La transformada de Laplace 2

vamos a hacer otras transformadas de la plaza que siempre es bueno ver de dónde vienen todas las transformadas que vemos en aquellas tablas de transformadas de la plaza y también para familiarizarnos con las matemáticas esto normalmente se ve en las clases de cálculo de segundo semestre y vamos a comenzar volviendo a escribir la definición de la transformada de la plaza l manuscrita se abre llave escribimos la función en el dominio de t y esto va a ser igual a la integral impropia de 0 a infinito d a la menos ese porte multiplicada por la función del té que está dentro de nuestros coches de la transformada de té ahora vamos a hacer otra transformada de la plaza vamos a hacer la transformada de la plaza y ahora a nuestra función efe dt va a ser el elevado a a porte cerramos nuestro corchete vamos entonces a sustituir esta ft dentro de la definición de la transformada así que es la integral impropia que esto bueno también es una muy buena práctica para hacer las integrales ya que las transformadas de laplace casi siempre terminan siendo problemas de integración por partes que es algo que aprendimos a hacer en vídeos anteriores bueno de todas maneras esto es igual a la integral impropia de 0 a infinito al menos ese porte x a la corte que esa es nuestra función ft dt y esto va a ser igual a vamos a superar los exponentes ya que tenemos la misma base a la integral de 0 a infinito de ala vamos escribir a la a menos s todo esto multiplicado por t de t y cuál es dante y derivada de esto bueno esto va a ser igual vamos a ver que esto es igual a 1 entre la parte constante que es a menos s todo esto va a multiplicar elevado a la al menos ese porte todo esto va a estar evaluado entre cuando se aproxima al infinito y cuando te es igual a cero este elemento de aquí es una constante esto va a ser igual a 1 / a menos s x vamos a ver cuál es el límite cuando t se aproxima al infinito qué pasa con este término tenemos dos casos aquí si este exponente este a menos ese es un número positivo a menos ese es mayor que 0 entonces conforme éste se aproxima al infinito toda esta parte se va a ser muy muy muy grande le vamos a tener un exponente que tiende al infinito no vamos a tener una respuesta cuando tenemos las integrales impropias y se tiende al infinito y en ese momento no tenemos una respuesta a un número concreto eso significa que el límite o la integral impropia no tiene un límite diverge así que por lo tanto no va a haber un límite aquí escribimos no tiene límite por lo tanto la transformada de la plaza en este caso no está definida oa es mayor que s no está definido y qué pasa cuando a es menor que s o cuando a menos ese es menor que cero vamos a tener la elevada a un número negativo infinitamente el grande y esto si se aproxima algo se aproxima a cero y de hecho esto lo vimos en el vídeo anterior así que bueno espero que ustedes entiendan lo que estoy explicando aquí cuando se aproxima a cero es cuando vamos a tener esta posibilidad de tener un exponente negativo entonces vamos a tener cuando es menor que ese la única opción en la que nos está va a dar un exponente negativo y está integral impropia va a atender a un valor o va a converger en un valor entonces cuando a menos ese es menor que cero y tiende al infinito vamos a tener que todo esto es un cero y a esto le vamos a restar esta integral evaluada cuando t es igual a cero cuando t es igual a cero que pasa bueno esto se multiplica por cero por lo que cualquier cosa elevada a la cero va a ser igual a 1 la transformada o el resultado de todo esto va a ser igual a menos 1 / a menos s y es lo mismo que decir 1 entre s menos a por lo que ya tenemos nuestra siguiente entrada en nuestra tabla de transformadas de la plaza aquí la vamos a escribir nuestra transformada de la plaza elevado a la corte va a ser igual a 1 entre s menos siempre y cuando el valor de s sea mayor que el de a esto se cumple cuando s es mayor que a o cuando a es menor que s cualquiera de las dos es lo mismo así pues esta es nuestra segunda entrada en nuestra tabla de transformadas de la plaza genial bueno de hecho vamos a relacionar esto con la transformada que hicimos en el vídeo anterior la cual era la transformada de la plaza de uno que es igual a uno entre ese cierto y yo les pregunto que acaso uno no es lo mismo que elevada a la cero pues sí es lo mismo y de hecho puedo escribir aquí aunque me estoy quedando sin espacio que es lo mismo que la transformada de la plaza a la 0 por t lo cual es igual a 1 en 13 y afortunadamente vemos que esto es consistente con nuestro resultado y esto de hecho en el anterior tenemos que ver que esta s es mayor que 0 y es consistente con el resultado que acabamos de tener cuando es mayor que 0 porque en nuestro resultado actual si a fuera igual a cero entonces esto quedaría como el resultado 1 entre s ya que la base y 0 de nuevo asumiendo que s es mayor que 0 así que podemos decir que todas estas son variaciones de la misma entrada en nuestra tabla de transformadas de laplace y en matemáticas siempre es muy agradable encontrar que los resultados obtenidos por los problemas un poco distintos son congruentes entre sí esto sería todo por hoy vamos a seguir construyendo nuestra tabla de transformadas de la plaza en los siguientes vídeos y después veremos cómo todas estas transformadas de la plaza son extremadamente útiles para resolver toda una gama de ecuaciones diferenciales