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Transcripción del video

después de mucho tiempo de no trabajar sobre el tema en esta ocasión les voy a presentar un problema sobre cómo usar la transformada de la plaza para resolver ecuaciones lineales no mojen es y vamos a comenzar con una para calentarnos un poco hace tiempo que no trabajaba yo con este tipo de problemas así que si tenemos la ecuación la segunda derivada de ye más che y eso es igual hacen o de 2t y nos dan algunas condiciones iniciales llegué de cero es igual a 2 y ye prima de cero es igual a 1 y se han visto los videos anteriores recordarán que lo que tenemos que hacer es tomar la forma de la plaza de todos los términos de esta expresión y luego hacerlas de forma inversa de la plaza si tienen dudas bueno aquí lo vamos a hacer esperando que al resolver este ejemplo se clarifique cualquier duda o confusión era uno de los vídeos anteriores yo les expliqué que la transformada de la plaz de la segunda derivada de ye es igual a ese al cuadrado por la reforma de la plaza de ye - s porsche evaluada en ser podemos considerar esto como está realizando la derivada recordamos que esta es una integral que la transforma de la plaza es una integral desde cero está una derivada más lejos que ese término - prima valuada en cero y podemos reescribir esto en términos puramente nacionales como en lugar de escribir la transforma de la plaza de llet todo el tiempo puedo describirlo como ése cuadrada por gemma yushu la ds ya que la transforma de la plaza está en función de ese - s 70 menos de prima de cero estos van a hacer números estos no son funciones son valores de la función evaluar en cero y de la primera derivada de la función valuada en cero y ya sabemos cuáles son nuestros valores los tenemos aquí arriba estés 2i y prima de cero es uno si calculamos ha transformado de la plaza de ambos lados de esta ecuación primero queremos encontrar la forma de la plazas de este término de aquí que es lo que acabamos de hacer la reforma de la plaza la segunda derivada de ye que es ese cuadrada por otra forma de la plaz de la función que le escribimos como lle mayúscula de ese menos -2 s ya que nos dieron la condición inicial de llevarlo a vencer o que esos menos uno que es la primera derivada de llevarlo a vencer y ahora queremos encontrar la forma de la plaza de ye estalle que es más ye mayúscula de ese plataforma de la plaza de ye aquí lo escribimos ha transformado la plaza de jesse igual a ye mayúscula ds y esto va a ser igual a la toma de la plaza de celo de 2t en un vídeo anterior ya les mostré cuales la transforma de la plaza de seno de aporte pero lo vamos a escribir aquí para que la recordemos todos en color rojo la transformada de la plaz de seno de a porte es igual a entre ese cuadrada más a cuadrada entre ese cuadro de masa cuadrada por lo tanto la transformada de la plaza de seno de 2t sustituimos a por dos y nos queda a dos entre es el cuadrado más 2 al cuadrado que es cuatro la transformación de la plaza de este otro lado de la ecuación quedó como dos entre ese cuadrada +4 y ahora lo que podemos hacer es separar nuestros términos llegue efe factorizar ese coeficiente aquí hay un término jesse aquí hay otro y el lado izquierdo de esta igualdad la escribimos como ése cuadrada que este término +1 ese cuadrado más 1 x vamos a cambiar el color por estas llegue ese porsche ds y ahora aquí ponemos los términos que no tienen llegue ese menos 2 s menos o lo que es igual a 2 entre ese cuadrada +4 podemos sumar 2 s más uno en ambos lados esta igualdad y nos va a quedar ese cuadrada más uno por llegue ese llegue ese lo que es igual a 2 entre ese cuadrada +4 +2 0 +1 y ahora podemos dividir a ambos lados de la ecuación entre escuadra damas 1 quedándonos plataforma de la plaza che ese que es igual a 2 vamos a cambiar color 2 entre ese cuadrada +4 multiplicando ese cuadrada más uno que lo que está dividiendo a ambos lados de esta ecuación es cuadrada más uno más 2s más o no esos otros dos también los tengo que dividir entre escuadra damas 1 uno entre ese cuadrada más uno y ahora para poder encontrarla transformada inversa de todo esto necesito dejarlas en una forma de funciones simples así como está no están un poco difíciles tendremos que hacer una descomposición de fracciones para encontrar canciones más sencillas que no sean más fáciles de encontrar otra forma inversa y en general esa es la parte más difícil de este tipo de problemas el álgebra necesaria para poder recomponer esto en cosas más sencillas y ahora cómo vamos a descomponer esta parte voy a escribir aquí abajo 2 en 3d cuadrada +4 que multiplica escuadra damas 1 eso lo voy a descomponer en dos facciones esta es la descomposición de facciones parciales una fracción va a tener el denominador es cuadrada +4 y la otra facción tendrá el denominador escuadra damas 1 ambos denominadores tienen un grado 2 por lo que los numeradores deberán tener un grado uno eso quiere decir que van a tener un número de dolor del tipo a por ese más b y este otro tendrá uno de la forma se por ese más de esto es solamente al fibra es descomposición de fracciones parciales y ya hemos hecho algunos vídeos explicando esto estoy asumiendo que puedo expresar este término de acá en dos fracciones y lo que necesito hacer es encontrar los valores para a árabe parase y parade y para eso tengo que hacer la suma de esas acciones al hacer la suma voy a tener que el denominador de todo esto va a ser ese cuadrada +4 por ese cuadrada más uno y en el numerador voy a tener que multiplicar a ese más ve a ese más b por este denominador de caja s cuadrada más uno si nos quedamos así pues estos términos se cancelarían y tendríamos esta acción original pero tengo que agregar cs más de x este término de acá se cuadrada +4 y vamos a ver si podemos simplificar los términos de aquí tenemos que encontrar los valores de a b c y d para que coincidan con éste los de acá a ese más de por ese cuadro más uno va a quedar a ese al cubo más a por ese más b s cuadrada más b y ahora multiplicamos esta parte de la clase s más de por ese cuadrada +4 nos queda se parece al cubo +4 cs y estos términos de acá nos queda disculpen si se me escuchó la voz un poco raras que estoy como agripada pero todas maneras aquí estamos al pie del cañón bueno en que este fallo así más de por ese al cuadrado más de por 44 de eso es todo y lo escribí esta manera para poderme asegurar de ser bien las operaciones de manera que los términos con los mismos grados queden alineados y al decirle a su mamá me queda vamos a cambiar de color me queda amase por ese al cubo más ponemos el término con es el cuadrado después ve más de pobres el cuadrado más a más 4 sep por ese más ve más 4 d y todo esto es solamente el numerador todo esto es lo que acabamos de desarrollar la caja estoy aquí y yo creo que deberíamos simplificar está el denominador sigue igual sigue estando escuadra +4 por ese cuadrada más uno aquí escribimos escuadra +4 por ese cuadrado más uno este es el la fracción y esto va a ser igual a esta otra cosa de acá 2 entre ese cuadrada +4 por ese cuadrada más solo y la razón por la que he hecho todo este desarrollo tan grande es lo que necesitamos encontrar los valores de abc y de vemos que amd hace es el coeficiente del término como una es el cubo y vemos que este otro lado no tenemos ese tipo de coeficiente es así que a más se van a ser igual a cero lo escribimos aquí a más se es igual a cero ya que aquí no hay ningún término que tenga una vez el cubo vemos de es el coeficiente bs al cuadrado pero desde otro lado no tenemos nada en el numerador con ese cuadrado por lo que ve más de también va a ser igual hacer a más 4 c es el coeficiente de ese y lo mismo de este otro lado no tenemos nada en términos de ese nuevamente lo escribimos a más 4 c igual a cero qué bueno ya vimos que ama se era cero por eso era lógico que a más 40 también sé hacer y finalmente tenemos los términos constantes y si tenemos un término constante de este otro lado tenemos al 2 por lo que ve más cuatro de va a ser igual a 2b +4 de igual a 2 y ahora nos toca encontrar cuáles son los valores de b y d de manera que toda esa expresión sea igualados y estas expresiones lineales no son difíciles de resolver para eso vamos a restar estas expresión de esta otra y nos queda a menos a 0 - 4 se iguala -13 que todo es igual a cero por lo tanto se va a ser igual a cero y si vemos que se es igual a cero a más es igual a cero por lo tanto a va a ser igual hacer y vamos a hacer exactamente lo mismo de este otro lado vamos a restar esto de esto b - b es igual a cero de -4 de es igual a menos tres de iu será menos dos es igual a menos dos nos queda que deba ser igual a dos tercios dividimos todo entre - 3 - 2 entre -3 queda dos tercios si encontramos tres valores de nuestras cuatro variables y ahora necesitamos encontrar cuál es el valor debe ya que una de las ecuaciones no os dije que ve más de es igual a cero por lo que ve debe ser igual que ve pero con signo negativo por lo que ve debe ser igual a menos dos tercios para que a sumar menos dos tercios más dos tercios sea igual a cero y ahora sí tenemos todos los valores que necesitamos 2 entre ese cuadrada +4 por ese cuadrada más uno lo podemos reescribir como si es cero nos queda aquí solamente b b es menos dos tercios entre ese cuadrada +4 más la otra fracción tenemos que se es igual a cero porque nos queda de i d es dos tercios dos tercios entre escuadra más uno así que todo ese trabajo que acabamos de hacer era simplemente para descomponer esta pieza de acá sólo para descomponer esta pieza de acá en partes más sencillas y ahora después de todo este trabajo que es lo que nos queda déjenme asegurarme de no equivocarme aquí tenemos que la transforma de la plaz ds y como ven les dije el aljibe la parte más difícil de todo este problema es igual a este primer término que ahora tengo descompuesto en otras partes en esto que acabamos de calcular vamos a escribirlo de esta manera menos un tercio que multiplica a dos entre ese cuadrada +4 más de dos tercios que multiplican a 1 entre ese cuadrada más uno bueno me preguntarán por qué estás escribiendo de esta manera bueno pueden ustedes darse cuenta de que ésta es la transforma de la plaza de seno de 2t y esta es la forma de la plaza de 0 dt así que no quiero escribir de esta manera para que sea más fácil encontrar la transforma inversa y nos queda agregar más 2 s / s cuadrada más o no lo vamos a escribir en donde le corresponde +2 por s / s cuadrada más uno más el último término 1 entre ese cuadrada más una 1 entre ese cuadrada más uno y ahora sólo nos queda encontrar la transformada inversa de la plaza de cada uno de estos términos y ya conoce podemos encontrar cuál es el valor de ye vamos a recordar la transforma de la plaz y bueno aquí estamos buscando la forma de inversa lo voy a escribir aquí para que quede claro y bien que no me estoy sacando nada de la manga la transforma de la plaza de celo de aporte es igual a entre ese cuadrada masa cuadrada la transforma de la plaza del coso se nos vea porte es igual a ese entre ese cuadrada masa cuadrada esto es lo que vamos a usar para encontrarla transformada inversa de la plaza en ambos lados de esta ecuación plataforma de inversa de jbs va a ser simplemente jette y esto va a ser igual esto es la reforma de la plaza de seno de 2t además estamos encontrando los patrones aquí sí hay es igual a 2 entonces esta es la forma de la plaza de seno de 2t menos un tercio de seno de dos de más de dos tercios es la reforma de la plaza del seno dt cuando a es igual a 1 cuando a es igual a 1 lata forma de la plaza el seno de té es uno entre se cuadra más son los más dos tercios por el seno de té y vamos a hacer el siguiente en azul para que quede más claro más dos por esto es plataforma de la plaza de kossen o dt si a es igual a 1 entonces esto es ése entre ese cuadrada más una plataforma de la plaza del coso seno de té y finalmente el último término más vemos que es la toma de la plaza de seno dt siendo a igual a uno y ya casi terminamos aunque todavía tenemos que hacer alguna simplificaciones tengo dos tercios el seno de té aquí y tengo seno dt acá así que dos tercios más un entero cuánto es dos tercios más un entero reescribimos lleve te es igual a menos un tercio de celo de los tedx más se agregan estos términos 5 tercios del seno de té y nuestro último término +2 coseno dt vaya este problema fue bastante denso y vimos que la parte más difícil fue realizar toda la ansiedad necesaria para simplificar las fracciones la descomposición de facciones parciales que hicimos con mucho cuidado aquí para no cometer errores y al final obtuvimos una respuesta bastante elegante y que satisface nuestra incógnita iniciar una ecuación diferencial no homogénea per espero que haya encontrado la resolución de este problema bastante satisfactoria y nos vemos en el siguiente vídeo