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Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y homogéneas 2

Transcripción del video

en el video anterior introducimos la idea de que era una ecuación diferencial lineal de segundo orden y de hecho estuvimos trabajando con las ecuaciones lineales segundo orden pero del tipo mujeres también probamos sus propiedades muy importantes la primera era que una constante x una solución también la solución y que la suma de dos soluciones también era una solución en la población quiero ver un caso particular y encontrar su solución general me ecuación particular va a ser esta vez de mi prima más 5 de prima massey y esto lo ve igual a hacer del pse cuenta que lo que estoy buscando es una función que cumpla esta ecuación es decir una función que al derivar las dos veces y sumarla con cinco veces su primera derivada y sumarla con seis veces ella misma nos tiene que dar cero y den cuenta que esta es una situación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y además que es homogénea pero pese a ello no es tan fácil encontrar una solución por ejemplo si ponemos no se llegó a la x cuadrada si podemos llegar a la escuadra pues su primera derivada soseki su segunda derivada en feriados y si las sumamos en realidad no nos va a hacer o si se dan cuenta no es tan fácil encontrar una solución a este problema sin embargo adivinen qué función para llegar a la fiesta de este vídeo que función esencialmente muy parecida a su primera derivada y a su segunda derivada y a cualquiera de sus derivadas si se acuerdan bien y hacer un poco de memoria y además han visto los videos que realizado se van a dar cuenta que esa función es una de las funciones más hermosas en matemáticas la función y a la x pero quiero que vean que no forzosamente es tal cual era la x si sustituimos sea la x en esta ecuación pues claramente no me a 0 la segunda derivada de a la empresa sea la x + 5 veces su primera nevada que sea la xv pese al x es 10 pero qué tal si ponemos en lugar de ea la equis o ye igual a e a la rx donde rr va a ser una constante y yo sé que ustedes se van a preguntar por qué escogí iguala a la rx pero lo que voy a hacer es sustituir en esta cuestión y buscando rr que cumpla esta ecuación diferencial de segundo orden es decir voy a ajustar esa ere para que realmente me cumpla esto primero voy a sacar la primera derivada de llegó a la gala rx que por la regla de la cadena es r por e a la rx esto lo hago para poder sustituir bien para saquemos la segunda derivada de mi prima va a ser la derivada de héroe al aero x pero como r es una constante entonces bajar me va a quedar rr cuadrada a la rx bien y esto para qué me voy a sustituir con un nuevo color y vamos a ver qué es lo que me queda sustituyendo ya mi prima puede ser re cuadrada a la rx más cinco veces prima pero ya primas lo que está aquí entonces me queda 5r a la rx más seis veces la función original es decir seis veces a la rx y esto tiene que ser igual hacer y lo primero que veo es que a la mx aparecen cada uno de mis manos entonces yo lo puedo sacar como factor común además recuerdan que tenemos que resolver esta ecuación para una era especial bien pues entonces saquemos a la r es como factor común que me va a multiplicar a es recordada más sigue erre +6 y pues todo esto tiene que ser igual a cero hasta aquí hemos llegado a la ya que toda esta expresión es decir ea la rx que multiplica a r cuadrada más 5r +6 tiene que ser igual a cero todo esto de aquí pero aquí en una de las propiedades las bonitas la exponencial cuando la exponencial se hace es cero pues las respuestas nunca y a la rx nunca 60 por lo tanto no va a quedar de otra más que era cuadrada +5 herrema 6 pues tenga que ser igual a cero a eso me refería cuando les decía que teníamos que acostarla en y lo voy a escribir aquí abajo r cuadrada más 5r +6 esto es igual a cero a esta ecuación rr cuadrada +5 rr +6 se le conoce como la ecuación característica asociada a mi pasión diferencial de segundo orden y es que resolver el problema que teníamos originalmente ecuaciones diferenciales se redujo a sacar las raíces de una actuación de segundo grado y de hecho esta ecuación segundo grado se puede actualizar en rr +2 pues que multiplica a r +3 y esto tiene que ser igual a cero aquí ya podemos encontrar las raíces muy sencillo porque pues esta parte tiene que ser cero en más 200 mes se le queme el primer raíz es igual a menos dos y por otra parte era más 3 es igual a cero pues si eres vale menos tres y acabará en contra ya por fin mis dos raíces tales que es la sustituye a mi función original ya tengo la solución de inversión diferencial de segundo grado es decir que si le vale al menos dos equis de uno le voy a poner y por otra parte utilizando mi otra raíz de mi póliza no característico me queda que al menos tres usando la otra raíz al menos tres equis también en solución y ustedes me van a preguntar pues ésta es la solución más general el problema esté ya con esto acabamos y pues la respuesta es que no en el bid ha pasado si se acuerdan habíamos visto que es multiplicar vamos a nuestra solución por una constante también de la solución entonces vamos a multiplicar y uno por una constante según ok entonces yo sé que lleva uno por una constante a uno que no forzosamente su no hay puede ser cualquier constante es también solución entonces esto me da una familia las soluciones que tienen que ver con que uno y de manera análoga para hallados y lo multiplicó por una constante una constante dos apuestan viene solución esto me da una forma más general y de hecho me va a dar pie a la solución general de esta ecuación diferencial otra de las cosas que hemos probado en el video pasado es que la suma de dos soluciones también de la solución y eso lo voy a ocupar para escribir hdx es decir una función que esta vez solamente va a depender de x como la solución general iba a hacerse uno por e al menos dos equis +0 2 por al menos tres equis y es la solución general de la ecuación diferencial que yo quería resolver seguramente tú me vas a decir hoy esa es que pues yo no te creo que sea la solución general haber pruébalo pero la demostración es un poco complicada y algo engorrosa entonces por ahora lo tomaremos como dogma de fe y es más lo voy a subrayar de verde para que se vea más como dogma de fe bien otra cosa que yo creo que debe estar preguntando y deben emerger esas dudas de tu cabeza es oye en las ecuaciones diferenciales de primer orden pues yo tenía una constante y tenía una condición inicial y con eso nos odiamos pero en esta ocasión yo tengo dos constantes será necesario que yo necesite dos condiciones iniciales y la respuesta es sí más bien en tu intuición voy a necesitar dos condiciones iniciales para poder determinar los constantes de hecho una de éstas pueden ser ye igual a una condición inicial y la primera derivada del día igual a otra condición inicial pero de esto me voy a encargar en el siguiente vídeo así que nos vemos pronto