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Contenido principal
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Transcripción del video

en este vídeo les voy a presentar el concepto de convolución una de las pocas veces en la que los matemáticos nombran algo parecido a lo que realmente hacen pues de hecho se convulsionan las funciones y en este vídeo no vamos a entrar en detalle hacia el entendimiento de la conducción ya que hay diferentes formas de ver este concepto y sus aplicaciones si ustedes van a estudiar ingenierías de cualquier tipo verán la convulsión en su forma discreta en su forma continua en muchas formas diferentes pero el objetivo de este vídeo es que ustedes se familiaricen con el concepto de convolución especialmente en el contexto de la transformada de la plaza entonces el teorema de la conducción aunque bueno pensándolo bien antes de entrar en el teorema vamos a definir qué es convolución digamos que yo tengo una función f dt si yo con solución o f con g esto significa que voy a tomar la conducción fg todo esto va a ser una función de t y hasta el momento nada de lo que he escrito debe tener sentido para ustedes he definido qué es lo que significa esto esto es como en los exámenes en donde les dicen un problema pero les definen qué significan los términos que usan aquí también yo tengo que definir de qué se trata esto y tengo que definirlo de una forma similar así que vamos a deshacer esto que escribí aquí y la definición de la acumulación aunque existen varias definiciones pero la que veremos nosotros en el contexto que nos interesa es la integral de cero efe dt menos tal efe dt - tau que está x gmt perdón perdón por g de tal de lado con respecto a está o quizás esto les parezca algo bizarro de hacer y me pueden preguntar bueno cómodo siquiera puedo calcular una de estas cosas bueno para resolver sus dudas vamos de hecho a calcular una combo lución así que tenemos que encontrar algunas funciones que sean fáciles analíticamente de convolución ar cosa que no es sencilla pero en que tenemos que realizar varias identidades trigonométricas para poder calcular estos pero si yo dijera que ft si yo definida a mí efe dt que es igual al seno de t y definiera coseno dt que lo escribo naranjas como dt igual al coseno de t y ahora vamos a convulsionar ambas funciones convolución df con g y recordemos que esta va a ser una función de t va a ser igual a esto nada más les voy a mostrar cómo aplicarlo la integral en púrpura de cervantes de ft menos tal si ésta es mi ft entonces va a ser seno de temenos estado x g de tao si ese es mi gente que está o va a ser coseno de eta o coseno de tao de tao así que esta es la integral y ahora vamos a evaluarla y para eso tendremos que usar trigonometría vamos a hacerlo y pues vamos a aprovechar que esto va a ser una muy buena revisión de nuestros conceptos trigonométricos y también nuestros conceptos de integración pero bueno vamos a evaluarlo y quiero hacerlo porque quiero mostrarles que esto no es algo abstracto y lo primero que voy a hacer bueno de hecho yo no sé cuál es la anti derivada de esto aunque quizás nos veríamos tentados al ver que hay un coseno y un seno pero ésta está en términos de temenos estado así que permítanme reescribir y usar una identidad trigonométricas seno de t - tau va a ser igual al seno de t el seno de este x el coseno de tau menos el seno de eta o multiplicado por el coseno de t y de hecho existe un vídeo donde yo explico todas estas identidades trigonométricas también para repasar yo misma de estos conceptos pero bueno regresando al problema si hacemos esta sustitución y esto lo van a encontrar en los libros de cálculo y trigonometría en donde se obtiene la convulsión de fg que es igual efe asterisco g es igual a la integral de 0 a t y en lugar de poner el seno de este estado escribimos esta sustitución así que escribo el seno de t por el coseno de tau - el seno de estado por el coseno de t y todo esto se multiplica por el coche no de tal los senos de tal tienen que tener cuidado de no confundir los estados con las tes y todo esto no perdón de tal justo lo que les estoy diciendo no confundir te contaba ahora vamos a distribuir este coseno de estado en lo que se encuentra dentro de los paréntesis que es lo que obtenemos efe involucionado con g es igual a la integral de 0 a t de ese no de 'the x coseno de estado turco seno de estado así que nos queda coseno cuadrado de tao - escribamos primero el coseno dt ya que estamos integrando con respecto a tau así que escribo mi coseno de t primero coseno de t x el seno de tao por el consejo de estado de tal y ahora como estamos haciendo la integración de dos cosas que se están prestando vamos a volverlo dos integrales separadas por lo que esto es igual a la integral de cero a t de seno dt coseno cuadrado de tao de tal - la integral de 0 de coseno dt seno de estado por seno de eta o de tau vamos a tratar de simplificar esto recuerden que estamos integrando con respecto a town aquí me equivoqué por eso les digo hay que ser muy cuidadosos se integra con respecto a tal así que todos estos que tienen tiempo como el coseno dt estas son constantes el seno de t también es una constante y lo podemos sacar de la integral recordemos que integramos con respecto a todo así que todo lo que no tiene estado lo podemos sacar de la integral en este caso el seno de t y el concierto de t porque esto nos queda igual al seno de t por la integral de 0 coseno cuadrado de estado de estado y ahora menos el seno de este recordamos que esas son constantes por la integral de 0 ante de seno de tal por el costero de estado de estado podemos ver que está anti derivada es bastante directa podemos hacer una sustitución que de hecho vamos a hacerla aquí ya que es un problema complicado y no queremos omitir ningún paso si decimos que uno es igual al seno de tal idea con respecto a tal va a ser igual al coseno de tao o podemos escribirlo como la deriva de déu es igual al coseno tal de cao y no se preocupen vamos a cambiar esta sustitución antes de hacer nuestra evaluación aquí en esta integral pero esta es un poco más complicada no sabemos cómo encontrar la anti derivada de coseno al cuadrado de tau no es algo obvio el resultado así que para resolver esto tenemos que usar otras identidades trigonométricas y en un vídeo expliqué expliqué el coseno el coseno cuadrado de tal y estudio se han dotado como un ejemplo es igual a un medio x uno más el coseno de dos tal y de nuevo esa es una identidad trigonométricas y lo pueden encontrar en cualquier libro de cálculo para sustituir esto aquí sustituir esto acá y vamos a ver en qué se convierte en nuestras integrales esta primera de acá nos queda seno de t por la integral de 0 a t de todo esto de acá incluso puedo quitar este un medio de la integridad lo puedo sacar ponerlo aquí un medio de seno de t por la integral de cervantes de uno más coseno de dos portado todo esto es con respecto a estado de tal esta es esta integral de aquí y tenemos esta otra integral menos coseno de t por la integral y bueno aquí vamos a ser muy claros aquí es cuando todo es igual a cero hasta que todo es igual a ti desde que todo es igual a cero hasta que todo es igual a ti y esto vamos a sustituir lo aquí vamos a poner acá la 1 y después mostramos que de eeuu es igual al coseno de tao the town así que todo esto lo podemos sustituir con d esto de aquí arriba lo vamos a sustituir con de 1 así que nos queda aquí uno de uno y veamos si podemos hacer algo útil ahora con esto hacemos espacio aquí la integral de aquí la anti derivada de esto es algo bastante directo de resolver vamos a escribir aquí abajo escribimos esta parte que está fuera de la integral un medio de seno de t por la anti derivada de esto total más la anti derivada de esto va a ser un medio por el seno de 2 está un medio por el seno de 2 tal también podemos hacer una sustitución con no y decir que hubiere igual a coseno de dos estados y todo esto pero bueno creo que ustedes pueden reconocer lo que se está haciendo aquí y si no me creen pueden hacer la derivada de esto tomemos la derivada de lo de dentro lo multiplicamos por lo de fuera y luego hacemos la derivada de lo de fuera que queda coseno de 2 está y esto lo vamos a evaluar de 0 a t y por otra parte tenemos al menos coseno de t la anti derivada de esto vamos a hacer esto a un lado para que quede claro la integral de un bebé es algo relativamente fácil es un medio de un cuadrada y bueno es un medio de un cuadrada pero que es un a bueno pues definimos que era igual a seno de estado así que la anti derivada de todo esto y acá un medio de igual cuadrada reemplazamos la uv y nos queda un medio de seno de tau o seno cuadrado de estado y esto lo vamos a evaluar de 0 a t y de hecho no era necesario que hiciéramos esta sustitución de uva k pudimos haber visto que bueno esto es seno de todo esto es cosenos de eta o si tengo una función y tengo su derivada puedo tratar esta función como si hubiera una equis aquí seno cuadrado de tao entre dos que es exactamente lo que tenemos aquí parece que ya estamos en la recta final estamos realizando la convulsión de seno de t con coseno de t y obtenemos un medio lleno de té ahora si yo evalúa esto ente que voy a obtener temas un medio del seno de dos de que es cuando sustituyó la está o por el valor de t y de esto tengo que restar la sustitución cuando todo es igual a 0 - 0 - un medio de seno de 2 x 0 de cero así que esta parte de aquí es todo esto de acá seno de 00 así que esto lo puedo quitar esta primera integral me queda un medio se nos dé te porte más un medio de seno de 2 t bueno ya resolvimos con una parte ahora vamos a resolver esta otra parte esta parte tenemos menos co seno de éste y ahora vamos a evaluar todo esto cuando todo es igual a ti un medio de seno cuadrado dt menos esta expresión evaluada cuando está o es igual a cero y esto es cero queda menos cero hasta el momento todo lo que hemos escrito se simplifica como permítanme hacer toda esta multiplicación y cambia de color queda un medio dt seno de t acabo de multiplicar estos dos términos más un cuarto de seno dt por seno de 2 t aquí tengo menos un medio seno cuadrado de t por coseno de t acabo de hacer esta multiplicación de este lado también y bueno esta sería una respuesta válida pero sospecho que lo podemos simplificar todavía más quizás usando más identidades trigonométricas este por acá se ve listo para simplificar se sabemos que el seno de 2 t y eso es una identidad que pueden encontrar en cualquier libro de trigonometría es igual 2 por el seno de t por el coseno dt podemos sustituir esto aquí y qué es lo que nos queda voy a desplazarme un poquito aquí hacia abajo tenemos que es un medio de t por seno de t más un cuarto de seno de t x esto de acá que vamos a sustituir por 2 seno dt coseno dt esto es solamente una identidad trigonométricas y luego tengo esta parte que es menos un medio seno cuadrado de t coseno de t nadie dijo que esto fuera a ser fácil pero al menos espero que sea didáctico para ustedes al menos les enseña que no se memoriza en sus identidades trigonométricas para nada y todo esto a que se simplifica bueno primero vamos a reescribir esta parte esto es igual a un cuarto y bueno un cuarto por dos va a ser un medio un medio seno cuadrado de t que es multiplicado es por esto por coseno dt y esta parte de x menos un medio seno cuadrado de tecos seno de t afortunadamente para nosotros estas dos se cancelan y bueno tenemos este término en el frente un medio de ts no de té y ahora esto se cancela con este otro y todo lo que nos queda de todo este problema tan denso es un medio el seno de t finalmente acabamos de encontrar que en la conducción y de hecho permítanme escribir aquí los resultados que realmente me dan ganas de escribir esto en piedra después de tanto trabajo escribimos ft es igual a seno de t g dt es igual a coseno de t y acabamos de encontrar que la conducción de las funciones f y g que son funciones de t está definida como la integral de cero a t df dt - tau por g de tao betao y esto es igual aquí voy a cambiar de color igual a la integral de cero a t de seno dt - estado por g de estado de estado y todo este relajo esta convulsión resulta ser igual a algo muy satisfactorio todo esto es igual a un medio de té por seno de t y la razón por la que estuvimos haciendo todo este desarrollo tan pesado haciendo trabajar a nuestra mente recordando las identidades sigo no métricas es simplemente para demostrarles que esta conducción pues si está algo compleja pero realmente se puede obtener la convulsión de dos funciones reales y obtener otra función real la conducción de xenón dt y coseno dt es igual a un medio de tdt y bueno espero que esto les haya dado un entendimiento mejor sobre cómo podemos hacer el cálculo de una convulsión