahora si te fijas bien qué te parece si pasamos este de aquí del otro lado y deje metro perdón ok lo voy a copiar y lo voy a pasar del otro lado pero con signo contrario y que si en este caso estaba con signo menos bueno va a pasar del otro lado consignó más ok y éste se va a ir es más déjame atraparlo y quitando una vez esté aquí lo voy a quitar ok y ahora si nosotros queremos a n como función del tiempo hay que tomarnos el recíproco de este ya estamos muy cerca de obtener por fin nuestra solución n n que depende de ti y bueno te está en blanco así que vamos a continuar con ese mismo color ok snet él va a ser exactamente igual que y aquí hay que tomarnos el recíproco el recíproco de éste es decir es exactamente lo mismo y déjame ponerlo con este color que 1 entre 1 entre todo esto que tenemos aquí así que déjame atraparlo ok lo voy a atrapar ok y lo voy a pegar ya lo tenemos aquí lo voy a pasar justo para acá abajo dividiendo ahora es que ya sólo llegar a este resultado es bastante interesante por sí solo ya tenemos despejada por fin sin embargo aun creo que podemos utilizar un poco la información que tenemos allá arriba para poder obtener esta constante número 3 y además quitar esta fracción de aquí del denominador y para eso bueno si nosotros recordamos que estamos suponiendo que n de 0 es igual a en el subíndice 0 y es más déjame escribirlo por aquí si nosotros recordamos que n n de 0 y déjame ponerlo así aquí voy a poner un paréntesis y aquí voy a poner 0 cuando te vale 0 nosotros habíamos dicho que esto es exactamente igual que en ese subíndice 0 ok entonces vamos a obtener así el valor de c3 y para eso vamos a sustituir el valor de t por 0 en esta ecuación que ya obtuvimos en esta solución que ya obtuvimos y entonces quienes en el subíndice 0 bueno pues en el sub índice 0 y recuerda que el tiempo va en color blanco esto va a ser exactamente igual las cuentan cuando yo sustituyó el valor de t por 0 esta parte de aquí se va a ser 1 elevado a la menos r por 0 bueno pues eso es 1 y nos va a quedar 1 déjame ponerlo con este color me va a quedar 1 entre un 3 más ok c3 ok más a uno entre acá más uno entre acá ok pero nosotros habíamos dicho que suponiendo que n de 0 es en el subíndice 0 entonces esto es exactamente igual que en el subíndice 0 y ahora si toma un ser recíproco de ambos lados me va a quedar que c 3 de tres más uno entre camps más uno entre cada ok / cam esto es exactamente igual que uno / n 0 ok y si ahora lo que queremos hacer es despejar hace 3 bueno déjame bajar un poco más esta pantalla creo que este vídeo está muy muy laborioso pero ya estamos muy cerca del final porque si aquí despejamos hace 3 bueno pues voy a obtener ese 3 es exactamente igual que en 1 / n 0 ok ya este lo voy a pasar con signo contrario me va a quedar menos uno entre acá y ahora sí si sustituyó el valor de ese 3 en esta ecuación de aquí voy a encontrar la función logística que es la solución de ecuación diferencial logística y ya estamos muy cerca así que déjame ponerlo por aquí si yo tengo n dt n de ti y te va con color blanco para seguir con esta misma distribución de colores en es exactamente igual que esto de aquí bueno pues que me va a quedar si ahora sustituyó hasta tres por esta expresión de aquí y déjame a hacer esta línea un poco más grande para ahora sí poner a lo que queremos en este tema quién va a ser bueno pues esto me va a quedar uno déjame ponerlo con este mismo color uno entre y si te das cuenta aquí tengo c3 que multiplica a esta parte de aquí pero se 3 vale esto entonces voy a sustituirlo por este valor de aquí así que vamos a poner lo justo por acá ok ya esto lo voy a poner entre paréntesis ok vamos a ponerlo entre paréntesis y esto a su vez multiplicar elevado a la menos 7 y a esto le sumamos 1 entre acá así que antes de meter para esta parte de aquí también y la voy a poner justo por acá ok tengo esta parte de aquí multiplicando ok con cuidado ok y ahora si no te gusta que tengamos todos estos divisores o todas estas fracciones en nuestro qué te parece si para tener una respuesta un poco más elegante multiplicamos todo ya por último por en el subíndice cero porque voy a multiplicar todo por n n sub índice 0 ya esto por acá y esto me va a simplificar todas estas fracciones ok esto de este lado es más déjame atraparlo ok y lo voy a pegar justo por acá ok también porque voy a multiplicar tanto arriba como abajo por esto mismo de aquí y que me va a quedar sin multiplico tanto arriba como abajo por esto de aquí bueno pues date cuenta que vamos a llegar justo a lo siguiente si yo multiplico esto en la parte de arriba voy a obtener a justo esta expresión de aquí en el subíndice cero porque déjeme poner que estamos en esta planta de kleen esto va a ser exactamente igual y en la parte de abajo que voy a obtener bueno pues si te das cuenta en la parte de abajo me va a quedar uno entre en el subíndice 0 si a esto lo multiplicamos por en el subíndice 0 por camps bueno pues date cuenta que solamente me quedo con acá ok y después a esto le voy a quitar y ahora si multiplicamos 1 entre acá por en el subíndice 0 por acá bueno pues date cuenta que solamente nos quedamos con en el subíndice 0 ok y esto a su vez está multiplicando esto a su vez está multiplicando ha elevado a la menos rte elevado a la menos r tm ok voy a poner así elevado a la menos r ok por el tiempo ok y ahora fíjate bien en este último sumando si yo multiplico 1 entre camps por en el subíndice 0 por camps bueno date cuenta que de aquí solamente obtengo en ese subíndice 0 y de aquí voy a obtener solamente n en su índice 0 y ya está esto se ve mucho más elegante que tener todas estas fracciones de aquí entonces ahora sí si yo lo que quiero ver es como una función del tiempo que crees que obtuvimos por fin nuestra función logística nuestra solución de nuestra ecuación diferencial logística es esta de aquí a esta de aquí le vamos a llamar la función logística y ahora no pierdas oportunidad de jugar con ella es más si tú tienes internet te puedo recomendar que intentes buscar la gráfica de esta función logística por ejemplo puedes utilizar el programa wolfram alpha o también puedes intentarlo en cualquier programa gráfica door o en tu calculadora gráfica dora y te vas a dar cuenta que esta que es nuestra función logística es bien bonita porque va a cumplirse justo lo que nosotros queríamos esta va a tener las propiedades que queríamos que tuviera va a empezar en n 0 y va a empezar a crecer y su tasa de cambio también va a ser creciente y esta tasa de cambio va a empezar a disminuir cuando nos acerquemos a la población máxima y aunque en los siguientes vídeos vamos a trabajar con esta función logística ya puedes empezar a jugar con ella podrías preguntarte en cuánta población va a haber después de un tiempo no sé lo que se te ocurra en fin hasta el siguiente vídeo