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La transformada de Laplace de derivadas y como operador lineal

Transcripción del video

ahora es un muy buen momento para que comencemos a ver algunas de las propiedades de la reforma de la plaza la primera que les quiero mostrar es digamos que quiero tomar la transforma de la plaz de la suma de dos funciones que dependen de té que está multiplicada por una constante se uno por ft más otra constante se dos por g dt es una función de té por definición la transforma de plazas nos dice que esto es igual a la integral impropia de cero a infinito de alá - s t multiplicado lo que se encuentra entre los corchetes que en este caso ese 1 por efe dt más c2 por g dt todo esto con dt y esto va a ser igual a la integrada impropia de cero infinito multiplicamos eala - st por los términos que se encuentran aquí dentro y separar a esto de manera que nos quede este integral se uno por alá - st efe dt más c2 a la - st por gmt todo esto dt y por la definición de las propiedades de las integrales podemos separar estas dos integrales o esta suma las como la suma de esas integrales así que esto va a ser igual a c1 que es la constante la podemos sacar por la integral de cero infinito de al menos st por ft dt más de 2 por la integral impropia de cero a infinito de alá - st por gt dt y esa fue una forma muy larga de decir que bueno estamos viendo que éstas son transformadas de la paz es la definición de la reforma de la plaza de la paz así que aquí podemos decir que ese 1 por la transforma de la plaza de ft más de 2 por la transforma de la plaza deje dt de g dt así que hemos mostrado que una de las propiedades de la reforma de la plaza que la transformada de estas funciones que se suman es igual a la suma de us o transformadas es algo que es bastante útil para cuando estamos trabajando con diferentes funciones quedamos atrás formas bueno ahora vamos a hacer otra cosa que yo considero es aún mucho más interesante pues esto nos va a dar una pista de por qué las formas de la plaza son tan tan útiles cuando trabajamos en ecuaciones diferenciales digamos que quiero encontrar la transformada de la plaz hacerla tan suma de las plazas de fp prima dt o sea nos tomamos la derivada de la función de y le estamos sacando la reforma de la plaza y aquí vamos a necesitar la función ft y su derivada efe prima neta para esto vamos a necesitar hacer uso del velo integral por parte de una integración por partes para desglosar esto así que esto va a ser igual por la definición a la integral impropia de cero al infinito de alá - st x f prima de t de t y para resolver esto vamos a usar la integración por partes esto creó recordarlo porque luce en el vídeo anterior creo que lo recuerdo pero vamos a escribir la king la integral de eeuu por de prima que se parece a lo que tenemos aquí va a ser igual a la multiplicación de estas dos funciones sin la derivada hubo por ve - la integral del complemento u prima por b así que vemos que aquí lo que vamos a subir está bastante claro queremos terminar con una f dt así que vamos a hacer de prima que sea efe prima de té y hugo ayala - st así que qué escribimos uu iguala a la - je t'aime y de va a ser igual a y b va a ser igual a que da igual ve a efe prima dt así que ahora nuestra prima va a ser igual a menos ése por alá - st y ahora nuestra b prima ops estas divas de prima perdón de prima es igual a efe prima dt así que ve va a ser igual a efe dt disculpen esa equivocación ésta es un y esta otra es b prim aquí lo señalamos y si éstas de prima esté más adelante derivada por lo que va a ser referente y así que ahora sí vamos a aplicarnos la integración por partes esta forma de la plaz qué es esto va a ser igual entonces a o por b que es la menos st por b b es nuestra ft - - la integral aunque bueno aquí tenemos que tener en cuenta que vamos a evaluar todo esto de cero a infinito ahorita sí quiero mantener los límites porque no quiero estar regresando yendo y viniendo entre integrales indefinidas e integrales son propias entonces hacer ahora sin - la integral de cero a infinito de eeuu prima o prima es menos ése por alá - st por b y nuestra vez efe dt efe cm dt así que menos por menos es más estos son más esta es una constante así que la podemos sacar así que todo esto va a ser igual a alá - st efe dt evaluado de cero al infinito más ese por la integral de cero al infinito de alá - st efe de t de t y aquí vemos esto qué es esto a pues la reforma de la plaza de ft así que esto va a ser igual vamos a evaluar esto de una vez cuánto vale esto cuando te se aproxima infinito e a la menos infinito se aproxima a cero y bueno aquí tenemos una pregunta interesante efe mtf de infinito pues no se puede ser grande puede ser pequeña incluso podría hacer que se aproxima algún valor si éstos se aproxima a cero si ésta se incrementa más rápido que esta otra entonces podría dividir hersh no quiero meterme en detalles matemáticos sobre si esto convergió diverge pero digamos muy general que esto va a converger aceros y ft crece más despacio que alá - st se aproxima a cero quizás más adelante podamos ver en qué condiciones esta expresión podría converger pero vamos a asumir que efe dt crece un poquito más despacio que alá - st o que con bergé más espacio que al menos acepte o que crece más despacio de lo que ésta se encoge por lo que si ésta crece más despacio de lo que está decrece entonces va a tender hacer así que vamos a tener menos toda esta expresión evaluada en cero cuando te es igual a cero ella la - 01 efe de cero efe de cero más ese dijimos que esta plataforma de la paz diferente así que es x la conforman de la plaz df dt y ahora vemos que tenemos una propiedad interesante ya que la toma de la plaza de una función prima va a ser vamos a escribirlo de nuevo aquí que en otro color la transforma de la plaz df prima de te va a ser igual a esta parte ese multiplicada por la transforma de la plaza de ft may - efe de cero y vamos a extender esto un poco más allá que esto es algo bastante útiles a ver pues la transforma de la plaz de la segunda derivada de efe dt podemos ver que hay un patrón aquí va a ser igual a ese x la transforma de la plaza delante y derivada de lo que esté aquí que sería efe prima dt tiempo vemos que de aquí acá se tiene una entidad privada y de que acá también hay una anti derivada - efe prima de cero ok bueno te descuidas ha transformado de la plaza de sto bueno esto va a ser igual a ese por la transforma de la plaza df prima dt que es a pues esto así que va a ser ese por la transforma de la plaz df dt - efe de cero esto sustituir nada más lo que hay aquí aquí - efe prima de cero y podemos tener al final que la está sumada de la segunda derivada de ft es ese cuadrada por la transforma de la plaz df dt - s por efe de 0 - efe prima de ser aquí vemos que está un patrol y es la persona de la plaza de la segunda derivada dgt y aquí podemos ver porque es útil ha transformado de la plaza transformada derivadas en multiplicaciones y veremos más adelante que transforma integrales en divisiones y pueden tomar derivadas arbitrarias y van a terminar con una serie de modificaciones por ese y se me está acabando el tiempo pero les voy a dejar de tarea que ustedes hagan la transforma de la plaza de la tercera derivada de ft