Utilizar el teorema de la convolución para resolver un problema con condiciones iniciales

ahora que sabemos un poco más sobre la integral de convolución y cómo se aplica la transformada de laplace vamos a tratar de resolver una ecuación diferencial usando este método así que tengo esta ecuación con valores iniciales la segunda derivada de y más dos por la primera derivada de y más dos porque que es igual a seno de al fateh y nos dan las siguientes condiciones iniciales de cero es igual a cero y prima de 0 es igual a 0 lo que es bastante bueno porque estas dos condiciones harán que este problema sea mucho más sencillo y entremos en materia lo primero que hay que hacer es encontrar la transformada de la plaza de ambos lados de esta expresión la transformada de la plaza de la segunda derivada de g va a ser ese cuadrada de hecho esto ya debe ser muy familiar para ustedes ese cuadrado por la transformada de laplace de g de ese que le escribo como ya y mayúscula - s recordamos que tomamos el mismo grado de la derivada que estamos trabajando y vamos reduciendo ese grado conforme vamos a agregar los términos a esta y lo multiplicamos por ye de cero y ahora vamos a tener menos seguimos incrementando la s por lo que ahora vamos a tener que prima de 0 la s fue elevada a la 0 y eso era transformada de la plaza la segunda derivada y ahora vamos a encontrar la transformada de la plaza de esta y prima que va a ser igual a más 2 por la derivada de prima s por jbs esa es la derivada menos de de 0 y ahora solo nos queda una la transformada de la plaza de 12 que es igual a más 2 por la transformada de la plaza que es de s y esto tiene que ser igual a la transformada de la planta el seno de al fateh y ese tipo de transformadas las hemos hecho un sinnúmero de veces hasta el momento esto es alfa / s cuadrada + alfa al cuadrado lo siguiente que hay que hacer es separar los términos de la transformada de la plastia y los deje y ahora vamos a deshacernos de esas condiciones iniciales por lo que este término este término y este término son cero así que nuestra expresión total y ahora puede escribirla todo en un solo color nos va a quedar es al cuadrado porque de ese más 2 s jbs + 2 de bs que es igual a alfa alfa entre ese cuadrado más alfa al cuadrado ahora vamos a factorizar la aie de s que es la transformada de la plaza de y nos queda ese cuadrado más 2 s más 2 todo esto está x jbs que es igual a esta parte de acá alfa / s cuadrada más alfa al cuadrado y ahora podemos dividir ambos lados de esta ecuación entre esta parte de cada esta escuadra damas 12 c + 2 y nos queda llévese la transformada de la plaza de g que es igual a alfa entre s cuadrada más alfa al cuadrado x el inverso de esto 1 entre ese cuadrado más 12 c + 2 y bueno ya que tenemos esto esas fracciones así que es lo que tenemos que hacer vamos a resolver esto en el contexto de la convulsión y estoy buscando una transformada de laplace que luzca como una multiplicación de transformadas de la plaza conozco cuál es la transforma de inversa de la plaza de esto así que lo que necesito es encontrar cuál es la transformada inversa de la plaza de esta parte de acá y así expresar el dt como una integral de convolución incluso aunque no necesariamente resolvamos la integral a partir de ahí es sólo el uso del cálculo y aunque fuera una integral que no pudiéramos resolver podríamos usar una computadora o algo así pero bueno vamos a tratar de dejar esto en términos de una integral de convolución que puedo hacer con esto este no es un cuadrado perfecto así que lo siguiente es tratar de completar el cuadrado perfecto aquí vamos a reescribir esto como ese cuadrada +12 ese más algo más 2 si lo escribimos así si yo escribiera ese cuadrada más 2 s 1 esto sería un cuadrado perfecto pero no puedo agregar un 1 así como si voy a agregar algo también lo tengo que quitar para mantener la equivalencia así que aquí tengo un -1 noten que aquí no he cambiado nada se mantiene exactamente igual pero esto ahora lo puedo reescribir como ese 1 al cuadrado y esto se convierte en un +1 esta operación acá por lo que puedo reescribir cdc como igual a alfa / s cuadrada más alfa al cuadrado uno entre todo esto ese es uno al cuadrado más uno y ya dijimos que sabemos cuál es la transformada inversa de laplace de esta parte de esto de acá conozca cuál es su transformada inversa ahora tengo que encontrar cuál es la transformada inversa de esta otra parte esto que voy a encuadrar en un bonito color azul y ahora necesito expresar esto en una forma integral de convolución como luego vamos a hacerlo en este momento vamos a escribirlo decimos que lleve t la transformada inversa de gds es igual a la transformada inversa de la plaza de gds lo escribimos de ese que es igual a la transformada inversa de la plaza de estas dos cosas alfa / s cuadrada más al cuadrado multiplicado por 1 entre ese 1 al cuadrado más 1 y ahora el teorema de la convulsión nos dice que esto va a ser igual a que va a ser igual a la transformada inversa de la plaza de este primer término del producto la transforma de inversa de la plaza de alfa entre s cuadrada más alfa al cuadrado convolución nada con en convolución nuestra estrella se significa aquí con la transforma de inversa de la plaza de este otro terminó en convolución con la transformada inversa de la plaza transformada inversa de la plaza de 1 / s más 1 al cuadrado más 1 cuando tengo el producto de 2 transformadas inversas de la plaza puedo tomar cada una de ellas de manera independiente y la transformada inversa de la plaza del producto va a ser la conducción de las transformadas inversas de la plaza de cada de cada factor o de cada uno de los términos bueno creo que lo que dije hasta a mí me confundió pero creo que tienen la idea reconozco estas dos cosas de manera independiente y tomo independientemente la transformada inversa de laplace de cada una así que la transforma de inversa de la plaza de sus productos van a ser la colusión de cada una de esas transformadas inversas ahora qué es esto de aquí bueno esto es lo que vimos en el principio del problema la transformada inversa de la plaza esto es seno de alfa por te iba ahora vamos a convulsionar esto con la transforma de inversas de laplace de este otro término y para encontrar la transformada inversa de la plaza este término tenemos que hacer algunas anotaciones a un lado para no equivocarnos la transformada de la plaza de seno dt es igual a 1 / s cuadrada más 1 y esto es muy parecido a esto pero está desplazado está desplazado por menos sólo ustedes pueden acordarse que la transformada de la plaza de a a la aporte por seno de t cuando se multiplica elevado a la aporte por cualquier otra cosa lo que se va a hacer es desplazar la transformada de la plaza 1 / s menos al cuadrado más 1 y ahora tenemos esto desplazado por a si dijéramos que nuestra es igual a menos 1 nuestra a igual a menos 1 entonces tendríamos exactamente este patrón de acá ese menos menos uno sería ese más 1 al cuadrado más 1 así que la transforma de inversa de laplace de todo esto es a la que queramos que es menos 1 - usted por celos de t se lo dt y esta es la solución a nuestro problema a nuestra ecuación diferencial aunque no es un resultado muy elegante y si quisiéramos podríamos expresar esto como una integral pero no voy a resolver la integral en este vídeo pero si lo hiciera pues sólo tendríamos que usar el cálculo integral para resolverlo o quizás alguna computadora veamos esto es igual aquí vamos a hacer la convulsión de estas dos funciones la integral de 0 a t de seno nuestra primera función de t menos estado no hemos visto esto pero podemos intercambiar los términos aquí dentro en este se no vamos a escribir de esta manera celo d de estado todo esto multiplicado por alfa y todo esto es el seno x ha lamentado seno de tao de tal esta es una manera de expresar la solución de esto como integral de ecuaciones diferenciales y esto les debe aparecer a usted es obvio que puede ser en cualquier dirección porque cuando tenemos un producto aquí no importa en qué orden estén los factores el orden no importa así que puedo escribir este término primero o este otro término primero se aplica el mismo principio y esto lo voy a demostrar en un vídeo en el futuro así que otra forma en la que pudimos haber escrito esto es a la menos usted se lo de té cómo evoluciona do con celo de alfa porte y esto hubiera sido igual o es igual a la integral de cervantes a la menos de menos estado por el seno de este estado multiplicado por el celo de alza aportado de tal así que estas son equivalentes cualquiera de estas respuestas es una respuesta aceptable si por ejemplo las tuvieran que responder en un examen y de hecho ningún profesor esperaría que ustedes se evaluarán estas integrales al menos en un examen sencillamente les interesaría saber que ustedes saben hacer convulsiones defunciones y encontrar una solución en términos de una integral de convolución espero que esto les haya aclarado cualquier duda con respecto a este tema nos vemos en el siguiente vídeo