La función delta de Dirac

cuando vemos la función escalón unitario yo les comenté que este tipo de funciones son un poquito más exóticas de lo que normalmente están acostumbrados a ver en alguna clase tradicional de cálculo o en sus clases de álgebra pero quise presentarles esta función porque muchas cosas del mundo real se comportan de esta manera en la que no pasa nada durante cierto tiempo y de pronto para sumen y cambian de valor aunque no ocurren exactamente así pero la función escalón unitario es una muy buena aproximación a este comportamiento por otra parte tenemos cosas que bueno de repente no está pasando nada no pasa nada durante cierto tiempo y de repente fueron tenemos algo muy alto luego vuelve a bajar y continúa sin pasar nada ustedes pueden ver que esto se comporta como un impulso y ya hablaremos de las funciones impulso unitario y no sería genial que tuviéramos un tipo de función que nos permitirá modelar este comportamiento nuestra función ideal sería una que va sin tener un cambio no pasa nada hasta que llegando a cierto valor sube con la fuerza infinita pero que tiene un área finita y después regresaría a su valor normal continuaría así así que digamos que llegando aquí a un cero sube baja en ese mismo instante también y continúa con el mismo valor y digamos que el área bajo esta curva aunque llamara a esto una función sería llegar a los límites de las matemáticas que estamos trabajando en este nivel pero ustedes no pueden decir bueno y esto para qué me sirve es bueno permítanme hacer una definición más acerca de esta función de hecho a esta función la voy a llamar delta delta de x y es llamada la función delta de dirac y esto digamos que informalmente vamos a decir que esto es igual a infinito cuando x es igual a 0 y es igual a 0 en cualquier otro valor cuando x es diferente de 0 bueno cómo voy a hacer la integral de esto bueno esto viene dentro de la definición como parte de la definición se les va a decir cuál es la integral esta integral va a ser parte de esta definición de la función y aquí se las voy a decir la integral de esta función de menos infinito hasta infinito en toda esta línea numérica yo estoy definiendo que la integral de esta función delta de irak de x va a ser igual a 1 yo lo estoy especificando así ustedes podrían decirme oye pues es que no me lo has demostrado no al contrario lo estoy especificando yo lo estoy definiendo así que tiene una base infinitamente pequeña y una altura infinitamente grande y el área que yo les estoy definiendo aquí abajo que es algo una función medio loca incluso ustedes me pueden preguntar oye pues es que yo quiero comprender mejor cómo es que alguien puede construir este tipo de funciones y de hecho lo vamos a ver y una vez que hayamos satisfecho esta curiosidad vamos a ver cómo es la transformada de laplace de esta función e incluso cómo manipularla para que nos sea útil completamos esta delta de acá y vamos a construir una nueva función que voy a llamar de subíndice está o y eso es sólo para satisfacer la curiosidad que ustedes tengan para comprender mejor cómo construir estas funciones delta direct digamos que mi función de subíndice está o está en función de t y lo hago así porque quiero que todo esté en términos para poder aplicarse la transformada de la clase que trabaja en el dominio de t así que digamos que esto es igual 1 / 2 town y ya verán por qué estoy eligiendo estos números 1 / 2 está o cuando te es menor qué tal es mayor que menos estado y va a tener el valor de 0 en todos los demás valores en todos los demás valores esa es una ecuación un poquito más razonable porque parece una combinación de la función de escalón unitario la cual ya hemos visto en vídeos anteriores si yo comienza a dibujar mi eje de las x aquí en verde mi eje de las x voy a dibujar mi eje de las 10 aquí y esto es x no mejor no aquí le ponemos el eje de las tres y aquí podemos poner nos sale una efe dt no importa esta es una variable dependiente de t que va a pasar aquí bueno puede tener cero hasta que llegó a menos usted entonces aquí llego a menos y esta es más está de menos a más esta va a ser cero en cualquier otro lugar cuando llegó el valor de menos estado va a saltar y va a tener un valor aquí hasta que se llega a bastado y después de ese nivel va a bajar ese nivel es uno entre dos estados aquí lo pongo en el eje de pendiente 1 / 2 como voy a construir esta función bueno vamos a pensar en ello qué pasa si yo hago la integral bueno déjenme dibujar una integral más bonita la integral de menos infinito hasta infinito de subíndice estado de t de t aquí va a ser igual a esto bueno recordemos que la integral es el área bajo una curva por lo que esta curva sería algo muy fácil de calcular vemos que va a tener un valor de 0 en cualquier otro lugar y el área que me interesa es la de aquí que la que está abajo de esta curva por lo que va a ser la integral de menos t o menos tao tao ya que no tiene casos en la integral en otros valores porque pues va a ser cero el área va a ser cero de uno entre dos portado de tal verdad dt así que podemos escribir de esta forma también ya que movemos nuestros límites de aquí a acá porque no tiene caso ser la integral de algo que vale 0 sin importar si te es mayor que tal o te es menor que menos está y dentro de ese límite esta función es una constante uno entre dos estados así que podemos tomar esta integral y como la evaluamos ni siquiera tenemos que saber cálculo para hacerlo este es el área bajo esta curva que es simplemente la base esto es igual la base la base es 22 está aquí hay un tau y aquí ya total igualado estado multiplicado por la altura y la altura ya lo definimos es igual a uno entre dos estados hacemos esta operación el área de esta función nos va a quedar igual a 1 o si quieren podemos resolver la anti derivada la anti derivada de uno entre dos estados va a ser igual vamos a cambiarlo de color va a ser igual a t entre 2 está o cuando esté evaluado de menos estado a estado todo entre tostado menos - está entre los estados así que hacemos esta operación estaba un estado es igual adoptado entre dos estados es igual a 1 llegamos al mismo resultado y yo creo que con esto ustedes ya estarán convencidos de que el área bajo esta curva es igual a 1 sin importar cuál sea el valor de está ahora si yo tomara valores cada vez más pequeños de tau que es lo que va a pasar supongamos que mi nueva está o va a ser igual al punto de acá va a estar aquí mi nueva está o en otro color entonces mi valor de 1 entre dos estados va a estar más alto como es un humano más pequeño está o mi denominador va a ser más pequeño numerador un poquito más grande en comparación por lo que la altura de esto va a ser mayor y si voy reduciendo cada vez más mis valores aceptado pues la altura en mi valor en nfc va a ser cada vez más más y más alta y creo que ya se están dando cuenta hacia dónde quiero llegar qué pasa cuando el límite de mi valor de estado se aproxima a cero el límite cuando todo se aproxima a cero de mi función de ese subíndice estado de t cuál va a ser el límite de esto con forma de estas cosas se vayan haciendo infinitamente más pequeñas pues mi altura va a estar tendiendo cada vez más hacia el infinito pero no importa cuál sea mi valor de tao el área bajo esta curva siempre siempre va a ser igual a 1 así que terminaremos con nuestra función delta de dirac permíteme escribirlas bonito dirac delta de t y debido a esto si nosotros preguntamos bueno cuál es el límite cuál será el límite cuando todo tiende a cero de la integral de manos infinito a infinito de subíndice estado de t de t esta va a seguir siendo uno esto se sigue evaluando como uno no importa cuál sea el valor que tome estado y aquí estoy siendo bastante generosa con mis definiciones de límites de menos infinito al infinito esto va a ser igual a 1 y con este mismo argumento podemos decir que el límite de menos infinito a infinito de nuestra función delta dídac de t de t va a ser igual también a 1 y de la misma manera nuestra función delta de dirac esto va a ir hasta el infinito cuando te es igual a cero si yo aquí de nuevo dibujará mi eje x bueno mi eje de las tres y pusiera aquí de igual a cero mi función del debilidad sería esta seria hacia arriba aquí en este punto y de hecho vamos a poner una flecha kim indicando que esta nuestra función delta dídac de t y qué pasa si queremos desplazar esto qué pasa si queremos desplazarlo bueno ahora voy a representar mi función delta de irak como t menos 3 digamos que vamos a mover las tres lugares hacia la derecha cuando te sea igual a 3 esta va a ser la función delta de jacques de 0 como representaría esto gráficamente bueno digamos que emite va a ser igual a 3 y aquí estoy dibujando mi eje de las 'tres simplemente vamos a estar desplazando hacia la derecha tres unidades cuando te sea igual a tres se va a volver nuestra función delta de dirac de cero así que esta gráfica voy a poner aquí estos valores 1 2 3 en mi gente y en mi eje y voy a tener un valor aquí 1 y permíteme desdibujar aquí estos puntos ya que te es igual a 3 la función delta de vida que va a ser igual a 0 en cualquier otro valor excepto cuando t es igual a tres cuando este es valor sea igual a tres nuestra función de navidad va a ser infinitamente alta y obviamente no tengo espacio aquí para representar adecuadamente este valor infinito sin embargo aquí voy a divulgar esta fecha tan verde esta fecha significa la magnitud del área bajo la curva y recordamos que por definición el área bajo la curva de mi función delta dídac es igual a 1 por eso es que esta flecha llegas al valor de 1 ya que aunque sea infinitamente a esta va a tener una base infinitamente pequeña por lo que el área se mantiene igual a 1 por lo que el área bajo esta función impulso o esta función de alta de irak va a ser igual a 1 por eso es que hice que estas flechas llegara hasta 1 digamos que ahorita quisiera gráficas y bueno vamos a hacerlo en diferente color digamos que quiero graficar 2 x la función delta de irak dt menos 2 graficar y ah bueno sería 0 hasta que llegara hasta igualados y aquí la multiplicaría por el valor del tedh irak dt menos 2 que es que es 0 y como estoy multiplicando la por 2 va a ser esta fecha con el valor igual a 2 y bueno sabemos que ambas tienen al infinito pero esta es al doble de la anterior aunque bueno esto podría sonar algo ridículo que esto sea el doble de infinito que este otro pero la idea aquí es que la de abajo esta curva debería ser el doble del área bajo esta otra curva y es por eso que hacemos esta flecha el doble de alta que el anterior esta es una manera muy útil de modelar cosas que se comportan de la siguiente manera donde de repente no pasa nada y el momento suben tienen un pico y luego volver al valor normal y aunque no lo crean hay muchos fenómenos sobre todo en la física él no necesita este tipo de comportamiento y ahora cuando ustedes se encuentra en ese tipo de funciones podrán decir ay esa es una función delta de irak de modelar su impulso como sigue a continuación y solo para darles un poquito más de motivación en esto voy a dibujar aquí un ejemplo un poquito más de la vida real ya que les estado diciendo muchas cosas teóricas hemos visto ecuaciones diferenciales pero no se les ha visto una aplicación en la vida real aquí tenemos un muro que está conectado a un resorte y al final del resorte hay una masa una masa como esta y digamos que este es el estado natural del resorte por lo que ha sido estirado una distancia ya del punto en el que está en estado natural y digamos que tenemos una fuerza externa que es la que está estirando el resorte y aquí tenemos hielo sobre hielo por lo que no hay ningún tipo de fricción y aunque no lo crean yo puedo representar este tipo de comportamiento con una ecuación diferencial usando la función escalón unitario y la función delta de irak en donde que ya les podemos ver la utilidad en este tipo de ambiente así que sabemos qué o la fuerza va a ser igual a la masa por la aceleración que es una fórmula física de las más básicas cuáles serán las fuerzas que están involucradas en este sistema o actuando sobre esta masa tenemos esta fuerza de aquí que va en la dirección positiva hacia la derecha está esta fuerza y también tenemos la fuerza del resorte que es en sentido contrario a la fuerza del resorte de acuerdo con la ley de hook es proporcional a qué tan lejos ha sido estirado de su estado natural así que la fuerza en esta dirección va a ser negativa va a ser menos acá porque las fuerzas que actúan sobre nuestra masa son efe - k porque es igual a la masa de nuestro objeto multiplicado por la aceleración y con esa aceleración si la posición es y si tomamos la derivada de y con respecto a mi prima va a ser igual a velocidad y si tomamos la segunda derivada de o derivamos la velocidad y el doble prima va a ser igual a la aceleración así que ponemos que esto de prima de doble prima es igual a la aceleración así que escribimos aquí que la fuerza menos cada porque es igual a la masa por doble prima entonces ya lo podemos sustituir en nuestra fórmula así que logran escribir a pues escribimos ya doble prima y si ponemos esto del otro lado de la ecuación que es lo que vamos a obtener pues vamos a tener que nuestra fuerza esta otra fuerza va a ser igual a nuestra masa por la aceleración más la constante del resorte por ye yé es nuestra posición así que si no tuviéramos ninguna fuerza externa esto sería cero y tendríamos una ecuación diferencial homogénea pero ésta efe hace que tengamos un término no homogéneo es la fuerza externa que estamos aplicando a este sistema a esta masa así que esta fuerza externa es una función del tipo delta de irak dt menos 2 que es igual a m por la doble derivada de ella más k que es nuestra constante del resorte porque que es nuestra posición esto es lo mismo que decir que cuando t es igual a 2 vamos a tener que va a haber un jalón aquí hacia la derecha vamos a tener un impulso de 2 su fuerza por el tiempo va a ser le recordamos que el impulso es 1 entonces y no me quiero meter demasiado en la física aquí el impulso va a cambiar su momento y tendrá una magnitud de 1 dependiendo de cuáles sean nuestras unidades pero bueno de todas maneras lo que yo quería hacer aquí es mostrarles un ejemplo de la vida cotidiana y donde se pueden aplicar todas estas cosas extrañas que les he estado explicando en los últimos vídeos ya que existen ocasiones en las que ustedes pueden sacudir esto en alguna magnitud y aquí están simulando algo que podría ser infinitamente rápido pero lo suficiente para cambiar el momento de esto en una forma bien definida pero bueno ahora que conocemos la función delta de dídac podemos encontrar su transformada de la clase y ver cómo está puede afectar otras transformadas