If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:10:16

Transcripción del video

en el último vídeo les mostré la transforma de la plaza de té o podemos verla como tea la potencia uno es igual a 1 sobre ese cuadrada asumimos que ese es mayor que 0 en este vídeo vamos a ver qué podemos generalizar esto intentando obtener la transformada de la plaza dt a la n donde n es cualquier potencia entera mayor que cero por lo que en ellos cualquier entero positivo mayor que cero así que intentemos lo sabemos por nuestra definición de transformada en la plaza que la transforma de la plaza dt a la n es igual a la integral desde cero al infinito desde cero al infinito nuestra función bueno déjame escribo de a la enee por y éste sólo la definición de la transformada eala - s t diferencial tt y parecido a cuando hicimos está transformada de la plaza tu intuición debería de decir 'hey hay que usar integración por partes y lo mostré en el último vídeo siempre el olvido pero lo acabo de grabar por lo que ahora lo recuerdo entonces la integración por parte sólo nos dice que la integral de eeuu ve prima es igual a eeuu por ve - la integral de sé que esta es una clase de intercambio por lo que tenemos uu prima un prima por p éste es sólo nuestra fórmula de integración por partes si alguna vez la olvidad puedes deducir la en 30 segundos ruiz en el último video porque hace mucho que no la usaba y tuve que volver la deducir así que aplicamos la así que como quieren hacer nuestra b prima siempre es bueno utilizar nuestra función exponencial porque es más fácil de obtener su integral así que ésta es prima en este caso nuestra pe es la integral de esto entonces tenemos a la menos dt sobre - s si tomamos la deriva de esto - s dividida entre menos ése se cancela y te queda eso y luego si hacemos y hacemos nuestra u si hacemos está igual av cuál es nuestra prima o prima va a hacer n porte a la n menos uno muy bien apliquemos la integración por partes entonces esto va a ser igual a eeuu por b uu este a la n entonces oeste a la n esta es nuestra uu porte que es déjame escribir esto entonces es menos hay un menos ahí deja me pongo menos a y pongámoslo en el mismo color - estamos escribiendo esto eala - st sobre ese entonces ese es nuestro término un por b déjame lo hago más claro entonces este término de aquí es este término de aquí y por supuesto voy a tener que evaluar esto desde cero al infinito déjame escribir eso desde cero al infinito y puedo poner un pequeño corchete y yo algo para que sepas que tienes que evaluar eso ya eso le tenemos que respetarla integral y deja recuerdo nuestros límites de cero al infinito un prima o prima es n porte a la n - 1 esa es nuestra o prima por p por menos mientras pongamos esté menos aquí afuera entonces es menos a la - st sobre ese y después de todo eso por supuesto tenemos nuestro diferencial dt tenemos un - - por lo que éstas se convierten en positivos y veamos si podemos simplificar está un poco tenemos nuestra transformada de la plaza dt a la n es igual a esto evaluando en infinito y evaluado en cero así que cuál es el límite de esto cuando te se aproxima al infinito cuando te se aproxima infinito este término podrías decir o este término puede volverse muy grande y hable sobre esto en el último vídeo pero éste terminó disminuye su poder porque tenemos a la menos infinito si asumimos que ese es mayor que 0 entonces si ese es mayor que 0 este término va a ganar y llegar a cero mucho más rápido que lo que este término irá infinito por lo que cuando evaluamos esto el infinito vamos a obtener 0 y luego le vamos a restar este término evaluado en cero esto evaluado en cero si evaluamos en cero tenemos menos 0 a la n por ea la menos ése por 0 sobre ese éste se vuelve un cero también todo este término evaluado de cero al infinito es cero lo que es algo muy conveniente para nosotros y luego vamos a tener este otro término de aquí así que saquemos los términos constantes estã n y estã s son constantes son constantes con respecto a t y tenemos más en es sobre ese por la integral desde cero al infinito de té a la n menos uno por el ala - st diferencial de t ahora esto debería de parecerte muy familiar esto debería de verse cuál es la definición de la transformada de la plaza la transformada de la plaza de cualquier función es igual a la integral de cero al infinito de esa función por alá - st diferencia al dt tenemos aquí la sala - st diferencia al dt estamos tomando el intervalo de cero al infinito por lo que toda esta integral es igual a la transformada de la plaza de sto dt a la n - 1 así de fácil gracias a que este término fue cero simplificamos las cosas tenemos que la transforma de la plaz de a la n-ii xix oa la porque todo esto es cero es igual a n sobre ese que está ahí por este integral de aquí que nos acabamos de dar cuenta de que era la transformada de la plaza dt a la n menos uno bueno esta es una bonita simplificación podemos ahora obtener la transformada de la plaza de una potencia mayor en términos de la potencia 1 pero esto aún no me da una fórmula generalizada vamos a ver si podemos utilizar esto con esta información para obtener una fórmula generalizada por lo que la transforma de la plaza de sol o te dejan escribir eso acá abajo escribí eso al inicio del problema tenemos la transformada de la plaz puedo escribir esto cómo te a la 1 o sólo te es igual a 1 sobre ese al cuadrado donde ese es mayor que cero donde ese es mayor a 0 ahora qué pasa si tomamos la transforma de la plaz la transformada de la plaza dt al cuadrado no podemos sólo utilizar la fórmula de click la transforma de la plaza de té al cuadrado es igual a 2 entre s por la transforma de la plaza dt de sólo te a la 1 2 - 1 entonces es por la transforma de la plaza de té a la 1 y ya sabemos qué es eso esto es igual a 2 sobre ese por eso por 1 sobre ese al cuadrado que es igual a todos sobre ese al cubo interesante veamos si podemos hacer otro cuales la transforma de la plaz dt alcohol bien pues sólo necesitamos utilizar esta fórmula de aquí es n sobre ese en este caso en estrés entonces es 3 sobre ese por la transformada de la plaza dt a la n menos uno que esté al cuadrado sabemos que la transforma de la plaza de esta era ésta es sólo está justo allí es igual a tres entre s por esta cosa y voy derecho a escribirla de esta manera porque creo que es interesante escribir en los numeradores por dos por ono sobre ese sobre ese al cuadrado lo que es podemos escribir lo como tres factoría al sobre ese a la cuarta potencia ese a la cuarta potencia hagamos otro creo que ya están entendiendo lo que está pasando la transformada de la plaza de a la cuarta potencia es que es igual a 4 sobre ese por la transformada de la plaz dt al cubo y esto es sólo 4 sobre ese por esto entonces es 4 sobre ese por tres factores al sobre ese a la 4 y ahora cuatro por tres factores reales 4 factorial sobre ese a la quinta potencia así que puedes obtener la idea general el principio general podemos probar esto por inducción es casi trivial después de todo lo que hemos hecho la transforma de la plaz la transformada de la plaz de a la n -sigo a la n factorial n factorial sobre ese a la n mazo no lo probamos directamente con este caso de aquí verdad este es uno factorial sobre ese ala uno más uno y luego sí sabemos que sí sabemos que es verdad para este sábado nos que va a ser verdad para el siguiente incrementó la prueba de inducciones casi obvia pero puedes incluso verlo basándote en esto si necesitas obtenerla transformada de la plaza de ti a la 10 puedes seguir haciendo esto una y otra vez pero creo que puedes ver el patrón claramente de todas maneras espero que haya sido un ejemplo lindo por sí mismo ya saben fuera del hecho de que será útil poder obtener transformadas de la plazas directas e inversas pero este es un resultado muy lindo la transforma de la plaza de té a la m donde n es algún entero mayor que cero es igual a n factorial sobre ese a la n más uno donde ese es también mayor que seo esa fue una suposición que tuvimos que hacer al inicio cuando tomamos nuestros límites de cuando te se aproxima al infinito de todas maneras espero hayan encontrado esto útil