El circuncentro de un triángulo

en este vídeo vamos a hacer varias cosas interesantes vamos a empezar trazando un segmento ave entonces ahí tenemos el segmento y déjame llamarle a sus extremos y ve y ve muy bien y lo que vamos a hacer ahora es trazar la media triz de este segmento es decir una recta que sea perpendicular y que pase por su punto medio entonces más o menos va a ser algo como de este estilo como por ahí vale entonces esto esto de aquí es un ángulo recto lo de acá también es un ángulo recto y esta distancia es igual a esta distancia bueno a esta media tris vamos a llamarle l y lo primero que vamos a probar es que cualquier punto sobre l equidista de a y debe es decir que la distancia aa es la misma que la distancia a b bueno para mostrar esto vamos a tomarnos un punto c sobre l el que nosotros querramos deja digamos digamos este punto de acá vale entonces ese va a ser el punto ce y como queremos ver que sea es igual acb a lo mejor vale la pena trazar esos segmentos déjame trazar sea y voy a tratar también se ve bueno al trazar estos segmentos podemos ver que aquí se forman dos triángulos del ángulo a este punto medio que vamos a llamar m es como ponerle así y c y el triángulo be ms y yo digo que estos dos triángulos son congruentes observa a m es igual a b m además aquí hay un ángulo recto y aquí también y finalmente c m es igual a sí mismo este lado es igual a sí mismo entonces por el criterio lado ángulo ángulo lado tenemos que estos dos triángulos son congruentes entonces déjame escribirlo por acá el triángulo amc amc es congruente al triángulo el triángulo b mc esto es por el criterio lado ángulo lado y entonces esto está bien padre porque si son triángulos congruentes entonces cada una de sus partes correspondientes también es congruente y así concluimos que hace es congruente abc estos son los lados correspondientes vale entonces podemos concluir podemos concluir qué hace hace es igual a b c y en realidad no importa donde haya estado de verdad pudo haber estado por acá por acá podríamos tener un set al vez aquí o aquí o aquí y el argumento hubiera sido exactamente el mismo bueno ahora vamos a intentar probar esto al revés es decir que si tenemos un punto que equidista de idea entonces ese punto está sobre la media triz del segmento ba entonces para eso déjame volver a dibujar el segmento ave ahí tenemos un segmento por aquí tenemos a por acá tenemos ve y ahora lo que sabemos es que hay un punto ce no sabemos donde digamos por ahí que equidistante a idv es decir que si trazamos estos dos segmentos tienen la misma longitud sí bueno ya quedó un poquito chueco se hace entonces sabemos que éste es igual a este de acá y lo que queremos mostrar es que este punto ce está sobre la media triz bueno pues como la media tris es una línea perpendicular lo que vamos a hacer es trazar la altura desde ese entonces déjame tomar y morado y lo que vamos a hacer es trazar trazar una línea desde ce que sea perpendicular es decir vamos a bajar la altura bueno eso de bajar es más o menos como medio relativo porque aquí se está abajo entonces realmente estamos subiendo la altura pero bueno la expresión viene de que de que si nuestro segmento ave es así entonces y ahí bueno ya tenemos el punto ce entonces pues sí si baja verdad si baja una altura pero bueno estas son cosas cosas del lenguaje regresemos aquí a las matemáticas entonces bajamos una altura de c a ave y al punto donde corta esa altura le vamos a llamar m entonces el plan para mostrar que se está en la media triz es ver que realmente c m la recta por c m es la media triz o sea que ccm es un segmento de la media triz y para mostrar eso tendríamos que ver que en efecto pasa por el punto medio vaya ya es una recta perpendicular porque así la construimos entonces para hacer media tris para hacer media tris para que esta recta l sea media triz ya nada más le falta que a m sea igual a m bueno pues una vez más tenemos dos ángulos o más bien dos triángulos que parecen ser congruentes el m y el bmc y en efecto son congruentes porque observa que son triángulos rectángulos si son triángulos aquí con ángulo recto ángulo recto comparten la hipotenusa ac es igual abc y comparten este lado de acá el lado mc entonces estos dos triángulos en efecto son congruentes lo voy a poner acá por el criterio por el criterio recto recto lado hipotenusa vale entonces por el criterio recto la hipotenusa tenemos que el triángulo amc amc es congruente al triángulo bmc el triángulo b mc y entonces todas sus partes correspondientes miden lo mismo y así tenemos que bm es igual a n entonces esto de aquí nos permite concluir que bm es igual a m y eso es justo lo que necesitábamos para que ese m fuera una media triz y bueno no importa dónde esté el punto c este argumento se puede repetir vale bueno entonces ya tenemos dos cosas interesantes acerca de puntos equidistantes a los extremos de un segmento y la media triz del segmento vale lo que vamos a hacer ahora es utilizar ese con esos conocimientos que acabamos de descubrir en un triángulo entonces déjame pintar por aquí un triángulo abc de color de color blanco vale entonces aquí tenemos un triángulo abc más o menos algo de este estilo y lo que vamos a hacer es dibujar cada una de las media tristes entonces vamos a pintar una media tres por acá déjame pintar la más o menos así y ching creo que este caso se acerca mucho a un caso especial que queremos ver después porque este ángulo es casi un ángulo recto entonces sabes qué mejor déjame borrar este triángulo y mejor en el en el siguiente vídeo vamos a platicar de de el caso especial del caso especial de los triángulos rectángulos entonces mejor voy a hacer un triángulo un poco un poco menos especial un triángulo pues más o menos así y así van entonces ya todos los ángulos son menores a 90 y ahora si este triángulo lo voy a llamar el triángulo abc aquí tenemos a aquí tenemos de aquí tenemos c y voy a trazar cada una de las media tristes entonces primero voy a trazar la de ave déjame trazar la de ave entonces tiene que pasar por el punto medio voy a marcar el punto medio como por allí una y vale este de aquí es igual a éste de acá y tiene que ser una recta perpendicular a ave entonces voy a agarrar este color amarillo o mejor color rosa que es el de las media tristes y voy a hacer una recta perpendicular bueno voy a hacerlo un poco más larga vale algo así entonces ahí tenemos una una media tris la de ave y ahora vamos a construir otra media triz la de lado a hacer otra vez esa media triz debe de pasar por el punto medio digamos más o menos por ahí y tiene que ser perpendicular a hace entonces voy a tomar otra vez el color de media tristes que es como este morado y vamos a hacer algo de este estilo entonces una vez más este ángulo de aquí es recto y este este segmento de aquí mide lo mismo que este segmento de acá bueno observa que estas dos media tristes se intersectan aquí en un punto y a este punto en el cual se intersectan le vamos a poner un nombre vamos a llamarle el punto o entonces yo digo que este punto o cumple varias propiedades interesantes este punto para empezar está en la media triz de ave entonces cumple que equidista de ahí debe eso es justo lo que probamos de este lado entonces tenemos que la distancia de a a a- es la misma que la distancia de b voy a apuntar esto por acá tenemos que a y es igual a b pero además este punto o lo construimos sobre la media triz de hace entonces también es equidistante de a de c de esta forma tenemos que a a es igual a c pero entonces está padre porque si hago es igual a veo ya o es igual a cero también tenemos que veo es igual a c pero ve eso esto lo que nos dice es que o es un punto que aquí dista de ve y dice y entonces ahora nos vamos a este otro resultado que probamos y con éste podemos concluir que o es un punto sobre la media triz de bc y eso está padrísimo verdad déjame déjame trazar la media tris voy a trazar la más o menos así a ver si queda algo de ese estilo sabemos que aquí es perpendicular perpendicular y que éste es igual a éste éste es igual a éste entonces está súper padre porque estos conocimientos que descubrimos aplicándolos a un triángulo nos permiten encontrar un punto que exista de los tres vértices de un triángulo un único punto y no sólo eso también nos permite concluir que ese punto está sobre las tres media tristes del triángulo o bien podemos pensarlo al revés acabamos de demostrar que si tenemos las tres media tristes del triángulo entonces éstas se intersectan en un y junto al cual llamamos a este punto equidistante los tres vértices bueno pues resulta que a este punto le llamamos el círculo centro del triángulo vale le voy a poner por acá seguir con un centro sin un centro entonces este es el circo un centro del triángulo y se llama decir un centro porque pasa otra cosa interesante si tomamos una circunferencia que tiene centro en o y tiene radio esta distancia que es igual en los tres casos a o b y c o si tomamos un círculo con centro aquí entonces es esta circunferencia va a pasar por a o por b y por se va bueno pues a este a esta distancia a esta distancia que es igual a esta distancia hago que es igual a veo que es igual a cero le llamamos el círculo radio el círculo radio y a este círculo que pasa por estos tres vértices le vamos a llamar el circo un círculo o bien circunferencia circunscrita vale entonces lo puedes encontrar con diferentes nombres en diferentes fuentes entonces ahí tenemos ahí tenemos más o menos verdad no soy muy bueno dibujando círculos a mano a mano alzada pero más o menos tenemos zinc tenemos el seguir con un círculo círculo círculo quién sabe que haya sido ese menú que salió pero bueno va entonces tenemos este círculo se llama círculo porque es una circunferencia circunscrita a abc esto es de circunscrita es que pasa por los tres vértices entonces pues ya tenemos muchos círculos verdad esta circunstancia que es una circunferencia circunscrita consiste justamente en tomarse el circo un centro y tomar todos los puntos que están a distancia el círculo radio vale bueno entonces le voy a dejar hasta aquí y nos vemos en el próximo vídeo