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Contenido principal
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Transcripción del video

primero el problema digamos que yo tengo la segunda derivada de g mi función y +4 por la función y todo esto va a ser igual a seno de t seno de t menos la función escalón a unitario en el punto 2 pie x el seno dt menos dos pies vamos a resolver esta ecuación diferencial y aquí creerme que podríamos hacer una lista de vídeos sobre cómo interpretar la realización o la resolución de las ecuaciones diferenciales pueden ver esto como una función de fuerza media extraña en la que mejor se aplica algún peso y este es el término de la aceleración la segunda derivada del tiempo normalmente esa aceleración igual la masa podría ser 1 y la función de la posición podría incluir la constante de un resorte pero no nos vamos a meter en eso no nos vamos a meter en la interpretación de qué significa esta función simplemente vamos a resolverla más adelante habrá oportunidad para todas las interpretaciones bueno ahora vamos a aplicar la transformada de la plaza en ambos lados de esta ecuación así que cuál es la transformada de la plaza del lado izquierdo la tan sonada de la plaza de la segunda derivada de g s al cuadrado vamos a escribir sólo la transformada de laplace de esta parte ese cuadrado multiplicada por la transformada de la planta y menos aquí bajamos el grado a 1 - s x evaluada en 0 - de prima valuada en cero aquí les digo quedaron las condiciones iniciales pues para poder resolver esto apropiadamente y agregamos además más 4 por la transformada de la plaza de y que es igual cuando es la transformada de la plaza de seno de t ahorita ustedes lo deberían de manejar hasta dormidos / s cuadrada + 1 y después tenemos menos esta función escalón unitario cuál es la transformada de la plaza de esto voy a hacer una anotación aquí a un lado para que nos acordemos de cuál es la transformada de la plazas de esta función es carl humanitario hace un par de vídeos vimos que la transformada de la plaza qué bueno yo creo que lo voy a escribir aquí esto va a ser lo mismo que escribí la transformada de laplace de seno de t pero tendremos que multiplicarlo por el ala menos si recuerdan la última fórmula multiplicarlo por el ala menos c donde se es 2 pi lo mejor si vamos a escribirlo aquí más vale escribirlo explícitamente para que quede todo perfectamente claro la transformada de la plaza de la función escalón unitario se ha multiplicado por una función con un desplazamiento de se va a ser igual a el elevado hace por ese poblado sumada de la plaza de la función original la transformada de la plaza efe dt así que aplicando la transformada de la clase esto no está se va a ser dos para nuestra gente va a ser seno de t menos dos por ti así que todo esto va a ser igual vamos a escribirlo aquí va a ser igual o al menos por ese 62 entonces es el ala menos dos por fin por s multiplicada por la transformada de la plaza de fp que es seno de quitamos lo del desplazamiento así que la transforma de laplace decena de t va a ser igual a 1 entre s cuadrada más 1 ahora regresamos a nuestra ecuación que estamos trabajando y al realizar la transformada de la presión ambos lados de la ecuación nos quedan y no tenemos condiciones iniciales aunque todavía no las escribo pero el problema no los da y las condiciones iniciales que nos están dando las voy a escribir aquí en el margen nos dicen en naranja y de cero va a ser igual a cero y el primer valuada en cero va a ser igual a cero lo que es genial porque esto nos simplifica los cálculos esto va a ser cero y esto va a ser cero veamos si podemos simplificar esto del lado izquierdo de la ecuación agrupamos este término con este término así que nos queda la transformada de la plaza de y que multiplica a ese cuadrado mas esto ese cuadrado más 4 cerramos que va a ser igual al lado derecho y este es uno podríamos simplificarlo ahorita pero no quiero hacer muchos pasos a la vez para no confundirlos así que nos queda que es 1 en 13 cuadrada + 1 o bueno de hecho no es menos menos al menos 2 por s / s cuadrada más 1 y ahora podemos escribir todo esto si dividimos ambos lados de la ecuación entre el término s cuadrada más 4 nos queda la transformada de la plaza de y que es igual y aquí de hecho podría combinar estas dos estas dos fracciones ya que tienen el mismo denominador antes de que divide todo esto entre s cuadrada +4 el lado derecho de la ecuación se vería así con el mismo denominador es cuadrada más 11 - y al menos dos por s y cuando hacemos la división del s cuadrada + 4 que dividimos ambos lados de la ecuación por este término vamos a multiplicar el denominador por s cuadrada más 4 y ahora viene la parte difícil para poder calcular que tenemos que encontrar una función inversa de la transformada de la plaza que se vea así como encontramos la transformada inversa de la plage de todo esto aunque resolver esto es fácil si ustedes tienen en mente todas las transformadas de la plaza veamos si podemos hacer una expansión de fracciones parciales veamos si podemos reescribir esto la podemos reescribir de esta manera ya que así nos va a simplificar el trabajo vamos a factorizar esto afuera 1 - al menos 2 por ti por s y todo esto va a multiplicar a lo que voy a escribir a quien era la 1 / s cuadrada + 1 x s cuadrada + 4 ahora vamos a hacer una expansión de fracciones parciales veamos si podemos reescribir esto podemos escribir esta ecuación hasta la derecha 1 entre ese cuadrado 1 por s cuadrada más 4 la podemos reescribir como dos fracciones separadas una con s cuadrada + 1 de denominador y la otra con s cuadrada + 4 como denominador y sus numeradores deberían ser a ese más b y desde otro lado tenemos cs cuando sumamos estas dos cosas debemos tener s más b x s cuadrada más 4 más c por s más de todo esto multiplicado por s cuadrada más 1 todo esto entre este denominador ese cuadrada más 1 por s cuadrada más 4 normalmente estos problemas de ecuaciones diferenciales requieren de mucha energía hay que decirse a sí mismo tengo que continuar y resolver toda la región necesaria para poder resolver este problema tienen que emocionarse al respecto emocionarse al ver que tenemos todavía está álgebra que resolver vamos a calcular esta parte de arriba puede simplificarse como a s al cubo + b por s al cuadrado 4 x a por s + 4 por d y esto continuamos aquí abajo sepor es el cubo más de pones al cuadrado más se pone sé + d vamos a sumar todos estos elementos juntos este es todo el álgebra que tenemos que hacer para bien o para mal a más x s kubica más bien más de multiplicar por ese cuadrado más 4 am c x s nos hacemos un poco a la derecha más 4 b más d y ahora lo que tenemos que recordar es que todo esto es igual a esto que está aquí arriba simplemente hemos simplificado numerador este es el numerador y tengo esto va a ser el numerador de ese cuadrada más 1 por s cuadrada más 4 y establecimos que todo esto deberá ser debe ser igual a 1 / s cuadrado más 1 x s cuadrada más 4 así que tenemos que encontrar una coincidencia de patrones en el coeficiente todo esto es una expansión de ecuaciones parciales además de ese coeficiente de ese cubica y de este otro lado no tenemos nada con ese término de ese cúbica así que a más se va a ser igual a cero vemos ve más de ese coeficiente de nuestra y sea cuadrado en este otro lado tampoco tenemos por lo que ve más de va a ser igual a 0 4 a más es el coeficiente de s aquí tampoco tenemos ese así que cuatro ama se va a ser igual a cero y lo único que nos queda 4 b más de va a ser igual a 14 b más de igual a 1 vamos a ver cómo podemos encontrar la solución menos 3 a que es igual a 0 a es igual a cero si lo vemos de esta parte y se va a ser igual a cero restamos esto de esto otro -3 ven esto se cancela esto es igual a menos 1 b va a ser igual a un tercio por lo que ve es igual a menos de eso los sacamos d es igual a un tercio así que todo este trabajo nos da un resultado bastante simple vamos a regresar a nuestro espacio por acá ahora vamos a reescribir nuestra ecuación un tercio entre s cuadrada más uno es el coeficiente y esto vamos a dejarlo muy claro que es el término que está encima de ese cuadrado más uno y b es menos de permítanme aclarar esto es igual a un tercio vamos a revisar que esté bien ve es un tercio de es menos un tercio ves el término que está encima de ese cuadrado más uno y tenemos menos de menos un tercio entre s cuadrada 4 como les dije esto necesita de mucha energía y mucha paciencia bueno ahora vamos a reescribir todo esto para que podamos regresar a nuestro problema principal pues ya que cuando nos involucramos en esta expansión de fracciones parciales como que nos olvidamos de por qué lo hicimos en primer lugar así que tenemos la transformada de la plaza de iu que es igual 1 - y al menos dos por pi por s x todo esto que desarrollamos hace un momento por un tercio x 1 entre ese cuadrado 1 - un tercio multiplicado y de hecho permíteme escribirlo de otra manera para que quede un poquito más claro quiero tener un 2 en el numerador así que va a ser 2 entre s cuadrada más 4 si hago esto de poner el 2 en el numerador pues tengo que poner aquí en el denominador algo que me lo neutraliza así que va a ser un 6 menos un sexto por dos entre ese cuadrado más cuatro eso lo sé poniendo la forma más parecida a la transformada de la plaza de seno de t ahora vamos a ver si hay algo que yo pueda hacer para resolver esto ya que es un problema épico realmente y realmente me sorprendería si no me equivocara a realizar esto así que podemos reescribir todo esto y vamos a ver si lo podemos simplificar un poco más aunque a simplificar no lo voy a hacer un poquito más largo podemos escribir la transformada de la plaza de iu que es igual primero voy a multiplicar el 1 por todo lo demás y luego el menos al menos 2 y por eso se multiplica primero el 1 voy a tener un tercio multiplicado uno entre ese cuadrado más uno menos un sexto x 2 / s cuadrada más 4 y ahora voy a multiplicar por el menos al menos 2 por mí por s aquí lo voy a hacer en otro color aquí tengo menos a la menos dos por pi por s entre 3 x 1 / s cuadrada más 1 - por menos es más así que ahora tengo más a la menos 2 party por s / 6 x 2 / s cuadrada más 4 ahora tratemos de encontrar una transformada de la plaza inversa que sea igual a esto bueno pues ya lo tenemos bastante directo y nos quedan ye igual le ha transformado de la classe inversa de esto va a ser un tercio de seno de t seno de t y eso es menos un sexto un sexto seno de 2 t por eso es que quise poner el 2 arriba en este número 2 y todas estas son casi lo mismo pero tenemos este término de al menos 2 picores y aquí tenemos que acordarnos que la transformada de la plaza lo voy a escribir aquí abajo la transformada de la plaza de la función escalón unitario de dos pies x s dt menos 2 por fin esto va a ser igual y al menos dos por people s x la transformada de la plaza de esto con una f perdón déjenme corregir esto multiplicado por la conformada de laplace si suponemos que el frente es seno de 2 por t y nos damos cuenta que tenemos que desplazarlo y multiplicarlo por al menos 2 people s que es la función escalón unitario y quiero que quede esto claro si sólo tuviéramos este término la transformada de la plaza inversa de esto sería la misma que esta otra seno de t la transformada de la plaza inversa de esto sería seno de 2 t pero tenemos estos términos que esencialmente en lugar de tener nuestra transformada de la plaza inversa de ft va a ser nuestra efe dt pero desplazada por dos pi iba a estar multiplicada por nuestra función escalón unitario en dos pi así que esto va a hacer menos tercio x la función escalón unitario de dos pin dt x en lugar del seno de te va a ser el seno de t menos 2 y ya casi terminamos vamos a hacer la última parte en magenta para celebrar es nuestro último término un sexto multiplicado por la función escalón unitario en dos ping de t multiplicado por el seno y aquí tenemos que tener cuidado en lugar de poner esto como late -2 pin a quien va a ser seno de dos porte menos dos pie aquí ya está por fin hemos podido resolver nuestra ecuación diferencial bastante densa usando la transformada de la plaza podrían formarse a un tiempo si ustedes quisieran para simplificar esto todavía se puede reducir un poco más y yo creo que de hecho lo vamos a hacer aún a riesgo de que me pueda equivocar en el último momento vamos a ver si podemos hacer alguna simplificación aquí de hecho no se ve algo obvio que podamos simplificar podríamos factorizar esto de aquí pero al parecer esto es lo más simple a lo que podemos llegar así que esta es nuestra función de t que satisface a nuestra aparentemente simple ecuación diferencial que teníamos aquí arriba que parecía muy directa pero terminamos con todo este desastre para encontrar esta función que satisface esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales que tenemos