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Transcripción del video

en el vídeo anterior les presenté una de las funciones más extrañas que hemos visto hasta el momento y esta es la función de irak función delta de irak y la definimos como y bueno voy a dibujar la versión desplazada espero que le sea familiar ahorita que la escriba la función delta de irak de temenos se puede decir que es igual a 0 cuando te es diferente de c pero esencialmente va a subir hasta infinito y hay que tener cuidado con este infinito lo voy a escribir aquí pero no se entiende como un valor infinito tal cual porque podemos multiplicar esto por números más grandes para tener una función del tav idac todavía más grande cuando te es igual a c pero más importante que esto digamos que esta es una pseudo definición lo que estoy señalando acá lo más importante es la idea de que cuando tomamos la integral el área bajo la curva de menos infinito a infinito la integral cuando tomamos de la de abajo esta curva que va a ser igual a cero excepto en el valor de c cuando tomamos esta área va a ser igual a 1 y esta es la parte importante que el área va a ser igual a 1 el área siempre va a ser igual a 1 y es a esto lo que me refiero en cuanto a un pseudo infinito si tuviera el doble de la función delta de irak si yo estuviera tomando el área bajo la curva de eso el doble de la función delta vida dt será igual a 2 por la integral de menos infinito infinito de mi función en el cadillac desplazada la función del calidad de t menos por de t que sería igual a 2 x nuestra definición esto es igual a 1 2 x 1 igual a 2 así que si yo pongo un 2 aquí ese infinito tendría que ser el doble de alto para que el área ahora sea 2 y es por eso que puse este infinito entre comillas pero es una función bastante interesante y les comentaba al final del vídeo anterior que esto nos ayuda a modelar cosas que se sacuden de pronto sobre cosas que imparten una cierta cantidad de impulso a algo una cantidad fija de cambio en el momento y esto lo vamos a comprender un poquito mejor en el futuro pero primero vamos a comprender estas herramientas matemáticas ahora veamos qué pasa con la transformada de la clase de esta función de alta de dídac cuando lo multiplicamos por una función digamos que yo tengo mi función delta de irak que está desplazada de menos c y si ustedes no quieren la versión desplazada pues simplemente hacer lo igualan a 0 y voy a tomar la versión desplazada y la voy a multiplicar una función arbitraria en ti y ahora quiero encontrar la transformada de la plaza de la función delta cuando ft es igual a 1 y ahora vamos a tomar la transformada de la plaza de todo esto y vamos a usar la definición de la transformada de la plaza que es la integral de 0 a infinito de a la menos ese porte que viene de la definición de nuestra transformada de la plaza x lo que tenemos aquí dentro ft por nuestra función delta de irak dt m y aquí agregamos dt aquí quiero hacer un argumento un poco más intuitivo pues ya que muchas de las matemáticas que hemos hecho y en especial uno tiende a ser muy riguroso y formal en cuanto se refiere a la función delta de irak pero lógica que podemos trabajar con esto de manera intuitiva voy a resolver esta integral para ustedes de manera intuitiva y creo que ustedes lo encontrarán en el sentido así que ahora permítanme dibujar este par de ejes para mostrarles lo que queremos hacer para mostrarles a lo que le quiero tomar la integral sólo me interesa la porción de 0 a infinito por eso estoy dibujando nada más esta parte de los ejes y también cuando se es mayor que 0 ya que la función delta va a mostrarse de manera positiva en el lado derecho de mi gente y como se va a ver esta primera parte esta parte de ea la menos 7 por ft bueno no lo sé con él a menos s te va a comenzar en 1 y va a bajar x una función arbitraria así que la voy a dibujar más o menos así imaginando que así se ve en nuestra función al menos 7 por ft y la parte de frente es la que le da esta forma extraña muy bien ahora vamos a graficar nuestra función delta de irak donde vamos a tener cero en todos los valores excepto en ce y justo en c justo aquí va a subir de manera infinita pero recuerden que solo dibujamos una flecha hasta el valor 1 indicando el tamaño del área bajo esta curva recordemos que el área es 1 de nuestra función delta dídac y bueno cuando se grafica no se dibujan flechas pero van en este caso esta flecha indica que es el área bajo la curva que es igual a 1 y ahora vamos a multiplicar esto la definición de la función delta desplazada hace cuando multiplico esto por esto que es lo que obtengo esta es la intuición básica aquí permíteme dibujar los ejes a ver si los me salen un poquito más derechas más o menos así ok no me juzguen por lo derecho de mis ejes este este y que pase cuando multiplico estos dos cuando te es igual a cualquier otra cosa excepto ce la función de altamed irak va a ser cero cierto cuando te es diferente de ce no me va a interesar el valor de todo lo que esté alrededor toda esta función va a ser igual a cero así que va a ser cero en todos los valores excepto en ce y aquí va a pasar algo interesante cuando te es igual hace aquí cuál es el valor de la función bueno va a ser el valor de la función delta dirac multiplicado por la altura que tenga y esa altura va a ser este punto de aquí que estoy señalando ese punto y ese va a ser el valor de esta función evaluar en sí y lo voy a marcar en amarillo aquí en el eje de la siesta o en el eje de la cfc como ustedes lo quieran llamar esto es a la - s por c multiplicada por f de c todo lo que estoy haciendo es evaluar esta función en ce y es este punto de aquí si toman ustedes este punto que es sólo un número puede ser un 55 por esto y ustedes obtienen 5 x la función delta de irak o en este caso bueno no es un 5 es un número más abstracto pero lo pueden dibujar así cuando ustedes multiplican esto por mi pequeña función delta obtengo esto la altura va a ser una función de alta pero escalada al valor de mi función así que mi nuevo valor va a quedar así si yo multiplico esto por esto me va a quedar en esencia al menos ese por c x fdc y que bueno puede lucir como una función extravagante pero realmente es un número al menos desde el punto de vista de t sabemos que ese está en el dominio de la transformada de la plasta pero desde el punto de vista de t estas son puros constantes esta constante multiplicada por mi función delta de irak multiplicada por delta de t - c cuando multiplico esto por esto todo lo que me queda es esto y esa altura aún va a ser infinitamente alta pero va a estar escalada de tal manera que su área que su área no va a ser 1 y se los voy a mostrar y cuál va a ser la integral de esto si yo hago la integral de menos infinito hasta más infinito pues debería ser lo mismo que tomar la integral de los infinito infinito así que vamos a hacerlo aunque de hecho de vamos a hacer la integral de cero a infinito así que si hacemos la integral de cero a infinito lo que estoy diciendo es que tomar está integral es equivalente a tomar esta otra integral así que a la menos s por c efe de c x la función delta vida de t - c dt ahora esta cosa de aquí yo estoy afirmando que esto es equivalente a esto ya que en cualquier otra parte la función delta de irak me va a hacer 0 esta función por lo que sólo nos interesa esta función cuando se tiene el valor de c y esto se vuelve una constante si esto es una constante entonces podemos quitarla de esta integral lo voy a poner de este lado nada más pues para ahorrar un poco de espacio quitamos la constante de esta integral y obtenemos el ala menos s porsche por efe de c x la integral de 0 infinito de f dt m dt el perdón es efe de tms perdón esto es o no es una f esta es la delta la función delta dídac entonces bueno recapitulamos sacamos las constantes y esta va a ser la integral de ser infinito de delta de t - c dt y bueno ahora por definición que es esto todo esto es uno aunque sea la integral de cero a infinito no importa por la función en esta parte es igual a 1 ya que el único momento en el que tiene un valor o que tiene una área es cuando esto es igual a c así que todo esto es igual a 1 y por lo tanto toda esta integral de acá se reduce a esto al menos ese porsche multiplicada por fcc y la voy a escribir aquí de nuevo aquí abajo la transformada de la plaza de nuestra función del tab irak desplazada espacios a la derecha multiplicada por efe dt es igual esencialmente estamos evaluando esta función cuando te es igual a c así que por eso aquí tenemos cuando es la menos c por s x la función en sí lo que estamos haciendo es evaluar todo esto en c y a partir de esto podemos obtener varias cosas interesantes por ejemplo cuál es la transformada de la plaza de nuestra función delta dídac así insólita bueno en este caso tenemos que se es igual a 0 y f dt o va a ser igual a 1 es un término constante si hacemos esto entonces la transformada de laplace de esto va a ser igual a e a la menos cero por s por 1 que va a ser igual a 1 así que la transformada de la plaza de nuestra función delta de irak es uno que esto es algo bastante bueno de descubrir y si hiciéramos la transformada de la plaza de nuestra función desplazada transformada de la plaza de nuestra función delta de t ese es un caso especial en el que ft es igual a 1 aquí podría escribir x 1 pero bueno es obvio eso sin iguala a la - c por s x fdc pero aquí esto es 1 x 1 que da igual así que esa es mi transformada de la plaza a la menos cs y así usando una herramienta de evaluación visual hemos podido encontrar las transformadas de la plaza de varias situaciones que involucran nuestra función delta de irak espero que encuentren esto útil nos vemos en el siguiente vídeo