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La transformada de "desplazamiento" mediante la multiplicación de una función por una exponencial

Transcripción del video

me parece que ahora es un muy buen momento para agregar algunas notaciones y técnicas a nuestra caja de herramientas de transformadas de la plaza la primera cosa que les quiero presentar aquí es una forma más rápida de hacer algo y esto es si yo tuviera la transformada de la plaza la transformada de la plaza de la segunda derivada desde hace algunos vídeos probamos cómo hacer este desarrollo vimos que la transformada de la plaza de la primera derivada de james es igual s multiplicada por la transformada de la plaza de g - y evaluada en cero y usamos esta propiedad en los últimos vídeos para de hecho calcular la transformada de laplace de la segunda derivada ya que si decimos que esto es la transformada de la clase esta derivada pues podemos hacer una relación de patrones aquí y decir también que esto va a ser es igual a ese multiplicado por la transformada de la plaza de prima - de prima valuado en cero esto es la derivada de esto de la misma forma que esto es la derivada de esta otra parte vamos a dividirlo aquí y ahora podemos usar esto para sustituirlo en esta parte al menos que esto que estoy subrayando en donde la persona de la clase de la primera derivada de g es igual a ese pueblo transformada de la plaza de g - y evaluar en ser si sustituyo esto pues va a tener ese multiplicado por todo esto menos prima evaluada en 0 y cuando expandimos todo esto que ya lo hemos hecho antes nos queda ese cuadrado multiplicada por la transformada de la plaza de y menos s x evaluado en cero menos de prima evaluado en cero aquí hay algo interesante de observar que si ustedes lo aprenden van a poder hacer las cosas mucho más rápido y sobre todo cuando se tiene poco tiempo y poco espacio de papel para escribir en un examen tomen nota de que cuando tomamos la transformada de la plaza esta segunda derivada con que terminamos terminamos con s al cuadrado esta es la segunda derivada y este es un 2 está al cuadrado por la transformada de laplace de y menos s porque evaluada en 0 menos ye prima evaluado en 0 veamos que comenzamos con s al cuadrado y en cada término posterior se va a disminuir la potencia de la s comenzamos aquí con una escuadra da el siguiente término va a tener una s con una potencia menor y el último término no va a tener ese o va a tener una s con una potencia en cero después tenemos la función de valor en cero y en el siguiente término está esta misma función pero la primera derivada y todos los demás términos son negativos esa es una buena manera de recordar esto sin tienen que ser todo el desarrollo previo una vez que ya le encontraron el modo esto voy a encontrar las transformadas de laplace de cualquier función que tenga las arbitrarias por ejemplo digamos que quiere encontrar la transformada de la plaza no sé de la cuarta derivada de y aquí pongo el 4 en paréntesis en lugar de poner los 44 comillas es lo mismo de más para que quede más claro y esto a que es igual si usamos esta técnica de sustitución es muy probable que nos equivoquemos y nos tardemos mucho tiempo en tratar de encontrar el error pero ahora ya hemos encontrado cuál es el patrón y así que podemos decir que la transformada de laplace de esto en términos de la transformada de la plaza de jeff que es lo que queremos encontrar va a ser igual a ese elevado a la cuarta multiplicada por la transformada de la plaza todos los demás términos van a tener un menos enfrente de ellos - bajamos al grado de la potencia s a la 3 y aquí ustedes podrían tomar una forma de derivadas de manera que tenemos evaluada en 0 aunque la transformada de laplace no es la anti derivada de pero de todas maneras creo que ustedes tienen la idea y vamos bajando el grado de la potencia de ese de nuevo y nos queda menos s al cuadrado y bueno por supuesto estas son funciones ahora vamos a evaluar la derivada de esta función en cero nos queda prima en 0 - bajamos la potencia una vez más s multiplicada por la segunda derivada de y evaluar en cero y agregamos un término más donde disminuimos por última vez la potencia de s donde nos queda ese al hacer o igual a 1 a menos la tercera derivada de vamos a mover esto un poquito para acá evaluada en cero y creo que ustedes pueden notar el patrón aquí esta es una forma mucho más rápida de encontrar la transformada de la plaza de una función que tiene una derivada arbitraria en lugar de estar haciendo todo este desarrollo una y otra vez otra de las cosas que les quiero mostrar aquí es acerca de las notaciones es algo que ustedes pueden encontrarse así que es bueno que conozcan de qué se trata y también nos ayuda a ahorrar espacio y tiempo en lugar de estar escribiendo está el manuscrita la transformada de la plaza de una función dt puedo escribir la o la gente tiende a escribirla como va a ser una función de ese y se usa una mayúscula en términos de s para indicar que esta es una función de s y esto tiene sentido porque normalmente cuando estamos haciendo una anti derivada si tomamos el teorema fundamental del cálculo donde tenemos la integral de la función f de x de 0 a x que es igual a una mayúscula de x más o menos está imitando esta anotación ya que esta función de ese es más o menos como la integral de 7 la transformada de la plaza es hasta cierto punto un tipo especial de integral ya que tenemos una función exponencial ahí bueno voy a quitar esta parte de aquí de cualquier manera lo que quería yo es que se familiarizaron con esta anotación cuando vean una yema yus q la de ese se refiere la transformada de las plazas de 7 y también se podrían encontrar la transformada de la plaza de ft que es igual a f mayúscula de s la pista para que ustedes no teme esto es el hecho de que se está usando esta s como variable independiente ya que en general ese representa la frecuencia y es por eso que la gente usa la s en general para indicar el dominio de la frecuencia para que no haya confusiones bueno de cualquier manera estoy pensando que tanto tiempo tengo para enseñarles más conceptos fascinantes al respecto bueno mi siguiente pregunta para ustedes y en esta ocasión les voy a enseñar un par más de propiedades que les van a ser útiles cual es la transformada de la plaza al aporte multiplicado por el cdt fascinante pues tenemos que regresar a nuestra definición de lo que es transformada de la plaza que es igual a la integral de 0 a infinito al menos 7 x lo que tenemos aquí entre las llaves así que va a estar x al aporte ft dt y ahora podemos sumar estos exponentes es decir que tenemos la misma base y esto va a ser igual a la integral de 0 a infinito y bueno quiero a reacomodar un poco los exponentes para que se note más claro - s menos a por ti ustedes pueden de expander esto y se notará que es exactamente lo mismo que lo que tengo aquí arriba en los exponentes por efe de t de t y ahora permítanme mostrarles algo si yo simplemente fuera realizará transformada de la plaza de ft la transformada de la plaza de ft solita eso sería igual a una función de s efe mayúscula de s cualquier cosa que tengamos en esencia aquí va a llevar a una función en el dominio de s así que esto es interesante esta es una función de ese y aquí todo lo que hicimos bueno de hecho permítanme reescribir esto va a ser igual a la integral de ser infinito de al menos s porte por ft dt está transformada de la plaza de la función ft solita es va a quedar en una función de s ahora la transformada de la plaza de a la aporte x ft va a ser igual a esto vamos a ver qué hay de similar entre esto y esto que tenemos parecido bueno aquí donde tengo una s tengo una s menos a así que si esto es una función de ese esto que va a ser pues tenemos la misma función cualquiera que sea de la transformada de la plaza de ft tendrá la misma función pero en lugar de s va a tener ese menos a va a ser efe mayúscula de ese menos al y de nuevo como encuentro esto bueno si la transformada de la plaza efe que es una función de ese y es igual a esto bueno si yo reemplazo esto con una s menos a voy a obtener esto que es una función de s menos a la cual es la transformada de la plaza a la atp por ft quizás esto les haya confundido un poco permítanme mostrarles un ejemplo vamos a encontrar la transformada de la plaza el coseno de 2 t y nosotros mostramos que esto es igual voy a escribir la notación a una función de s una función en el dominio de s que es igual a s / s cuadrada + 4 así que la transformada de la plaza digamos a las tres porte por coseno de dos porte para ser igual a la misma función fs sólo que en lugar de s vamos a tener ese menos 3 que es igual a esta otra función es m3 entre s menos 3 al cuadrado al cuadrado más 4 + 4 noten que cuando estamos multiplicando algo ya sea a la 3 t oea la ate y queremos encontrar las transformadas de laplace de esto va a ser lo mismo que la transformada de laplace de esta parte pero en todos los lugares donde encuentra en una s la van a reemplazar por la s menos este valor espero que toda esta explicación les haya quedado clara y nos vemos en el siguiente vídeo