La transformada de Laplace para resolver una ecuación

hemos hecho bastantes vídeos acerca de cómo encontrar la transformada de la plaza pero en todos ellos ustedes se han quedado quizás con la idea de bueno y para que estoy aprendiendo esto ahora les voy a mostrar por qué al menos en el contexto de las ecuaciones diferenciales de hecho hemos recibido bastante correspondencia acerca de qué significa realmente la transformada de la plaza y aquí han hecho excelentes preguntas y procuraré aquí responder a algunas de ellas es difícil tener una intuición acerca de la transformada de la plaza al menos en el contexto de las ecuaciones diferenciales además de ser una herramienta bastante útil que nos ayuda a convertir ecuaciones diferenciales en operaciones algebraicas pero les voy a dar aquí un tip si ustedes quieren comprenderla mejor te recomiendo que estudien transformada de fourier y las series de fourier ya que son bastante similares a esta transformada de la plaza ahora vamos a usar la transformada de la plaza para resolver una ecuación diferencial y ésta ya la han visto antes digamos que nuestra ecuación diferencial es y dos primas más 5 de prima + 6 porque y esto es igual a 0 y bueno eso ustedes ya lo saben resolver pero quería mostrarles una forma más directa de resolver esto usando nuestras transformadas de la plaza y las condiciones iniciales son tiene 0 es igual a 2 desde cero igualados de prima de cero es igual a 3 y ahora para poder usar la transformada de la plaza tenemos que aplicar la transformada de la plaza en ambos lados de esta ecuación vamos a cambiar a un color un poco más vibrante y tenemos la transformada de la plaza y dos primas más esta parte de aquí es lo mismo que escribir 5 por la transformada de la plaza de prima 5 la transformada de la plaza de prima más 6 por la transformada de la plaza de james y déjeme preguntarles algo ustedes saben cuál es la transformada de laplace de 0 la integral de 0 a infinito de 0 por el ala menos st dt si es un 0 la transformada de la plaza 0 va a ser igual a 0 lo cual es muy bueno porque ya no tengo espacio para escribir otra l y aquí vamos a aplicar una de las propiedades útiles que aprendimos en los vídeos anteriores la propiedad útil que va a ocuparnos bastante espacio vamos a quitar esto que nos estorba así que bueno cuál es esta propiedad misteriosa que vamos a usar que voy a escribir aquí abajito la transformada de la plaza de mi prima o efe prima es igual a ese multiplicado por la transformada de la plaza de g - y evaluada en 0 nosotros probamos esto en un vídeo anterior para ver que efectivamente ese es el resultado de la transformada de la plaza y ahora vamos a ver si podemos aplicar esto en nuestro problema si aplicamos esto va a ser igual a ese multiplicado por la transformada de la plaza si pasamos de prima hay en este otro caso vamos a pasar de 2 prima a ye prima así que nos queda de prima menos primera derivada evaluada en 0 y aquí ya tenemos este valor ya lo tenemos acá ahora vamos a terminar con esta otra parte vamos a sumar más 5 por la transformada de la plaza d y prima 6 por la transformada de la plaza de g de james igual a 0 y para aclarar todo lo que hice fue sustituir esta parte por esto usando esto y bueno ahora cómo podemos reescribir está transformada de la plaza pues usamos de nuevo esta fórmula de aquí vamos a hacerlo ahora lo voy a hacer en otro color en magenta ese multiplicado x está transformada de la plaza ya prima que a su vez es ese por la transformada de la plaza de g - y de cero todo esto está sustituyendo lo aquí - que prima de 0 y ahora voy a cambiar de colores para que sean poco más claro + 5 y ahora vamos a sustituir la transformada de la clase prima va a ser 5 por s por la transformada de la plaza de g menos y evaluado en cero cerramos el paréntesis más 6 pone transformadas de la plaza y aquí ya no tengo espacio mejor lo pongo aquí abajo más 6 por la transformada de la plaza y esto es igual a cero sé que todo esto puede parecer bastante confuso pero no se preocupen ahorita vamos a simplificarlo incluso ya podemos quitar esta parte de acá así que vamos a hacer algo de espacio una nueva transformada de laplace no tenemos que adivinar cuál es la solución general ni nada por el estilo en cambio ahora sólo vamos a tomar las informadas de la plaza y vamos a ver hasta dónde nos lleva esto voy a aclarar un poco más esto esto que voy a subrayar aquí reescribir esta parte esto de aquí y reescribir esta otra parte como lo que se encuentra aquí entre paréntesis todo lo demás queda igual ahora simplificando nos queda ese al cuadrado puede transformar de la plaza de g - sport evaluado en cero vamos a sustituir de 0 90 es dos así que nos queda 2s primero y vemos que la prima de cero estrés así que menos 12 s menos 3 más 5 por s multiplicado por esto 5 por s la transformada de la plaza de g - 5 por 0 pero el 10 2 - 5 por 2 10 estamos sustituyendo el valor de 30 más 6 por la transformada de la plaza de yen y todo esto es igual a cero y ahora vamos a agrupar nuestros términos de la transformada de la plaza y nuestros términos constantes y esperemos que todo esto nos lleve a alguna parte veamos aquí voy a estar subrayando los términos con transformada de la plaza y tengo este tengo este y tengo este otro vamos a factorizar estos términos tenemos la transformada de la plaza de g lo que está bien para estar evitando nos escribir esto una y otra vez lo vamos a multiplicar por s cuadrada 5 s + 5 s + 6 todos estos son mis términos que tienen una transformada de la plaza y ahora tengo mis términos constantes menos 2s - 3 menos 10 igual a 0 y ahora lo que podemos hacer aquí bueno aquí está algo interesante noten que aquí tenemos que los coeficientes de la transformada de la plaza los que tienen los términos en que están en formato de ecuación diferencial y no sólo eso está exactamente con los mismos coeficientes que nuestra educación original lo que nos da una pista importante y bueno si ustedes les interesa encontrar conexiones algo tenue pues bueno aquí hay una de ellas la ecuación característica que obtuvimos lo hicimos sustituyendo las transformadas de la plaza y esas transformadas de la plaza se involucran funciones bastante similares pero de cualquier manera regresemos a nuestro problema lo que voy a hacer ahora es que voy a resolver esto voy a decir bueno la transformada de la plaza de iu es igual a algo y después voy a buscar qué funciones de la transformada de la plasmada en esto y entonces ya habré encontrado la solución si eso nos confundió no se preocupen siguen observando porque a partir de ahora vamos a tener un álgebra bastante densa así que vamos a hacer espacio aquí abajo para tener un lugar donde describir y aquí escribimos la transformada de la plaza de y multiplicada por s cuadrada más 5 s 6 y esos términos constantes los voy a pasar de este otro lado de la igualdad por lo que me queda 2 s más 3 más 10 bueno de hecho aquí sería 13 no tiene caso dejarlo así 2 s 13 y ahora qué puedo hacer bueno pues vamos a dividir ambos lados de esta ecuación entre s cuadrada más 5 s más 6 de manera que la transformada de la plaza de y me quede solita en un lado de la ecuación y sea igual a 2 s 13 entre s cuadrada más 5 s más 6 y ya casi estamos terminando ahora lo que tenemos que hacer es encontrar qué función ya tendría una transformada de la plaza parecida a esto si nosotros tuviéramos esto en nuestra tabla de transformadas de la plaza pues podríamos encontrar de inmediato cuál es la transformada que corresponde pero realmente no tenemos algo idéntico a esto en nuestra tabla de transformadas y bueno mestre quedamos sin tiempo en el siguiente vídeo vamos a continuar resolviendo esta transformada de la plaza y vamos a encontrar qué tipo de transformada de la plaza tiene esta función usando las cosas que ya sabemos y manipulando esto algebraica mente nos vemos en el siguiente vídeo