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Contenido principal
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Transcripción del video

llegó el momento ahora sí estamos preparados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes pero que sean no homogéneas a qué me refiero con eso es bueno tener actuaciones de la forma apoye mi prima más ve porque prima más sé por qué por la función original y esto igualdad oa una función de x y es que yo quiero contarles algo muy importante lo importante es resolver la ecuación homogénea encontrar su solución general y encontrar una solución particular de esta ecuación y si nosotros sumamos la ecuación general y la ecuación homogénea secreta también tienen mucho pero vamos a construirlo poco a poco voy a suponer que h es la solución general de actuación homogénea solución general de mi actuación homogénea qué quiere decir eso pues de una ecuación de segundo orden que estaba igualada a cero si hay en la solución de esta ecuación homogénea entonces que se cumple pues que apura chevy prima más ve por aquí prima ya éstos les sumamos cbc sachs en eso tenía que ser igual a cero recuerdan que cuando yo decía homogéneo estoy hablando de una cuestión de igualdad a cero y se acuerdan nosotros lo que hacíamos en los videos anteriores era encontrar la ecuación característica y de esa ecuación característica ver sus raíces y ver si eran reales si eran iguales sean distintas o inclusive serán complejas pero sí lo vimos los videos anteriores así que no me voy a detener analizar todo eso lo que sí les quiero decir es que estoy suponiendo que h es la solución general m 41 mujeres y ahora imagínense que yo me encuentro a otra solución una solución jota jota para no confundirla con g j nace una solución particular de eduación no homogénea es decir cumple que a por j mi prima más vez junta prima más se por jota es igual a g dx dicho de otra manera j es una función de x que cumple que es una solución particular de inversión diferencial de segundo orden no homogénea es una solución particular pero yo lo que dices quiero enseñar es que jota y h sumadas es la solución general de negocio diferencial no homogénea y realmente lo que quiero hacer ahorita es que tengamos un poco de intuición antes de hacer los cálculos y veamos que realmente si se va a cumplir esta ecuación diferencial igualada gdx puesto que si yo meto h mascota pues por una parte a por h mi prima más b por h primase por hp del acero y ello agregó aj me va a dar gdx y entonces esto me da igual la gtx ahora vamos a hacer las cuentas médicamente que me va a quedar a paul h mascota y prima pues es aquí prima más hot a mi prima están de acuerdo la segunda derivada de una suma de funciones pues es la suma de las segundas derivadas pasa lo mismo para la primera derivada me va a quedar de que multiplica a su prima mascota prima más se multiplica h más corta bien ahora lo que voy a hacer es escribir tanto la a como la b como la cem y esto me va a dar resultado pues a por hb prima más b por h prima más por h y a esto le voy a sumar ojo también estoy de una vez esté metiendo en los términos semejantes aportar mi prima más vez por j prima pues más ser por j y como siempre recurro a mi obsesión con los colores ya tengo de amarillo todo lo que tiene que ver con h todo esto pues como sabíamos que dan solución de la homogénea pues es igual a cero entonces realmente esto 0 y por otra parte como nosotros sabíamos que jota en una solución particular de la homogénea a por jb prima más bien por jota más se por j estamos haciendo que esto es gdx entonces todo está aquí va a ser gdx bien quedé x pues es igual a gdx entonces pues ya cabe a cabo yo de señales que la suma de h mascota cumplen ecuación diferencial de segundo orden y lo que yo quiero decirles es que si yo por una nueva solución llamada acá y ésta es ni más ni menos que hdx más jd x lo que hemos dicho pero ya con nuevo nombre kdx es mi solución general de ni ecuación diferencia de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes pero ustedes me van a decir qué es lo que está pasando aquí estoy un poco confundido lo entiendo nada no se preocupen justo ahorita lo que quiero hacer es un ejemplo que tenga que ver con esta misma ecuación no homogénea pero que tenga que ver con unos reales así que volvemos todos y vamos a ver un ejemplo nuevo bien ustedes se van a de preguntar cómo es posible que tú puedas sacar una solución particular en educación diferencial no homogénea como 4 j pues en este ejercicio creo que les va a quedar más claro mi siguiente ejercicio hacer ya mi prima y esto lo voy a rezar tres veces de prima y yo creo que le voy a quitar otra vez cuatro que y esto lo voy a hacer o a una función que tiene que ver con x3 a las dos ex pero antes de filosofar con la jota lo primero que vamos a hacer es lo que ya sabemos vamos a resolver la ecuación homogénea ni ecuación homogénea en este caso pues es iepi prima menos 310 prima menos cuatro e iu como es homogénea está igualado a cero y de aquí sacábamos su ecuación característica que es cuadrada menos tres r - cuatro y eso se puede actualizar estos efe - cuatro que multiplica además uno y esto es igual a cero de lo que mi primer raíces cuatro o en segunda a raíz es menos uno no ha tenido raíces cuatro y menos uno y ya con las raíces podemos encontrar la solución general de educación diferencial homogénea le voy a poner y el subíndice que en lugar de h es mucho más formal y entonces quién le va a quedar pues es mi primer constante por a la 4 x más mi segunda constante por alá - x porque en segunda es menos uno estudiaremos analizado en todos los videos anteriores y aquí es donde viene el conocimiento 9 cómo vamos a encontrar la jota o la producción particular la invasión no homogénea pues bien si no se han dado cuenta este video se llama coeficientes determinados 1 entonces el procedimiento que voy a utilizar se llama así pero tened en cuenta que por inclusión y tal vez con un poco de coniglio matemático podemos ver que si tenemos una segunda derivada más una primera derivada más una función normal y que los de tres veces a la 12 x pues me suena que esto tiene que ver con funciones exponenciales no conocemos lo derivamos dos veces son cerros lo llevamos dos veces con su primera derivada y nunca nos da un ala 12 x ni polinomio tampoco un árbol y ccoo tampoco entonces creo que mi solución particular tiene que ver con la exponencial bien pues la solución particular le voy a poner el nombre de jbp en lugar de jota pues para hacerla más formal y dense cuenta que esta solución particular tiene que ver con ea lados xd yo tiene que ver con la constante que multiplica a las 12 x porque yo como una constante pues se va a eliminar a las 2 x tarde o temprano recuerden que ea 2 x sede su derivada tiene que ver con ella misma entonces de una mesa gaula me va a quedar dos veces a por ea la 2 x donde hay una constante y su segunda derivada pues es cuatro veces a por a las 2 x y xi ya tengo a las 12 15 en todos lados ahorita no voy a poder cancelar pero antes que nada voy a tratar de sustituir a ver si encuentra una solución particular es así la segunda derivada que es 4 a por ea la 12 x menos tres veces la primera derivada o sea menos seis a por a las 2 x 3 por 12-6 menos cuatro veces la función original o sea menos cuatro a por el ala 12 x y todo esto tiene que ser igual a tres por alá 2x lo primero que quiero que vean qué es lo que les contaba el 2 x factor común de todo entonces no podemos cancelar una vez bien y el c4 a y menos cuatro abandonos también no me sirve ahorita entonces ya me queda una ecuación bien sencilla de resolver -6 es igual a tres y si yo resuelvo para a qué era lo que estaba buscando me queda que avale un medio porque tres en tres es un medio bien ya cuando sustituyó a aquí y obtener solución particular - un medio por dos equis y ya con esta solución particular y mi solución general de la parte mojen ya entonces ya podemos encontrar una solución general de migración diferencial no homogénea y esta es la voy a denotar cónyuge finge envenenado esta es la suma de la general de la homogénea es decir se uno por a la 4 x + c2 a la - x ésta era la solución de la homogénea más la particular o sea menos un medio de alá 2x y es así cómo por fin ya encontramos la solución general de lan homogénea ya se cuenta que yo propuse como y solución particular algo que tenía que ver con ella la 2 x porque tenía guardado a ella la 2 x de hecho los siguientes vídeos vamos a ver funciones que no tengan que ver con exponenciales polinómicas trigonométricas pero nos vemos en el siguiente vídeo