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Contenido principal
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Transcripción del video

bienvenidos nuevamente finalmente estamos usando la transformada de laplace para resolver un problema y la primera parte de este problema trata acerca de esta ecuación diferencial bastante directa y sé que hábitat les puede parecer un poco frustrante el ver todo este desarrollo ya que este es bastante fácil de resolver por la ecuación característica pero quiero mostrarles que podemos usar esta transformada de laplace para resolver este tipo de problemas ya que más adelante veremos tipos de problemas para los cuales los métodos tradicionales no nos sirven mucho para resolverlos pero bueno terminamos haciendo todas estas ecuaciones medio densas usamos las propiedades de las derivadas de las transformadas de la plaza y terminamos realizando bastante álgebra para llegar a esto a la transformada de la plastia que es igual a todo esto aplicamos la está normada de la clase en ambos lados para calcularlo de maneras hebraica y nuestra tarea en este vídeo es encontrar qué función nos da una transformada de laplace que se parezca a este resultado y esencialmente lo que tratamos de hacer es encontrar la transformada inversa de la plaza de ambos lados de esta ecuación para encontrar la transformada inversa de y podemos decir que va a ser ahora está en forma de inversa de la plaza de estos 2 s 13 entre s cuadrada más 5 s 6 eventualmente aprenderemos cuál es la definición formal de la transformada inversa de la plaza como pasamos del dominio de s al dominio de t o como pasamos del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo ahorita no nos vamos a preocupar por eso lo que queremos hacer ahorita es tomar esto y dejarlo de una forma que podamos reconocer que esa es la transformada de laplace de algo y a partir de ahí podremos encontrar el valor de y vamos a tratar de hacerlo lo que vamos a usar es algo que quizás no hayan usado desde álgebra 2 me parece que ahí es en ese nivel cuando lo ocupan octavo noveno décimo grado dependiendo y es hasta que vemos ecuaciones diferenciales donde se encuentran algunos o vamos a usar la expansión de fracciones parciales y voy a poner aquí algo para recordarles de qué se trata y en caso de que no lo recuerden vamos a factorizar el denominador de esto y ya se dan cuenta hacia donde quiero llegar si factor hizo el denominador voy a obtener + 2 x s más 3 y ahora lo que queremos hacer es reescribir esta fracción como la suma de dos fracciones parciales y creo que es por eso que esto se llama la expansión de fracciones parciales vamos a expresar esto como la suma de a entre esas dos más ve / s más atrás si podemos hacer esto y a lo mejor ustedes ya están haciendo la operación en sus mentes sabemos sabemos que estas cosas son la transformada de la plaza de funciones que ya conocemos y vamos a revisar esto en un momento para recordarlo pero bueno veamos cómo calcular a ive si fuéramos a sumar a ive vamos a hacerlo aquí a un lado si les llevamos un denominador común o como un denominador que sería este es más dos por semestres que sería bueno x 3 s más 3 y esto que estoy escribiendo aquí es lo mismo que estoy poniendo acá solo dando un común denominador si se dan cuenta ustedes pueden cancelar estos dos términos y ahora vamos a agregar la parte que corresponde a b que esto lo ves en otro color más bueno si tenemos esto como denominador podemos multiplicar el numerador y el denominador por s más 2 para obtener x s + 2 b y esto debe ser igual a esta otra cosa lo único que he hecho aquí es sumar estas fracciones no he hecho nada más complejo esto es álgebra básica pero esto va a ser igual a todo esto lo escribimos aquí 12 s 13 todo esto entre ese 2 por ese 3 ahora noten que en todas las ecuaciones diferenciales la parte más densa o más pesada siempre es la parte de álgebra así que ahora lo que hacemos es encontrar coincidencias podemos agrupar los términos de ese y encontrar que estos términos deben ser iguales en estos lados así que tenemos a más de s + 3 a 2 ven que debe ser igual a 2s más 13 el coeficiente de las heces debe ser igual a 2 por lo que más bien debe ser igual a 2 más bien igualados y del lado derecho tenemos 3 a 2 b aquí este 13 no se nota muy bien así que lo voy a volver a escribir 13 si no se puede confundir con un ave y no quiero confundirlos así que del lado derecho tengo 3 3 a 2 b que debe ser igual a 13 ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y sé que habitan a lo mejor están un poco cansados pero verán que vale la pena ya que al final van a resolver algo con la transformada de la plaza multiplicamos la ecuación de arriba por 2 o bueno x menos 2 - 2 a menos 2 b va a ser igual a menos 4 y aquí agregamos las dos ecuaciones y nos queda que a es igual estas se cancelan a va a ser igual a 9 si es igual a 9 aquí va a ser igual b a pues b va a ser igual a 9 más algo que debe ser igual a 2 b tiene que ser igual a menos 7 y ya hemos simplificado bastante esto ya que ahora podemos reescribir toda esta ecuación como la transformada de la plaza de iu la transformada de la clase ya que es igual a a 19 entre s más 2 - 7 entre s más 3 otra manera de escribir esto podemos escribirlo así que es igual a 9 x 1 en 13 + 2 menos 7 x 1 / s + 3 porque nos tomamos la molestia de hacer esto bueno yo espero que ustedes reconozcan esta parte que es la segunda transformada de la plaza que calculamos en vídeos anteriores esta fue la segunda transformada de laplace que encontramos y cuál es esta bueno vamos a escribirla aquí y es la tensionada de la plaza aporte que es igual a 1 entre s menos esta fue la segunda transformada de las que calculamos así que si queremos encontrar que esto es la transformada de la plaza de algo vamos a calcular la transforma de inversa de la plaza eso significa que esa es la transformada de la plaza de yale que es igual a 9 por la transformada de la plaza de esto y si vemos este patrón diremos que ésta es a menos 2 es la transformada de la plaza de al menos 2 por t espero que esto tenga sentido si ustedes toman esto y lo sustituyen acá van a obtener este valor 1 en 3 + 2 y permíteme quitar algo de aquí porque voy a necesitar más espacio vamos a borrar esta parte de acá esto lo dejo porque todavía no voy a usar y ahora tenemos menos 7 x esto que es la transformada de la plástica pues sustituimos el mismo patrón va a ser la transformada de la plaza adame nostresport e simplemente estamos sustituyendo el patrón aquí si ustedes van al nuestra tabla de transformadas de la plaza y encuentran esto van a ver que pues pueden sustituir esta parte por esto y van a encontrar cuál es la transformada de la plage correspondiente así que aquí nada más sustituyen el valor de a dejando que hace igual a menos 3 quedando a la menos 3 t y ahora podemos tomar la transformada inversa de la plaza aunque antes de eso sabemos que esto es así debido a que el operador de la transformada de la plaza es un operador lineal y ahora sí puedo borrar esto de aquí sabemos que el operador de la transformada de la plaza es un operador lineal y normalmente no realizaremos todos estos pasos pero ahora quiero que les quede muy claro todo lo que estamos haciendo así que podemos decir que todo esto es igual que la transformada de la plaza al menos 237 y al menos 3 t y ahora tenemos algo interesante la trama de la plaza de iu es igual a la transformada de la plaza de esto si este es el caso entonces ya va a ser igual a 9 x al menos 2 de menos 7 y a la menos 3 t la formada de la plaza realmente es una transformación de 11 si yo tomo una función y luego la transformada de la plaza y obtengo la transformada inversa de la plaza la única función que va a ser resultado es la función original es decir que ningún par de funciones diferentes tendrá la misma transformada aquí hay un par de cosas que hay que tener en mente noten que tenemos esto que podría parecer una ecuación característica y tenemos que resolver de todas maneras un sistema de ecuaciones con dos incógnitas son ambas cosas que tenemos que hacer cuando estamos resolviendo el valor inicial de una ecuación característica tradicional pero aquí todo ocurre el mismo tiempo esto estuvo bastante denso porque tuvimos que hacer toda esta parte de las fracciones parciales pero es bastante legal la transformada de la plaza no sirve para algo útil y en el siguiente vídeo de hecho voy a hacer una ecuación no homogénea donde la transformada de la plaza se aplica igual de bien ahí es una teoría un poco más consistente para resolver ecuaciones diferenciales en lugar de estar adivinando soluciones nos vemos en el siguiente vídeo