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La transformada de Laplace de derivadas y como operador lineal

Transcripción del video

ahora es un muy buen momento para que comencemos a ver algunas de las propiedades de la transformada de la plaza la primera que les quiero mostrar es digamos que quiero tomar la transformada de la plaza la suma de dos funciones que dependen de t que está multiplicadas por una constante s 1 por ft más otra constante c 2 por g dt es una función de t por definición la transformada de plas nos dice que esto es igual a la integral impropia de 0 a infinito a la menos s t multiplicado lo que se encuentra entre los corchetes que en este caso ese 1 por ft más de 2 por g de t todo esto con dt y esto va a ser igual a la integral impropia de 0 infinito multiplicamos a la menos siete por los términos que se encuentren aquí dentro y separar esto de manera que nos quede esta integral de 1 por la menos st efe dt más de dos a la - st jorge de t todo esto dt por la definición de las propiedades de las integrales podemos separar estas dos integrales o esta suma las como la suma de estas integrales así que esto va a ser igual a c1 que es la constante la podemos sacar por la integral de 0 infinito a la sct por ft dt más de dos por la integral impropia de 0 a infinito de al menos siete por siete de té esta fue una forma muy larga de decir que bueno estamos viendo que estas son transformadas de la plaza es la definición de la transformada de la plaza de la plaza así que aquí podemos decir que se uno por la transformada de la plaza de ft c2 por la transformada de la classe dgt dt así que hemos mostrado que una de las propiedades de la transformada de la plaza que la transformada de esta función es que se suman es igual a las sumadas o transformadas eso es algo que es bastante útil para cuando estamos trabajando con diferentes funciones que vamos a transformar ahora vamos a hacer otra cosa que yo considero es aún mucho más interesante pues esto nos va a dar una pista de por qué las transformadas de la plaza son tan tan útiles cuando trabajamos en ecuaciones diferenciales digamos que quiero encontrar la transformada de la plaza hacemos la transformada de la plaza de f prima de t o sea tomamos la derivada de la función t y le estamos sacando la transformada de la plaza y aquí vamos a necesitar la función efe dt y su derivada f prima de t para esto vamos a necesitar hacer uso de una integral por partes una integración por partes para desglosar esto así que esto va a ser igual por la definición a la integral impropia de cero a infinito a la menos st x es el primer dt dt y para resolver esto vamos a usar la integración por partes esto creo recordarlo porque luce en el vídeo anterior creo que lo recuerdo pero vamos a escribirlo aquí integral de x prima que se parece a lo que tenemos aquí va a ser igual a la multiplicación de estas dos funciones sin la derivada por b - la integral del complemento o prima por b así que vemos que aquí lo que vamos a sustituir está bastante claro queremos terminar con una f de t así que vamos a hacer b prima que sea f prima de t y un igual a la menos sdt así que aquí escribimos y iguala al menos 7 y b va a ser igual y va a ser igual a que era igual efe dt así que ahora nuestra prima va a ser igual a menos s por el ala menos st y ahora nuestra prima está derribe prima perdón de prima es igual a efe prima de t así que va a ser igual a efe dt disculpen esta equivocación pero bueno esta es un y esta otra es de prima aquí lo señalamos y si ésta es mi prima este más adelante derivada por lo que va a ser efe nt y así que ahora sí vamos a aplicar nuestra integración por partes está transformada de la plaza que es esto va a ser igual entonces a o por b que es la menos 7 por ver que es nuestra ft menos menos la integral aunque bueno aquí tenemos que tener en cuenta que vamos a evaluar todo esto a 0 a infinito ahorita si quiero mantener los límites porque no quiero estar regresando o yendo y viniendo entre integrales e indefinidas e integrales impropias entonces va a ser ahora sin menos la integral de 0 a infinito de prima o prima es menos s x - etc por vez y nuestra vez ft efe dt así que menos por menos es más estos son más ésta es una constante así que la podemos sacar así que todo esto va a ser igual al menos st efe dt evaluado de 0 a infinito s por la integral de cero al infinito a la menos st efe dt vete y aquí vemos esto qué es esto a pues es la transformada de la plaza de ft así que esto va a ser igual vamos a evaluar esto de una vez cuanto vale esto cuando usted se aproxima infinito es la menos infinito se aproxima a 0 y bueno aquí tenemos una pregunta interesante efe mtf de infinito pues no se puede ser grande puede ser pequeña incluso podría ser que se aproxime a algún valor si esto se aproxima a cero si ésta se incrementa más rápido que esta otra entonces podría divergen no quiero meterme en detalles matemáticos sobre si esto convergió divergen pero digamos muy en general que esto va a converger a cero si ft crece más despacio que a la menos siete se aproxima a cero quizás más adelante podamos ver en qué condiciones esta expresión podría converger pero vamos a asumir que efe dt crece un poquito más despacio que a la menos cc.oo que converge más despacio que a la menos etc o que crece más despacio de lo que está se encoge por lo que si ésta crece más despacio de lo que está decrece entonces va a tender a hacer así que vamos a tener menos toda esta expresión evaluada en 0 cuando ted es igual a cero y al a menos cero es uno fd 0 efe de 0 más s y dijimos que esta es la transformada de la plaza de gente así que es multiplicado por la transformada de la plaza de f dt vemos que tenemos una propiedad interesante ya que la transforma de la plaza de una función prima va a ser vamos a escribirlo de nuevo aquí que en otro color la transformada de la plaza de f prima de t va a ser igual a esta parte s multiplicada por la transformada de la plaza de ft a menos de 0 vamos a extender esto un poco más allá que esto es algo bastante útil de saber cuál es la transformada de la plaza de la segunda derivada de ft podemos ver que hay un patrón aquí va a ser igual a ese multiplicado por la transformada de la plaza delante y derivada de lo que esté aquí que sería f prima de t cierto vemos que de aquí a acá se tiene una anti derivada y de que acá también hay una anti derivada - efe prima de 0 ok bueno otra escuela se transforma desde la plaza de esto ah bueno esto va a ser igual a ese por la transformada de la plaza df prima de té que es a pues es esto así que va a ser ese por la transformada de la plaza de f dt - efe de 0 esto sustituye nada más que hay aquí aquí - efe prima de 0 podemos tener al final que la transformada de la segunda derivada de ft es s cuadrada por la transformada de la plaza df de t - s por efe de 0 - efe prima de 0 aquí vemos que está en un patrón y esta es la transformada de laplace de la segunda derivada de ft y aquí podemos ver porque su tierra transformada de la plaza transformada derivadas en multiplicaciones y veremos más adelante que transforma integrales en divisiones y pueden tomar derivadas arbitrarias y van a terminar con una serie de multiplicaciones por s y se me está acabando el tiempo pero les voy a dejar de tarea que ustedes hagan la transformada de la plaza de la tercera derivada de f dt