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Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y homogéneas 1

Transcripción del video

en este vídeo vamos a sumergirnos en el mundo de las ecuaciones diferenciales del segundo orden y yo sé que lo primero que me van a preguntar es que es una ecuación diferencial de segundo orden pues son como ya habíamos visto ecuaciones diferenciales pero en este caso vamos a tener inmiscuida a la segunda derivada en este vídeo vamos a ver las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y esto le va a servir mucho a las personas que estudian física clásica vamos a ver para empezar el caso general supongamos que tenemos la función a x es decir una función que depende de x multiplicada por jerry prima ojo aquí está la segunda derivada más bx pero esta vez x prima más c x pero esta vez multiplicado por la función normal sin ninguna derivada y esto lo vamos a hacer igual a otra función igual de x nada de de equis ok este va a ser mi caso general de todo lo que voy a resolver a continuación pongan mucha atención tenemos una segunda derivada es decir este segundo orden la ecuación diferencial y por eso es que se llama una ecuación diferencial de segundo orden y quiero hacer notar dos cosas muy importantes en esta ecuación de segundo orden la primera es que es lineal es decir el término x b x cx y de x todos son términos que dependen solamente de x es decir no dependen de iu y la segunda cosa que quiero analizar les es que lleve prima prima es decir la segunda derivada de la primera derivada de y son con respecto a x de hecho quiero ver un caso esta vez más particular en donde hay x va a ser solamente una constante la constante que va a multiplicar a la segunda derivada de con respecto a x osea yeví prima más bx pero esta vez va a ser solamente una constante que va a multiplicar a la primera derivada más cede x pero ésta cede x solamente va a ser una constante le voy a poner se que multiplica la función voy a ser igual a 0 ojo estoy diciendo que x es cero porque estoy haciendo este caso pues en primer lugar es un caso particular y mucho más sencillo de analizar la segunda razón es que esta ecuación es una ecuación de tipo homogénea pues está igualada a cero pero voy a analizar todo con mucha calma lo primero que quiero que veamos es que tenemos una segunda derivada inmiscuida es decir es una ecuación diferencial de segundo orden y además la derivada de más alto orden que tenemos en la ecuación otra cosa que quiero que analicemos es que esta igualdad 0 es decir es una ecuación del tipo homogéneo y esto ya lo habíamos visto cuando analizamos ecuaciones diferenciales de primer orden aquí también aparecen y es muy importante que lo analicemos con mucho cuidado el caso de tipo homogéneo siempre voy a decir que es una ecuación homogénea je ne a exacto cuando esté igualada 0 bien mi tercer cosa que quiero analizar es que es una función lineal y es lineal porque tanto a como b como c son constantes en este caso es decir no dependen de x son un numerito como tal este tipo de ecuaciones son las que vamos a analizar tanto en este vídeo como en vídeos posteriores pero lo que sí les quiero decir es que estas ecuaciones tienen solución de un modo muy algebraico y se van a dar cuenta más adelante y van a ver que realmente la solución es muy hermosa pero para esto voy a tratar de cambiar a otro color esta vez y voy a enseñarles propiedades muy muy importantes y puedes empezar se va a ver mejor voy a decir que x es solución de esta ecuación diferencial imaginan que ya encontré una solución que quiere decir eso pues que por mi prima porque prima más c por g pues esto es igual a cero y esto pasa porque que de x es una solución les digo imagínense que ya encuentre una solución y esta solución solamente va a depender entonces de x ok si pasa esto mi pregunta va a ser si yo tenemos la constante c 1 y la multiplicó por qué de x también en solución para responder esto voy a cambiar al color café pero antes de que yo quiero que analicemos una cosa muy importante si yo tengo c 1 x gdx y lo meto más bien lo derivó dos veces entonces voy a tener c 1 x heavy prima de x porque pues la derivada cumple esa propiedad no es decir voy a tener a por c 1 porque mi prima + b x c 1 porque prima más c por unos ojos 6 segundos son constantes distintas por segundo porque y yo quiero ver qué pasa con con ésta con esta expresión que yo tengo aquí para eso pues puedo factorizar el c1 y constante 1 y voy a tener pues c 1 que multiplica aa porque mi prima más b porque prima más c por g pero ya vieron que encontré como sabíamos que g es una solución entonces a porque mi prima más b porque prima más por g esto por hipótesis ya sabemos que es igual a 0 y si se dan cuenta se uno por cero pues es igual a cero por lo que acaba de demostrar ni más ni menos que cuando yo tengo una constante multiplicada por mi solución y lo meto de ecuación diferencial del segundo orden pues esto mi constante por mi solución es decir sea uno por gd x también es solución ok y esto para que lo voy a ocupar ahorita van a ver quieras demostrar antes una segunda propiedad esta segunda propiedad también va a ser muy importante para que nosotros encontremos la solución general demi ecuación homogénea ok entonces tomemos a hdx como otra solución aparte de gx que también cumpla la ecuación homogénea bien qué va a pasar ahora con gdx + hdx lo que quiero saber es si la suma de mis soluciones también es solución de una ecuación diferencial bueno para probar esto quiero recordar que la derivada de las sumas de otras funciones pues es la suma de las derivadas de las funciones utilizando esto que les acabamos de decir y sustituyendo en ecuación me va a quedar a que va a multiplicar a la segunda derivada de g + h o sea que mi prima más a chevy prima y de manera análoga pues me va a quedar p que va a multiplicar a la primera derivada de gemma sachs o sea que prima más h prima más c que va a multiplicar pues a mis funciones sin ninguna derivada o sea que más h y bueno yo no sé qué pasa con esto pero lo que sí puede hacer es distribuirla multiplicando aa porque mi prima ya a por hb prima también lo mismo para la vez p porque prima más p por h prima muy bien y también para la se me va a quedarse porque más ser por h bueno estoy distribuyendo todo esto porque ahora voy a juntar términos semejantes miren voy agarra todo lo que tenga que ver con que me va a quedar a por heavy prima más ve porque prima más c por g y a todo esto pues le voy a sumar a lo que me resta con la h o se me va a quedar a por aquí mi prima más b por h prima + h ok pero bien vamos a observar todo lo que tenemos aquí yo se queje de x por hipótesis es la solución y hdx polvo tesistán viene la solución entonces todo esto que está aquí cumple la ecuación diferencia en el segundo orden homogénea es decir todo esto es cero y como hd también de la solución pues también todo esto cero y si yo sumo 0 +0 pues también es cero es decir acabo de probar que exige y h son ambas soluciones entonces la suma de ellas también es solución de una ecuación diferencial y de hecho lo puedo ver de una manera mucho más general por qué pues porque yo ya probé la propiedad 1 y la propiedad está 2 es decir yo puedo decir que sí tengo una constante le voy a escribir acá si tengo una constante de uno que multiplica gx y yo tengo otra constante c2 que multiplica hdx pues esto también es solución de mi ecuación diferencial la homogénea que padre está esto no aunque también es importante hacer notar que c1 y c2 no tienen por qué no ser cero puede ser que ese 1 o c2 pues sean 0 en fin estas propiedades que vamos a probar nos van a servir para encontrar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden homogéneo pero eso ya lo veremos en vídeos posteriores ya verán que esto es mucho más fácil de lo que pensamos de hecho este león no es como lo pintan pero eso ya lo veremos en nuestro siguiente vídeo