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Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y homogéneas 1

Transcripción del video

en este vídeo vamos a sumergirnos en el mundo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y yo sé que lo primero que me van a preguntar es que es una ecuación diferencial de segundo orden pues son como ya habíamos visto ecuaciones diferenciales pero en este caso vamos a tener inmiscuida a la segunda derivada en este vídeo vamos a ver las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y eso le va a servir mucho las personas que estudian música clásica vamos a ver para empezar el caso general supongamos que tenemos la función a x es decir una función que depende de x multiplicada por nieve y prima ojo aquí está la segunda derivada más bx pero esta vez x que prima más cx pero esta vez x la función normal sin ninguna derivada y esteban ser igual a otra función igual de x nada de dx ok este va a ser mi caso general de todo lo que voy a resolver a continuación pongan mucha atención tenemos una segunda derivada es decir es el segundo oro en la ecuación diferencial y por eso es que se llama una ecuación diferencial de segundo orden o quiero hacer notar dos cosas muy importantes en esta ocasión de segundo orden la primera es que es lineal es así el término ax bx cx y de x todos son términos que dependen solamente de x es decir no dependen de nadie y la segunda cosa que quieran realizarles es que llevo y prima y que prima es decir la segunda derivada de llegue la primera derivada de ye son con respecto a x de hecho quiero ver un caso esta vez más particular en donde ax va a ser solamente una constante la constante a que va a multiplicar a la segunda derivada del 10 con respecto a x posee allí prima más bx pero esta vez va a ser solamente una constante que va a multiplicar a la primera derivada más sede x pero esta sede que solamente va a ser una constante le voy a ponerse que multiplica la función che y la voy a ser igual a cero ojo estoy diciendo que te dé x en cero porque estoy en este caso pues en primer lugar es un caso particular y mucho más sencillo de analizar la segunda razón es que esta ecuación es una cuestión de tipo homogénea pues está igualada hacer pero voy a analizar todo con mucha calma lo primero que quiero que veamos que tenemos una segunda derivada inmiscuida es decir es una ecuación diferencial de segundo orden y además la derivada de más alto orden que tenemos en la ecuación otra cosa que quiero que analicemos esta igualdad a cero es decir es una cuestión del tipo homogéneo y esto ya lo habíamos visto cuando analizamos ecuaciones diferenciales de primer orden aquí también aparecen y es muy importante que lo analicemos con mucho cuidado el caso de tipo mojen yo siempre voy a decir que es una actuación homogénea o moje nea exacto cuando éste igualada hacer bien mi tercer cosa que iba a analizar es que es una función lineal y es genial porque tanto a como b como c son constantes en este caso es decir no dependen de equis sol un numerito como tal este tipo de actuaciones son las que vamos a analizar tanto en este vídeo como en videos posteriores pero lo que sí les quiero decir es que estas actuaciones tienen solución de un modo muy a que blanco y se van a dar cuenta más adelante y van a ver que realmente la solución es muy hermosa pero para esto voy a tratar de cambiar a otro color esta vez y voy a enseñarles propiedades muy muy importantes a ese color se va el mejor voy a decir que gdx es solución de esta ecuación diferencial imaginan que ya encontré a una solución qué quiere decir eso es que está porque mi prima más vez por ge prima más se por g pues esto es igual a cero y esto pasa porque gdx es una solución les digo imagínense que ya encontrar una solución y la solución solamente va a depender entonces dx ok si pasa esto mi pregunta va a ser si yo tengo una constante c1 y la multiplicó por gdx también la solución para responder esto voy a cambiar al color café pero antes de ello quiero que realicemos una cosa muy importante si yo tengo sé uno por gene x y lo meto más viendo de vigo dos veces en dos voy a tener ese 1 por heavy prima de x por qué pues la derivada completa propiedad no es decir voy a tener a porsche 1 jorge mi prima más b por ser uno por ge prima más se porsche uno rojo 61 son constantes distintas c porsche uno por g y yo quiero ver qué pasa con con ésta con esta expresión que yo tengo aquí aparece puedo factorizar el c 1 1.000 constante 1 y voy a tener pues se uno que multiplica a porque mi prima más ve porque prima más ser por g pero ya vieron que encontré en como sabíamos que ge es una solución entonces a porque mi prima más ve porque prima más se por g esto por hipótesis ya sabemos que es igual a cero y se dan cuenta hace uno por cero pues es igual a cero por lo que acaba de mostrar ni más ni menos que cuando yo tengo una constante multiplicada por mi solución y lo meto en la ecuación diferencia de segundo orden pues esto mi constante por mi solución es decir se uno por gdx también solución okey esto para qué lo voy a ocupar ahorita van a ver quiero demostrar antes una segunda propiedad esta segunda propiedad también va a ser muy importante para que nosotros encontremos la solución general de mi actuación homogénea ok entonces tomemos hdx como otra solución a parte de ge de x que también cumpla la ecuación genio bien qué va a pasar ahora con gdx más hdx lo que quiero saber es si la suma de mil soluciones también la solución de negocio diferencial bueno para probar esto quiero recordar que la derivada de la suma de otras funciones pues es la suma de las derivadas de las funciones utilizando esto que les acabo de decir y sustituyendo en ecuación me va a quedar a que va a multiplicar a la segunda derivada de gemas h o sea que mi prima más a chip lina y de manera análoga pues me va a quedar pp que va a multiplicar a la primera derivada de gemas acho ceaje prima masache prima más sé que va a multiplicar pues mis funciones sin ninguna derivadas o sea gemas h y bueno yo no sé qué pasa con esto pero lo que sí puedo hacer es escribir la ha multiplicando a porque mi prima y aaa por hb y prima también lo mismo para la b p porque prima más b por h prima muy bien y también para la se me va a quedarse porque más ser por h bueno está distribuyendo todo esto porque ahora voy a juntar términos semejantes ni en la guerra todo lo que tenga que ver con qué me va a quedar a porque mi prima más b por henry ma ma se por g y a todo esto pues me voy a sumar a lo que me resta con la che o se me va a quedar a por h mi prima más ve por aquí prima más se por h ok pero va bien vamos a observar todo lo que tenemos aquí hay o se queje de x por hipótesis era solución y hdx polvo tesistán viene la solución entonces todo esto que está aquí cumple la ecuación diferencia en el segundo orden homogénea decir todo esto 0 y como h tal vez la solución pues también todo esto 0 y sumó 0 +0 pues también es cero es decir acaba de probar que sí g y h son ambas soluciones entonces la suma de ellas también la solución de la ecuación diferencial y de hecho lo podrán ver de una manera mucho más general por qué pues porque yo aprobé la propiedad de uno y la propiedad para vos es decir yo puedo decir que sí tengo una constante me voy a escribir acá tengo una constante c1 que multiplica a gd x y yo tengo otra constante c2 que multiplica hdx pues esto también la solución de la cuestión diferencial homogénea que padre está esto no aunque también es importante hacer notar que sea 1 y c 2 no tienen por qué no ser cero puede ser que sea 111 2 pues sean cero en fin estas propiedades que vamos a probar nos va a servir para encontrar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden como genio pero eso ya lo veremos en videos posteriores ya verán que esto es mucho más fácil de lo que pensamos de hecho este león no es como lo pintan pero eso ya lo veremos en nuestro siguiente vídeo