If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:17:48

Transcripción del video

cuando vimos la función escalón unitario yo les comenté que este tipo de funciones en un poquito más exóticas de lo que normalmente están acostumbrados a ver en alguna clase tradicional de cálculo o en sus clases de álgebra pero quise presentarles esta función porque muchas cosas del mundo real se comportan de esta manera en la que no pasa nada durante cierto tiempo y de pronto para su venta y cambien de valor aunque no ocurre exactamente así pero la función escalona unitario es una muy buena aproximación este comportamiento por otra parte tenemos cosas que bueno de repente no está pasando nada no pasa nada durante cierto tiempo y de repente juan tenemos algo muy alto luego vuelve a bajar y continúa sin pasar nada ustedes pueden ver que esto se comporta como un impulso y ya hablaremos de las funciones impulso unitario y no sería genial que tuviéramos un tipo de función que nos permitirá a modelar este comportamiento nuestra función ideal sería una que va sin tener un cambio no pasa nada hasta que llegando a cierto valor sube con la fuerza infinita pero que tiene una área finita y después regresaría a su valor normal continuar y así así que digamos que llegando aquí a un cero sube baja en ese mismo instante también y continúa con el mismo valor y digamos que el área bajo esta curva aunque llamada es una función sería llegar a los límites de las matemáticas que estamos trabajando en este nivel pero ustedes no pueden decir bueno y esto para qué me sirve permítanme hacer una definición más acerca de esta función de hecho esa función la voy a llamar delta delta dx y es llamada la función delta de irak y esto digamos que informalmente vamos a decir que esto es igual a infinito cuando el que es igual a cero y es igual a cero en cualquier otro valor cuando x es diferente de cero bueno como me voy a hacer la integral de esto bueno esto viene de dentro de la definición como parte de la definición se les va a decir cuál es la integran estoy integral va a ser parte de esta definición de la función y aquí se las voy a decir la integral de esta función de menos infinito hasta el infinito en toda esta línea numérica yo estoy definiendo que la integral de esta función delta dídac dx va a ser igual a una yo no estoy explicando así ustedes podrían decirme oye pues es que no me lo ha demostrado no al contrario yo lo estoy especificando yo lo estoy definiendo así que tiene una base infinitamente pequeña y una altura infinitamente grande y el área que yo les estoy definiendo aki ajo que es algo una función medio loca incluso ustedes me pueden preguntar oye pues es que yo quiero comprender mejor cómo es que alguien puede construir este tipo de funciones y de hecho lo vamos a ver y una vez que hayamos satisfecho esta curiosidad vamos a ver cómo está transformado la plaza esta función e incluso como manipularla para que no sea útil completamos está del pdk y vamos a construir una nueva función que voy a llamar de subíndice todo y eso es sólo para satisfacer la curiosidad que ustedes tenga para comprender mejor cómo construir estas funciones delta dirán digamos que mi función de subíndice todo está en función de éste y lo hago así porque quiero que todo esté en términos para poder aplicarse la reforma de la plaza que trabaja en el dominio de té así que digamos que esto es igual a 1 / 2 ko y ya verán porque estoy eligiendo estos números 1 / 2 ko cuando te es menor que está y es mayor que menos está o iba a tener el valor de cero en todos los demás valores en todos los demás valores es una ecuación un poquito más razonable porque parece una combinación de la función de escalona unitario la cual ya hemos visto en videos anteriores si yo comencé a dibujar mi eje de las x quien verde mixe de las x y si voy a dibujar mi eje de las leyes aquí y esto es x lo mejor no aquí lo podemos elegir a las pcs y aquí podemos ponernos el h e ón efe dt no importa es una variable dependiente de té que va a pasar aquí fue tercero hasta que llegó a menos ted entonces aquí llegó - tau y ésta es más está de menos tao ama estado va a ser cero en cualquier otro lugar cuando llegó el valor de menos tao va a saltar y va a tener un valor aquí hasta que se llega a más está dado y después ese nivel va a bajar ese nivel es uno entre 2da o aquí lo pongo en el eje dependiente 1 entre dos estados cómo voy a construir esta función bueno vamos a pensar en ello qué pasa si yo hago la integral de gm dibujar una integral más bonita la integral de menos infinito hasta infinito de de subíndice tado de t de t a que va a ser igual a esto bueno recordemos que la integrales el área bajo una curva por lo que esta curva sería algo muy fácil de calcular vemos que va a tener un valor de cero en cualquier otro lugar y el área que me interesa es la de aquí que la que está abajo de esta curva por lo que va a hacer la integral de menos te o menos tao tao ya que no tiene casos el integral en otros valores porque base cero la el área va a ser cero de 1 / 2 portado de tao perdón dt así que podemos escribir de esta forma también ya que movemos nuestros límites de aquí acá porque no tiene caso será integral de algo que vale cero sin importar si te es mayor que está o ot es menor que menos está y dentro de ese límite esta función es una constante 1 entre dos estados así que podemos tomar esta integral que como la evaluamos ni siquiera tenemos que saber cálculo para hacerlo es el área bajo esta curva que es simplemente la base esto es igual la base la base de dos estados 2 ko aquí hay un estado y aquí a todo igualado estado x la altura y la altura ya lo definimos es igual a 1 entre de estado hacemos esta operación el área de esta función nos va a quedar igual aún o si quieren podemos resolver la anti derivada la andi derivada de 1 / 2 tao va a ser igual vamos a cambiarlo de color va a ser igual ate entre dos está o cuando está evaluado de menos estado ha matado entre dos estados - - tao entre los tajo así que hacemos esta operación damos hasta hoy sigue la de estado entre dos estados es igual a 1 llegamos al mismo resultado y yo creo que con esto ustedes ya están convencidos de que el área bajo esta curva es igual a uno sin importar cuál sea el valor de eta ahora si yo tomara valores cada vez más pequeños de tau qué es lo que va a pasar supongamos que mi nueva atado va a ser igual al punto de acá va a estar aquí mi nueva está o en otro color entonces mi valor de 1 entre dos estados va a estar más alto como es un número más pequeño está o me denominador va a ser más pequeño el numerador más grande en comparación por lo que la altura de esto va a ser mayor y si voy reduciendo cada vez más mis valores aceptado pues la altura en mi valor en llolleo el ft va a ser cada vez más y más y más alta y creo que ya se están dando cuenta va hacia dónde quiero llegar qué pasa cuando el límite de mi valor de cao up se aproxima a cero el límite cuando está o se aproxima a cero de mi función de es subíndice tao dt cuál va a ser el límite de esto conforma estas cosas se vayan haciendo infinitamente más pequeñas pues mi altura va a estar atendiendo cada vez más hacia el infinito pero no importa cuál sea mi valor de eta o el ade abajo esa curva siempre siempre va a ser igual a uno así que terminemos con esta función delta de dirac permite al escribirla bonito dirac delta dt y debido a esto si nos preguntáramos bueno cuál es el límite cuál será el límite cuando está o tiende a cero de la integral de manos infinito a infinito de subir y es citado dt dt esta va a seguir siendo uno esto se sigue evaluando cómo 1 min porta cual sea el valor que tome todo y aquí estoy siendo bastante generosa con mis definiciones de límites de menos infinito a infinito esto va a ser igual a 1 y con este mismo argumento podemos decir que el límite de menos infinito a infinito de nuestra función delta dídac dt d te va a ser igual también a 1 y de la misma manera nuestra función delta de irak esto va a ir hasta el infinito cuando te es igual a cero si yo aquí de nuevo dibujar a mi eje x o bueno me dejes de las tesis y pusiera a 15 igual a cero mi función del deuda -que sería ésta sería hacia arriba aquí en este punto y de hecho vamos a poner una fecha a quien indicando que es nuestra función delta dídac dt y qué pasa si queremos desplazar esto qué pasa si queremos desplazarlo bueno ahora voy a representar mi función delta dídac como t - 3 digamos que vamos a mover la tres lugares hacia la derecha cuando te sea igual a tres esta va a ser la función del tepeyac de cero como representaría esto gráficamente bueno digamos que emite va a ser igual a 3 y aquí estoy dibujando mi eje de las 'tres simplemente vamos a estar desplazando hacia la derecha tres unidades cuando te sea igual a 3 se va a volver nuestra función del de vida acv de cero así que esta gráfica voy a poner aquí estos valores 123 en mí y gt y en mi eje ye mui a tener un valor aquí uno y permíteme dibujar aquí estos puntos ya que te es igual a tres la función de esta debilidad va a ser igual a cero en cualquier otro bank of st esto cuando te sigo a tres cuando estés valor sea igual a 3 nuestra función de la realidad va a ser infinitamente alta y obviamente no tengo espacio aquí para representar adecuadamente este valor infinito sin embargo aquí voy a divulgar esta fecha tan verde esta fecha significa la magnitud del área bajo la curva y recordamos que por definición el área bajo la curva de mi función de esta vida -que es igual a 1 por eso es que esta flecha llegas al valor de 1 ya que aunque sea infinitamente a ésta va a tener una base infinitamente pequeña por lo que el área se mantiene igual a 1 por lo que el área bajo estafa un impulso o esta función delta dídac va a ser igual a 1 por eso es que hice que esta fecha llegará hasta 1 digamos que ahorita quisiera gráficas y bueno vamos a hacerla diferente color digamos que quiera graficar 2 x la función delta dídac dt - dos como la gráfica haría bueno sería cero hasta que llegara joat e igualados y aquí la multiplicaría por el valor del tad idac de temenos que es que 0 y cómo se multiplican por dos va a ser esa fecha y está con el valor igualados y bueno sabemos que ambas tienen al infinito pero ésta es al doble del anterior aunque bueno se podría sonar algo ridículo que esto sea el doble de infinito que este otro pero la idea aquí es que el área bajo esta curva debería ser el doble del área bajo esta otra curva y es por eso que hacemos esta flecha el doble de alta que la anterior esta es una manera muy útil de modelar cosas que se comportan de la siguiente manera donde de repente no pasa nada y el momento suben tienen un pico y luego volver al valor normal y aunque no lo crean hay muchos fenómenos sobre todo en la física en 11 de este tipo de comportamiento y ahora cuando se encuentra en ese tipo de funciones podrán decir 'hey esa es una función del pedido 'que y podremos dar su impulso como si a continuación y sólo para darles un poquito más de motivación en esto voy a dibujar aquí un ejemplo un poquito más de la vida real ya que les está diciendo muchas cosas teórica se vuelve hemos visto ecuaciones diferenciales pero no se les ha visto una aplicación en la vida real aquí tenemos un muro que está conectado un resorte y al final de resorte hay una masa una masa como ésta y digamos que es el estado natural del resorte por lo que ha sido es tirado una distancia ye del punto en el que está en estado natural y digamos que tenemos una fuerza externa que es la que está estirando el resorte y aquí tenemos cielo sobre hielo por lo que no hay ningún tipo de fricción y aunque no lo crean yo puedo representar ese tipo de comportamiento con una ecuación diferencial usando la función escalona unitario y la función delta de irak en lo de aquí ya les podemos ver la utilidad en este tipo de ambiente así que sabemos que efe o la fuerza va a ser igual a la masa por la aceleración que es una fórmula física de las más básicas cuáles serán las fuerzas que están involucradas en este sistema o actuando sobre esta mesa tenemos esta fuerza de aquí que va en la dirección positiva hacia la derecha está esta fuerza y también tenemos la fuerza del resorte que es en sentido contrario a la fuerza del resorte de acuerdo con la ley de hook es proporcional a qué tan lejos ha sido estirado de su estado natural así que la fuerza de esa dirección va a ser negativa para ser menos acá porque las fuerzas que actúan sobre nuestra masa son efe - acá porque es igual a la masa de nuestro objeto x la aceleración y cuando esa generación si la oposición es llegue si tomamos la derivada de llegue con respecto a t jet prima va a ser igual a velocidad y si tomamos la segunda derivada de lleó derivamos la velocidad llegue doble primero va a ser igual a la aceleración así que podemos que esto ye prima doble prima es igual a la aceleración así que escribimos aquí que la fuerza menos acá porque es igual a la masa porsche doble prima entonces ya no podemos sustituir en esta fórmula así que en lugar de escribir a pues escribimos llevó doble prima y si ponemos esto del otro lado de la ecuación que es lo que vamos a obtener pues vamos a tener que nuestra fuerza está otra fuerza va a ser igual a nuestra masa polar celebración más la constante del resorte por yeah yeah es nuestra posición así que si no tuviéramos ninguna fuerza externa esto sería cero y tendríamos una ecuación diferencial homogénea pero ésta efe hace que tengamos un término no homogéneo es la fuerza externa que estamos aplicando a este sistema a esta masa que esta fuerza externa es una función del tipo del cadillac de dt menos dos que es igual a m por la doble derivada de llegue más calle que es nuestra constante del resorte project en esa posición eso es lo mismo que decir que cuando te es igual a 2 vamos a tener que haber un jalón aquí hacia la derecha vamos a tener un impulso de dos su fuerza por el tiempo va a hacer recordamos que el impulso es uno entonces y no me quiero meter demasiado en la física aquí el impulso va a cambiar su momento y tendrá una magnitud de 1 dependiendo de cuáles sean las unidades pero bueno de todas maneras lo que yo quería hacer aquí es mostrarles un ejemplo de la vida cotidiana y donde se pueden aplicar todas estas cosas extrañas que les estaba explicando los últimos vídeos ya que existen ocasiones en las que ustedes pueden sacudir esto en alguna magnitud y aquí están simulando algo que podría ser infinitamente rápido pero lo suficiente para cambiar el momento de esto en una forma bien definida pero bueno ahora que conocemos la función delta de vida -que podemos encontrar su transformada de la plaza y ver cómo ésta puede afectar otras transformadas