La transformada de Laplace de t: L{t}

vamos a continuar llenando nuestra tabla de transformadas de la plaza y una buena manera de hacerlo es escribir nuestra definición de la transformada de la plaza la transformada de la plaza de una función de t va a ser igual a la integral impropia de 0 infinito de al menos siete por efe dt dt esta es nuestra definición y la primera transformada de laplace que hicimos es la transformada de la plaza de uno en la que por ejemplo puede serte elevada a la cero y esto es igual a la integral y propia de cero a infinito de al menos 7 y ft es igual a 1 así que queda dt y esto va a ser igual - 1 / s por la sct evaluado de 0 a infinito cuando tomamos el límite de este término cuando t se aproxima al infinito este ala menos este se convierte en un número muy grande un número negativo muy grande cuando s es mayor que 0 todo este término va a tender a cero va a ser cero menos este término evaluado cuando t es igual a cero elevado a la cero va a ser igual a 1 por lo que nos va a quedar un -1 entre s que es lo mismo que más 1 entre s así que la transformada de laplace de uno va a ser igual a uno entre s así que la transformada de la función uno va a ser 1 entre s vamos a tratar de calcular algo más elevado vamos a ver la transformada de la plaza de t nuestra ft es igual a t y esto va a ser igual a la integral impropia de 0 a infinito de al menos 7 portes de té bueno puedo decirles en este momento que no he memorizado la anti derivada de esto pero nos puede ayudar la integración por partes a resolver esto ya que la integración por partes nos permite descomponer esto en elementos más sencillos y yo siempre me olvido de cómo es la integración por partes así que la voy a inferir por de la derivada de esto va a ser igual a la derivada de la primera por la segunda más la primera por la derivada de la segunda es la regla del producto ahora sí hacemos la integral en ambos lados vamos a obtener por b es igual a la integral de prima por ve más la integral de por bp lima ya que vamos a aplicar esto a una integral vamos a dejarlo en términos de lo que queremos resolver la integral de x de prima es igual vamos a restar esto de este otro lado de la ecuación aquí lo único que estoy haciendo es intercambiar estos lados y quitar esto de este otro lado para que me quede un por ve - integral de un prima por d y aquí está aunque no me he aprendido esta fórmula realmente no es difícil de inferir siempre y cuando ustedes recuerden la regla de producto de integrales así que si vamos a hacer una integración por partes es bueno que definamos nuestra prima de una manera que sea sencillo encontrar la anti derivada y también es bueno en definido de manera que sea fácil encontrar su derivada así que vamos a hacer que te sea nuestra función y nuestra función be prima va a ser la menos 7 y si este es el caso bueno ahora vamos a encontrar cuál es el valor de t b va a ser la anti derivada de b prima que es menos 1 entre s por el ala menos st y ahora también tenemos que encontrar nuestra prima es la derivada de un así que esta prima va a ser igual a 1 y ahora sí vamos a aplicar esto la transformada de la plaza de t la transformada de la plaza de té es igual tarde este pibe es lo que tenemos aquí esto es x menos 1 / s por el ala menos st al menos 7 y esta es la integral indefinida esto todavía lo tenemos que evaluar de 0 a infinito menos la integral menos la integral de 0 a infinito de su prima y vemos que prima es 1 x b&b es esta parte menos ahora -1 entre ese de choclo pongan otro color por al menos 7 - ese porte dt siempre agregamos aquí de té y esto vamos a ver si podemos simplificar esto esto va a ser igual - t / s por el ala menos st esto evaluado de 0 a infinito x 1 bueno esto podemos evitar escribirlo pues un 1 nada más y nos queda menos por menos es más más 1 entre s por la integral de 0 a infinito d a la - st por dt y esto les debe de ser familiar esta es la transformada de laplace de 1 así que le vamos a tener esto en mente es la transformada de la plaza de uno vamos a escribirlo aquí porque vamos a encontrar un patrón que veremos en el siguiente vídeo así que bueno aquí lo escribimos y ahora vamos a evaluar todo esto vamos a evaluar esta expresión cuando te tiende a infinito y le vamos a quitar la expresión cuando te es igual a cero esto va a ser igual y permítanme escribirlo de esta manera va a ser el límite cuando tiene infinito de menos a sobre s por el ala menos s por a esto es cuando yo evalúo esta expresión cuando te tiende a infinito y a esto le vamos a restar esta expresión cuando te es igual a cero así que esto va a ser más cero entre s por el ala menos s por cero y por supuesto aquí vamos a tener tenemos este término de aquí que este término lo voy a escribir en amarillo no mejoran azul 1 / s qué es esto multiplicado por la transformada de la clase 1 qué es lo que obtenemos aquí veamos cuál es el límite de esto conforme a se aproxima al infinito podrías decir que bueno pues esto va a ser un número muy muy grande así que va a ser un número negativo muy grande este va a ser un exponente así que es la menos infinito y van a atender a 0 mucho más rápido de lo que este otro término tiende al infinito este término de aquí y digamos que una función mucho más fuerte que la otra incluso pueden ustedes tomar una calculadora y comprobarlo si no me creen así que todo este término va a tender a cero y de la misma manera si tenemos esto que multiplica a un cero pues todo este término va a ser igual a cero y eso es conveniente porque todos estos términos se van a eliminar así que la transformada de la plaza de t va a ser igual a 1 / s x la transformada de la plaza de 1 y ya sabemos que es la transformada de laplace de 1 está transformada de la plaza 1 aquí lo pongo en verde es uno entre s asumiendo que s es mayor que 0 y de hecho tenemos que asumir que ese es mayor que 0 aquí para poder resolver esto ya que solamente cuando aquí tenemos un menos infinito es que todo esto tiende a cero muy bien entonces tenemos que la transformada de la plaza de t es igual a 1 entre s por 1 entre s y esto es igual a 1 entre ese cuadrado siempre y cuando ese sea mayor que 0 así que esta es nuestra siguiente entrada en nuestra tabla de transformadas de la plaza y podemos usar esto en el siguiente vídeo lo vamos a hacer para encontrar la transformada de la plaza dt a la n esto lo vamos a hacer en el siguiente vídeo