Utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones no homogéneas

después de mucho tiempo de no trabajar sobre el tema en esta ocasión les voy a presentar un problema sobre cómo usar la transformada de la plaza para resolver ecuaciones lineales no homogéneas y vamos a comenzar con una para calentarnos un poco hace tiempo que no trabajaba yo con ese tipo de problemas así que si tenemos la ecuación la segunda derivada dejé más que y eso es igual a seno de 2t y nos dan algunas condiciones iniciales de 0 es igual a 2 y ya prima de 0 es igual a 1 y se han visto los vídeos anteriores recordarán que lo que tenemos que hacer es tomar la transformada de laplace de todos los términos de esta expresión y luego hacer la transforma de inversa de la plaza si tienen dudas bueno aquí lo vamos a hacer esperando que al resolver este ejemplo se clarifique cualquier duda o confusión en alguno de los vídeos anteriores yo les expliqué que la transformada de la plaza de la segunda derivada de iu es igual a s al cuadrado por la transformada de la plaza de g - s por ye evaluada en ser podemos considerar esto como está realizando la derivada recordamos que esta es una integral que la transformada de la plaza es una integral esta 70 esta una derivada más lejos que este término - mi prima evaluada en 0 y podemos reescribir esto en términos puramente nacionales como en lugar de escribir la transformada de la plaza de todo el tiempo puedo escribir lo como s cuadrada por ye mayúscula de s ya que la transformada de la plaza está en función de ese menos ese 90 menos ye prima de 0 estos van a ser números éstas no son funciones son valores de la función evaluar en cero y de la primera derivada de la función evaluada en cero y ya sabemos cuáles son estos valores los tenemos aquí arriba este es 2 y prima de 0 es un 1 si calculamos la transformada de la plaza de ambos lados de esta ecuación primero queremos encontrar la transformada de la plaza de este término de aquí que es lo que acabamos de hacer la transformada de la plaza de la segunda derivada de ella que es s cuadrada por la transformada de la plaza de la función que escribimos como ye mayúscula de s menos -2 s ya que nos dieron la condición inicial de llevarlo a 0 que es 2 menos uno que es la primera derivada de evaluar en cero y ahora queremos encontrar la transformada de la plaza y está ahí que es más ye mayúscula de s transformada de la plaza de y aquí lo escribimos ha transformado la plaza y es igual a ye mayúscula de s y esto va a ser igual a la transformada en la plaza seno de 2 t en un vídeo anterior ya les mostré cuál es la transformada de la plaza de celo de aporte pero la vamos a escribir aquí para que la recordemos todos en color rojo la transformada de laplace de seno de a porte es igual a entre s cuadrada más a cuadrada / s cuadrada masa cuadrada por lo tanto la transformada de laplace de seno de 2 t sustituimos a por 2 y nos queda 2 entre s al cuadrado más 2 al cuadrado que es 4 la transformada de la plaza de este otro lado de la ecuación quedó como 2 / s cuadrada más 4 y ahora lo que podemos hacer es separar nuestros términos de s factorizar este coeficiente aquí hay un término y ese aquí hay otro y el lado izquierdo de esta igualdad la escribimos como s cuadrada que es este término + 1 ese cuadrado más 1 x vamos a cambiar el color por estas de ese porque de s y ahora aquí ponemos los términos que no tienen de s - 2 s menos 1 que es igual a 2 / s cuadrada 4 podemos sumar 2 s + 1 en ambos lados de esta igualdad y nos va a quedar ese cuadrado más uno por jbs de bs que es igual a 2 / s cuadrada 4 + 2 s más uno y ahora podemos dividir ambos lados de la ecuación entre s cuadrada más 1 quedándonos la transformada de la plaza s que es igual a 2 vamos a cambiar color 2 / s cuadrada más 4 multiplicando s cuadrada más 1 qué es lo que está dividiendo ambos lados de esta ecuación s cuadrada más uno más dos es más uno estos otros dos también os tengo que dividir entre s cuadrada más uno 1 / s cuadrada más 1 y ahora para poder encontrar la transformada inversa de todo esto necesito dejarlas en una forma de fracciones simples así como están están un poco difíciles tendremos que hacer una descomposición de fracciones para encontrar fracciones más sencillas que nos sean más fáciles de encontrar su transformada inversa y en general esa es la parte más difícil de este tipo de problemas el álgebra necesaria para poder descomponer esto en cosas más sencillas y ahora cómo vamos a descomponer esta parte voy a escribir aquí abajo 2 / s cuadrada + 4 que multiplica s cuadrada + 1 esto lo voy a descomponer en dos fracciones esta es la descomposición de fracciones parciales una fracción va a tener el denominador es cuadrada más 4 y la otra fracción tendrá el denominador ese cuadrada más 1 ambos denominadores tienen un grado 2 por lo que los numeradores deberán tener un grado 1 esto quiere decir que van a tener un numerador del tipo a por s más b y este otro tendrá un 1 de la forma se puede ser más de esto es solamente álgebra es descomposición de fracciones parciales y ya hemos hecho algunos vídeos explicando esto estoy asumiendo que puedo expresar este término de acá en dos fracciones y lo que necesito hacer es encontrar los valores para a para ver para se y para d y para eso tengo que hacer la suma de estas fracciones al hacer la suma voy a tener que el denominador de todo esto va a ser s cuadrada más 4 por ese cuadrado más 1 y en el numerador voy a tener que multiplicar a s se ve por este denominador de acá ese cuadrado más uno si nos quedamos así pues estos dos términos se cancelarían y tendríamos esta fracción original pero tengo que agregar ese es más de x este término de acá s cuadrada 4 y vamos a ver si podemos simplificar los términos de aquí tenemos que encontrar los valores de a b c y d para que coinciden con este 2 de acá a ese más de por ese cuadrado más uno va a quedar a ese al cubo más a por s + b s cuadrada y ahora multiplicamos esta otra parte de acs de por s cuadrada más 4 nos queda por s al cubo más 4 c s estos dos términos de acá nos queda disculpen si se me escucha la voz un poco rara es que estoy como agripada pero todas maneras aquí estamos al pie del cañón bueno en que estaba yo así más de por s al cuadrado más de por 44 de eso es todo y no escribí esta manera para poderme asegurar de hacer bien las operaciones de manera que los términos con los mismos grados queden alineados y al decir la suma me queda vamos a cambiar de color me queda a maze por s al cubo más ponemos el término con es el cuadrado después de más de x es el cuadrado más a 40 por s más ve más 4 d y todo esto es solamente el numerador y todo esto es lo que acabamos de desarrollar acá esto de aquí y yo creo que deberíamos simplificar esto el denominador sigue igual sigue estando ese cuadrada más 4 por s cuadrada más 1 aquí lo escribimos s cuadrada más 4 por ese cuadrada más 1 este es el la fracción y esto va a ser igual a esta otra cosa de acá 2 / s cuadrada +4 por s cuadrada + 1 y la razón por la que he hecho todo este desarrollo tan grande es porque necesitamos encontrar los valores de abc y de vemos que hace es el coeficiente del término con una s al cubo y vemos que de este otro lado no tenemos ese tipo de coeficientes así que a más se van a ser igual a 0 lo escribimos aquí a más e es igual a 0 ya que aquí no hay ningún término que tenga una vez el cubo vemos que es el coeficiente bs al cuadrado pero de este otro lado no tenemos nada en el numerador con ese cuadrado por lo que ve más de también va a ser igual a cero a más 4 c es el coeficiente de ese y lo mismo de este otro lado no tenemos nada en términos de s nuevamente lo escribimos a 4 c igual a cero que bueno ya vimos que a maze era 0 por eso es una lógico que a más 4 c también sea 0 y finalmente tenemos los términos constantes y si tenemos un término constante de este otro lado tenemos al 2 por lo que ve más 4 d va a ser igual a 2 4 de igual 2 y ahora nos toca encontrar cuáles son los valores de b y d de manera que toda esta expresión sea igual a 2 y estas expresiones lineales no son difíciles de resolver para eso vamos a restar estas expresión de esta otra y nos queda a menos a 0 c - 4 c igual a menos 13 que todo esto es igual a cero por lo tanto se va a ser igual a cero y si vemos que se es igual a cero a más es igual a cero por lo tanto a va a ser igual a cero y vamos a hacer exactamente lo mismo de este otro lado vamos a restar esto de esto bmw es igual a cero de menos cuatro de es igual a menos tres de hicieron menos dos es igual a menos 2 nos queda que de va a ser igual a dos tercios dividimos todo entre menos tres menos dos entre menos tres queda dos tercios y encontramos tres valores de nuestras cuatro variables y ahora necesitamos encontrar cuál es el valor de b y aquí una de las ecuaciones nos dice que ve más d es igual a cero por lo que ve debe ser igual que b pero con signo negativo por lo que ve debe ser igual a menos dos tercios para que a sumar menos dos tercios más dos tercios sea igual a cero y ahora si tenemos todos los valores que necesitamos 2 / s cuadrada 4 por s cuadrada más 1 lo podemos reescribir como si es 0 nos queda aquí solamente b b es menos dos tercios entre s cuadrada más 4 más la otra fracción tenemos que ser es igual a cero porque nos queda de ive es dos tercios dos tercios / s cuadrada más uno así que todo ese trabajo que acabamos de hacer era simplemente para descomponer esta pieza de acá solo para descomponer esta pieza de acá en partes más sencillas y ahora después de todo este trabajo que es lo que nos queda déjenme asegurarme de no equivocarme aquí tenemos la transformada de la plaza s y como ven les dije el álgebra es la parte más difícil de todo este problema es igual a este primer término que ahora tengo descompuesto en otras partes en esto que acabamos de calcular vamos a escribirlo de esta manera menos un tercio que multiplica a 2 / s cuadrada más 4 dos tercios que multiplican a 1 / s cuadrada más 1 bueno le preguntarán por qué estás escribiendo no de esta manera bueno pueden ustedes darse cuenta de que esta es la transformada de la plaza del seno de 2t y esta es la transformada de la plaza de 0 dt así que lo que quiero escribir de esta manera para que me sea más fácil encontrar la transformada inversa y nos queda agregar 2 s / s cuadrada más 1 lo vamos a escribir en donde le corresponde más 2 por s / s cuadrada más 1 más el último término 1 / s cuadrada más uno 1 / s cuadrada más 1 y ahora sólo nos queda encontrar la transformada inversa de la plaza cada uno de estos términos y ya con eso podemos encontrar cuál es el valor de g vamos a recordar la transformada de la plaza y bueno aquí estamos buscando la transformada inversa lo voy a escribir aquí para que quede claro y vean que no me estoy sacando nada de la manga la transformada de la plaza s lo de aporte es igual a a / s cuadrada masa cuadrada la transformada de la plaza del coseno de porte es igual a s / s cuadrada masa cuadrada y esto es lo que vamos a usar para encontrar la transformada inversa de la plaza en ambos lados de esta ecuación la transformada inversa de jbs va a ser simplemente lleve t y esto va a ser igual esto es la transformada de la plaza seno de 2 t nada más estamos encontrando los patrones aquí si a es igual a 2 entonces esta es la transformada de laplace de seno de 2 t menos un tercio de seno de 2 t más dos tercios esta es la transformada de la plaza del seno de t cuando a es igual a 1 cuando a es igual a 1 la transformada de la plaza el seno de t es uno entre s cuadrada más son los más dos tercios por el seno de t y vamos a hacer el siguiente en azul para que quede más claro más dos por esto es la transformada de la plaza de coseno de t si a es igual a 1 entonces esto es s / s cuadrada más 1 la transformada de la plaza del coseno de t y finalmente el último término más vemos que es la transformada de la plaza de seno dt siendo igual a 1 y ya casi terminamos aunque todavía tenemos que hacer algunas simplificaciones tengo dos tercios del seno de t aquí y tengo seno de t acá así que dos tercios más un entero cuánto es dos tercios más un entero reescribimos 7 es igual a menos un tercio de seno de 2 t más si agregan estos dos términos cinco tercios del seno de t y nuestro último término más 2 coseno de t vaya este problema fue bastante denso y vimos que la parte más difícil fue realizar toda la obra necesaria para simplificar las fracciones la descomposición de fracciones parciales que hicimos con mucho cuidado aquí para no cometer errores y al final obtuvimos una respuesta bastante elegante y que satisface nuestra incógnita inicial una ecuación diferencial no homogénea espero que hayan encontrado la resolución de su problema bastante satisfactoria y nos vemos en el siguiente vídeo