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Transcripción del video

en los cuatro vídeos pasados analizamos qué pasaba con las ecuaciones diferenciales de segundo orden que fueran lineales y homogéneas y además tuvieran coeficientes constantes y si recuerdan tenían esta forma a porque mi prima más ve porque prima más sé por qué y cómo era homogénea pues no tenemos que igualar a cero a b y c eran constantes también no teníamos la ecuación a r cuadrada más br y a esto le sumamos e ir igual la vamos a 0 y la llamábamos la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial y de esta ecuación buscábamos raíces si estas raíces fueran reales es decir cierre fuera r1 y r2 las cuales fueran reales pues entonces yo ya puede escribir mi solución general de esta ecuación de segundo grado a la ecuación general me quedaba de la forma si se acuerdan ye igual a una constante uno que multiplicaba ha elevado a la r1 por equis a mi primer país por equis más de dos por a la r 2 x x men 2a raíz por equis todo esto lo hemos analizado con mucha calma en los videos pasados así que si tienen alguna duda sería bueno que recurran a esos vídeos que hemos realizado bien pero seguramente ustedes se van a preguntar qué pasa si esta ecuación asociada tiene raíces que no sean reales y es lo que vamos a ver en este vídeo pero primero lo que voy a hacer es escribir a toda esa ecuación de segundo grado de la fórmula general que nosotros habíamos de álgebra es decir menos de mayúscula más - la raíz cuadrada de de cuadrada menos cuatro veces a paul schemm y todo esto estaba dividido entre dos a ojo estoy usando las letras mayúsculas porque son los coeficientes constantes de mi ecuación diferencial de segundo orden otra cosa que quiero ver es qué con esta fórmula nosotros estamos las dos raíces pero ahora la pregunta es qué pasa si ve cuadrada -4 hace esto es negativo y bien sí supongo que lo que está dentro de mi país es negativo pues entonces voy a tener un número imaginario y entonces un número imaginario más un número real pues me da un número complejo ni de escribir de otra manera para que quede más claro me voy a escribir como - b entre dos a más - la raíz cuadrada de cuadrada -4 hace todo eso entre 2 a hasta aquí todo va muy bien y darse cuenta que el segundo sumando el que tenemos aquí es un número imaginario porque ve cuadrada -4 hace es negativo y por la raíz de un número negativo el número imaginario y es que de darse cuenta que como yo dividí hacía mis dos suman dos se ve claramente que r es un número complejo porque vamos a tener una parte real y una parte imaginaria además las dos raíces r1 y r2 del polinomio característico van a ser complejas con jugadas pero bien entonces ahora entremos al escenario de las raíces complejas vamos a escribir a rd una forma que nos signifique más las cosas recuerdan que erre es nuestras dos raíces complejas a r la voy a escribir de la forma landa landa la letra griega debido a convención muchas personas usan la letra la banda para la parte real landa va a ser menos ve entre dos a es una forma más fácil de ponerlo ok ya esto lo voy a sumar más menos y vosotras letra griega esta vez voy a utilizar la letra mío la cual también voy a usar por convención ustedes pueden poner de cualquier letra que ustedes quieran pero tenga cuidado mío es muy real es por eso que lo voy a multiplicar por por la raíz de -1 para que asía tenga mis raíces una raíz la nada más mío y y otras raíz landa - mío es decir que el bm datos raíces complejas y con jugadas bien ahora qué va a pasar si sustituyó a r pero recuerden que r son dos raíces entonces cuando yo vea a hereu no voy a poner a landa más me uvi y cuando vea a r2 voy a poner a la banda - new y entonces sustituyendo que me va a quedar llegue va a ser igual hace uno por e elevado la primera raíz a r1 entonces me queda la banda más ni un vip elevado a la banda más ni hoy todo eso x x ya esto le voy a sumar una constante dos que multiplica a la exponencial otra vez pero la elevada a la segunda raíz landa - ni un vi todo esto por equis bien ahora lo que voy a hacer es distribuir la multiplicación por equis esto me va a ayudar a escribir mi expresión de una manera mucho más amigable así que utilicemos algo de manipulación algebraica para que nos quede algo mucho más manejable bien escribiremos h ahora de la forma c 1 que multiplica a eeuu y ahora voy a distribuir la multiplicación elevada la banda x + new x x y más una constante dos que multiplica a en el nevado y otra vez distribuyó la multiplicación elevado a la banda x - new x que multiplica ahí y es en este momento donde voy a utilizar las leyes de los exponentes voy a recordar que a a la n por a a la m es lo mismo que a a la n más m y utilizar esa propiedad puede escribir ayer de la forma hace uno por a la banda x por a la mio x y está utilizando las leyes los exponentes recuerdan que esto sería igual a sumar los exponentes más c2 y de manera análoga a la banda x que multiplica a la función exponencial elevada a la menos mío x y pero no estoy haciendo esto es gratis quiero que se den cuenta que ahora ya tengo yo factor común el factor común es a la banda x entonces lo voy a factorizar que me va a quedar a gem es igual a alá landa x muy bien qué va a multiplicar a una constante uno por a la mio x y muy bien y esto le voy a sumar una constante dos que multiplica al exponencial elevada a la mio x y negativo y es justo aquí donde las cosas se van a poner muy divertidas porque si ustedes se acuerdan de los vídeos que yo les había puesto en la serie de cálculo había unos vídeos de exteriores que se aproximan a otras funciones y de hecho había un vídeo de la serie que se aproximaba al exponencial recuerda que el exponencial es una de las más maravillosas funciones que existen las matemáticas justo aquí es cuando vamos a utilizar porque tenemos una exponencial elevada a un número imaginario y si ustedes se acuerdan yo esto lo podría resolver usando la fórmula de oyler la fórmula de hoy les decía sí lo voy a poner demorado para que se vea muy importante y decía que elevado a la iss x era coseno dx más y veces seno de x esta identidad de hoy es la identidad sorprendente porque tiene que ver con una exponencial vista desde una combinación de senos y cosenos por ejemplo si nosotros sustituimos axn esta expresión por pig me da resultado la identidad de oyler a la ip es igual a menos uno y esto se podría ver cuando sustituyamos x por fin pero inclusive le podemos poner otro valor a x no sé supongamos 2000e elevado a las 2 pi por y pues sería igual a kossen od2 pig más y veces se nos dé dos pisos o sea 1 esta fórmula magníficas al día de evaluar a ella kiss como serie de potencias y realmente era casi una definición pues cuando nosotros poníamos la serie de potencias de alá y x nos da igual a la serie de potencia del coche lleno de x + y veces la serie de potencias del seno de x ahora bien que si no recuerdan de dónde sale esta identidad pueden ir a buscar los vídeos sobre la función exponencial elevada a la y x pero bueno es momento de utilizar esta identidad de hoy leer para nuestra solución general de esta manera me va a quedar ye igual a ella la banda x ealam dx porque ya lo habíamos autorizado que va a multiplicar a mi primer constante a la constante c1 que multiplica su vez a eeuu a la new x pero esto por la fórmula de hoy leería lo podemos sustituir por con sendo de miu x + y veces el seno del new x esto por nuestra fórmula de hoy le ya esto hay que agregarle la segunda expresión g2e a la menos mío xy pero con la fórmula de binner me queda más de 212 no y en esta ocasión va a ser de menos mío x porque es negativo en nuestro exponente a 10 ya esto le tenemos que sumar pues y veces el seno de menos nuevo x perfecto ahora lo que sigue es hacer un poco de limpieza sobre esta expresión sin embargo para ella no hacer este vídeo más extenso yo creo que lo mejor sería dejarlo para el que sigue así que no se lo pierdan y nos vemos en el siguiente