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Utilizar el teorema de la convolución para resolver un problema con condiciones iniciales

Transcripción del video

ahora que sabemos un poco más sobre la integral de convolución y cómo se aplicará la reforma de la plaza vamos a tratar de resolver una ecuación diferencial usando este método así que tengo esta ecuación con valores iniciales la segunda derivada de llegue más dos por la primera derivada de ye más dos por llegue que es igual a seno de al fateh y nos dan las siguientes condiciones iniciales lleve cero es igual a cero y ye prima de cero es igual a cero lo que es bastante bueno porque estas dos condiciones harán que este problema sea mucho más sencillo y entremos en materia lo primero que hay que hacer es encontrar la forma de la plaza de ambos lados de esta expresión la reforma de la plaza de la segunda derivada de llegue va a ser ese cuadrada de hecho esto ya debe ser muy familiar para ustedes ese cuadrada por la reforma de la plaza de ye de ese que le escribo como lle mayúscula - s recordamos que tomamos el mismo grado de la derivada que estamos trabajando y vamos reduciendo ese grado conforme vamos agregando términos a ésta y lo multiplicamos por llegue de ser y ahora vamos a tener menos seguimos incrementando la s por lo que ahora vamos a tener ye prima de cero la s fue elevada al acero y eso es otra forma de la plaza la segunda derivada y ahora vamos a encontrar la transforma de la plaza de esta prima que va a ser igual a más dos por la deriva de 'prima' ese por jbs esa es la derivada - ye de cero y ahora sólo nos queda una plataforma de la plaz de 12 que es igual a más dos por la toma de la plaza que es llegue ese y eso tiene que ser igual a la transforma de la plaza de seno de al fateh y ese tipo de todas formas las hemos hecho un sinnúmero de veces hasta el momento esto es alfa entre ese cuadrada más alfa al cual lo siguiente que hay que hacer es separar los términos de la transforma de la plaza de yee y los de yee y ahora vamos a deshacernos de esas condiciones iniciales por lo que ese término este término y éste terminó son cero así que nuestra expresión total y ahora puede escribirlo todo en un solo color nos va a quedar es el cuadrado por llegue ese más 2s lleve ese +2 ye de s lo que es igual a alfa alfa entre ese cuadrado más al cuadrado ahora vamos a factorizar la lleve ese que es la forma de la plaza se llegue nos queda ese cuadrada más 2s +2 todo esto está x lleve ese que es igual a esta parte de acá alfaz entre ese cuadrada más alfa al cuadrado y ahora podemos dividir ambos lados de esta ecuación entre esta parte de acá está ese cuadrada más 12s +2 y nos queda llegue ese la reforma de la plaza de ye que es igual a alfaz entre ese cuadrada más al fahl cuadrado x el inverso de esto uno entre ese cuadro de damas 12 semanas dos y bueno ya que tenemos esto esas facciones así que es lo que tenemos que hacer vamos a resolver esto en el contexto de la colusión y estoy buscando una forma de laplace que luzca como una multiplicación de transformadas de la plaza conozco cuál es la forma de inversión de la plaza de sto así que lo que necesito es encontrar cuál es la transformada inversa de la plazas de esta parte de acá y así expresar siete comunas integral de colusión incluso aunque no necesariamente resolvamos la integral a partir de ahí es sólo el uso del cálculo y aunque fuera una integral que no pudiéramos resolver podríamos usar una computadora o algo así pero bueno vamos a tratar de dejar esto en términos de una integral de cómo lución que puede hacer con esto este no es un cuadrado perfecto así que lo siguiente es tratar de completar el cuadro perfecto aquí vamos a reescribir esto como ese cuadrada más 12s más algo más dos si lo escribimos así si escribiera escuadra damas 2s más solo esto sería un cuadrado perfecto pero no puedo agregar uno así como así si voy a llegar algo también lo tengo que quitar para mantener la equivalencia así que aquí tengo un -1 noten que aquí no he cambiado nada se mantiene exactamente igual pero esto ahora lo puedo reescribir como ése +1 al cuadrado y esto se convierte en un +1 esta operación acá por lo que puede reescribir ni jbs como igual a alfa en 13 cuadrada más al fahl cuadrado por uno entre todo esto ese paso no al cuadrado más solo y ya dijimos que sabemos cuál es la transforma la inversa de la plaza de esta parte de estoy acá conozca cuáles otra forma inversa ahora tengo que encontrar cuál es la forma inversa de esta otra parte esto que voy a encuadrarse en un bonito color azul y ahora necesito expresar esto en una forma integral de convolución como luego vamos a hacerlo en este momento vamos a escribir lo decimos que lleve te la estás forma inversa de jbs es igual ha transformado inversa de la plaz de jbs lo escribimos de ese que es igual a la transformada inversa de la plaza de estas dos cosas de alfaz entre ese cuadrada más al fahl cuadrado x 1 entre ese más sólo al cuadrado a solo y ahora el teorema de la colusión nos dice que esto va a ser igual a que va a ser igual a la transformada inversa de la plaza de este primer término del producto transformado inversa de la plaz de alfaz entre ese cuadrada más al fahl cuadrado convolución nada con en convolución nuestra estrella significa aquí con la otra forma inversa de la plaza de esto terminó en convolución con la transformada inversa de la plaz de transformar inversa de la plaza de uno entre ese +1 el cuadrado más uno cuando tenga el producto de dos transformadas inversas de la plaz puedo tomar cada una de ellas de manera independiente y la transforma la inversa del atlas del producto va a ser la convulsión de las transformadas inversas de laplace década de cada factor o de cada uno de los términos bueno creo que lo que dije a hasta a mí me confundió pero creo que tienen la idea reconozco estas dos cosas de manera independiente y tomó independientemente la transformada inversa de la plaza de cada una así que la transforma de inversa de la plaz de sus productos van a ser la convulsión de cada una de sus transformadas inversas ahora que estoy aquí bueno esto es lo que vimos en el principal problema es transformada en vez de la plaza de esto es seno de alfa porte y vara vamos a convulsionar esto con la transformada en vez de la plaza de este otro término y para encontrar la transforma inversa de la plaza de este término tenemos que hacer algunas anotaciones a un lado para no equivocarnos la toma de la plaza de seno dt es igual a 1 entre ese cuadrada más solo y esto es muy parecido a esto pero está desplazado está desplazado por menos sólo ustedes pueden acordarse que la transformada de la plaza de alá aporte por seno dt cuando se multiplica e elevado a la aporte por aquí otra cosa lo que se va a hacer es desplazar la transforma de la plaza 1 / efe - a al cuadrado más solo y ahora tenemos esto desplazado por ahora si dijéramos que nuestra a es igual a menos uno nuestra a igual a menos uno entonces tendríamos exactamente este patrón de k s menos -1 sería ese más sólo al cuadrado va solo así que la transforma a la inversa de la plaza de todo esto es a la aaa que quedamos que es menos solo - usted por qué no bp shell o dt y esta es la solución a nuestro problema a nuestra ecuación diferencial aunque no es un resultado muy elegante y si quisiéramos podríamos expresar esto como una integral pero no voy a resolver la integral en este vídeo pero si lo hiciera pues sólo tendríamos que usar el cálculo integral para resolverlo o quizás alguna computadora veamos esto es igual aquí vamos a hacer la convulsión de estas dos funciones la integral de cero ate de seno nuestra primera función dt - está o no hemos visto esto pero podemos intercambiar los términos aquí dentro en este sentido no vamos a escribir de esta manera seno de melo estado todo esto multiplicado por alfa y todo esto es el seno x a la menos estado seno de eta o de tao esa es una manera de expresar la solución de esto como integral de ecuaciones diferenciales y eso les debe parecer a usted es obvio que puede ser en cualquier dirección porque cuando tenemos un producto aquí no importa en qué orden estén los factores el orden no importa así que puedo escribir este término primero o este otro terminó primero se aplica el mismo principio y esto lo voy a demostrar en un vídeo en el futuro así que otra forma en la que pudimos haber escrito esto es al menos ted seno dt como lució nado con celo de alfa porte y eso hubiera sido igual o es igual a la integral de cero a td a la menos de menos tao por el seno de temenos estado x el seno de alfa portado vetado así que éstas son equivalentes cualquiera de estas respuestas es una respuesta aceptable si por ejemplo a las tuvieran que responder en un examen y de hecho ningún profesor esperaría a que ustedes se valoran estas integrales al menos en un examen sencillamente les interesaría saber que ustedes saben hacer como ilusiones de funciones y encontrar una solución en términos de uso integral de convolución espero que esto les haya aclarado cualquier duda con respecto a este tema nos vemos en el siguiente vídeo