Raíces complejas de las ecuaciones características 1

en los cuatro vídeos pasados analizamos qué pasaba con las ecuaciones diferenciales de segundo orden que fueran lineales y homogéneas y además tuvieran coeficientes constantes y si recuerdan tenían esta forma a por jerry prima más b por i prima más c por james y cómo era homogénea pues lo teníamos que igualar a cero abc eran constantes también obtendríamos la ecuación a r cuadrada más r y a esto le sumábamos y lo iguala vamos a 0 y la llamábamos la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial y de esta ecuación buscábamos sus raíces si estas raíces fueran reales es decir si ere fuera r1 y r2 las cuales fueran reales pues entonces yo ya pueden escribir mi solución general de esta ecuación de segundo grado una ecuación general me quedaba de la forma si se acuerdan ye igual a una constante 1 que multiplicaba ha elevado a la r1 por x a mi primer raíz por x más c 2 por ea la r2 por x mi segunda raíz por x todo esto lo hemos analizado con mucha calma en los vídeos pasados así que si tienen alguna duda sería bueno que recurran a esos vídeos que hemos realizado bien pero seguramente ustedes se van a preguntar qué pasa si esta ecuación asociada tiene raíces que no sean reales y eso lo que vamos a ver en este vídeo pero primero lo que voy a hacer es escribir a toda esa ecuación de segundo grado de la fórmula general que nosotros no sabíamos de álgebra es decir menos b mayúscula más menos la raíz cuadrada de b cuadrada - cuatro veces a porsche y todo esto estaba dividido entre dos a ojo estoy usando las letras mayúsculas porque son los coeficientes constantes de mi ecuación diferencial de segundo orden otra cosa que quiero ver es que con esta fórmula nosotros estamos las dos raíces pero ahora la pregunta es qué pasa si b cuadrada menos 4 hace esto es negativo y bien si supongo que es lo que está dentro de mi raíz es negativo pues entonces voy a tener un número imaginario y entonces un número imaginario más un número real pues me da un número complejo miren yo voy a escribir de otra manera para que quede más claro me lo va a escribir como menos b entre 2 a más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 hace todo eso entre 2 a hasta aquí todo va muy bien y darse cuenta que el segundo sumando el que tenemos aquí es un número imaginario porque voy a cuadrada menos 4 ac es negativo y pues la raíz de un número negativo es un número imaginario y es quédense cuenta que como yo divide si a mis dos sumandos se ve claramente que r es un número complejo porque vamos a tener una parte real y una parte imaginaria además las dos raíces r1 y r2 del polinomio característico van a ser complejas con jugadas pero bien entonces solo entremos al escenario de las raíces complejas vamos a escribir a r de una forma que nos simplifica más las cosas recuerden que r es nuestras dos raíces complejas a r la voy a escribir de la forma lambda la anda la letra griega debido a la convención muchas personas usan la letra lambda para la parte real lambda va a ser menos b / 2a es una forma más fácil de ponerlo ok ya esto le voy a sumar más menos y voy a usar otras letras y esta vez voy a utilizar la letra new la cual también voy a usar por convención ustedes pueden poner de cualquier letra que ustedes quieran pero tengan cuidado mío es un número real es por eso que lo voy a multiplicar y por la raíz de menos 1 para que así ya tenga mis dos raíces una raíz lambda más new y otra raíz lambda menos miope es decir que me datos raíces complejas y con jugadas bien ahora qué va a pasar si sustituyó a r pero recuerden que r son dos raíces entonces cuando yo vea a r 1 voy a poner a lambda más mi wii y cuando vea a r2 voy a poner a lambda - new y entonces sustituyendo que me va a quedar y va a ser igual a c1 por el elevado la primera raíz a ere uno entonces me queda lambda más mi y elevado a la lambda más new y todo eso x x ya esto le voy a sumar una constante 2 que multiplica a la exponencial otra vez pero a la elevada a la segunda raíz lambda menos new y todo esto por x bien ahora lo que voy a hacer es distribuir la multiplicación por x esto me va a ayudar a escribir mi expresión de una manera mucho más amigable así que utilicemos algo de manipulación algebraica para que nos quede algo mucho más manejable bien escribiremos ahí ahora de la forma c 1 que multiplica yo lo voy a distribuir la multiplicación y elevado a la lambda x + x por y más una constante 2 que multiplica a en elevado y otra vez distribuyó la multiplicación elevado a la lambda x - new x que multiplica a y 10 en este momento donde voy a utilizar las leyes de los exponentes voy a recordar que a a la n por aa la m es lo mismo que a a la n más m y utilizamos la propiedad pueden escribir ayer de la forma uno por el ala lambda x por el ala mío x y esto utilizando las leyes de los exponentes recuerdan que esto sería igual a sumar los exponentes más c 2 y de manera análoga a la lambda x que multiplica a la función exponencial elevada a la menos 1000 x y pero no estoy haciendo esto de gratis quiero que se den cuenta que ahora ya tengo un factor común y factor común es a la lambda x entonces lo voy a factorizar que me va a quedar bien es igual a el ala lambda x muy bien que va a multiplicar a una constante 1 por el ala mil x muy bien y a esto le voy a sumar una constante de 2 que multiplica al exponencial elevada al amigo equis y negativo y es justo aquí donde las cosas se van a poner muy divertidas porque si ustedes se acuerdan de los vídeos que yo les había puesto en la serie de cálculo había unos vídeos de series que se aproximan a otras funciones y de hecho había un vídeo de la serie que se aproximaba a la exponencial recuerda que el exponencial es una de las más maravillosas funciones que existen matemáticas justo aquí es cuando nos vamos a utilizar porque tenemos una exponencial elevada a un número imaginario y si ustedes se acuerdan yo esto lo podría resolver usando la fórmula de hoy leer la fórmula de hoy les decía así lo voy a poner demorado para que se vea muy importante y decía que he elevado a la y x era coseno de x más veces seno de x esta identidad de hoy leer es una identidad sorprendente porque tiene que ver con una exponencial vista desde una combinación de senos y cosenos por ejemplo si nosotros sustituimos axn esta expresión por pi me da de resultado la identidad de oyler es igual a menos 1 y esto se puede ver cuando sustituyamos x por pi pero inclusive le podemos poner otro valor a x no sé supongamos 2000e elevado a las 2 p por y pues sería igual a coseno de dos primas y veces seno de 2 p o sea 1 esta fórmula magnífica salía de evaluar a l x como serie de potencias y realmente era casi una definición pues cuando nosotros poníamos la serie de potencias de x nos daba igual a la serie de potencias del coseno de x + y veces la serie de potencias del seno de x ahora bien que si no recuerdan de dónde sale esta identidad pueden buscar los vídeos sobre la función exponencial elevada a la y x pero bueno es momento de utilizar esta identidad de hoy leer para nuestra solución general de esta manera me va a quedar igual a la lambda x al alam de x porque ya lo habíamos factor izado que va a multiplicar a mi primer constante a la constante c 1 que multiplica a su vez a la mil x y pero esto por la fórmula de boiler ya lo podemos sustituir por consejo de mi x más veces el seno de new x esto por nuestra fórmula de oyler ya esto hay que agregarle la segunda expresión c2a a la menos mi x pero con la fórmula de valer me queda más c 2 coseno y en esta ocasión va a ser de menos 1000 x porque es negativo nuestro exponente bien ya esto le tenemos que sumar pues y veces el seno de menos mil x perfecto ahora lo que sigue es hacer un poco de limpieza sobre esta expresión sin embargo para ya no hacer este vídeo más extenso yo creo que lo mejor será dejarlo para el que sigue así que no se lo pierdan y nos vemos en el siguiente