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Contenido principal
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CCSS.Math:
HSN.RN.B.3

Transcripción del video

esta vez nos dicen sean a de números racionales y saben distinto de cero y esto es necesario porque vamos a dividir entre 20 por lo tanto lo pedimos distinto de cero entonces es am / b en un número racional o irracional bueno pues pensemos un poco esto ambos son números racionales tanto a como ven eso significan que al ser racional lo podemos escribir de la siguiente manera podemos ver a am como m / n como la razón de los números enteros y pasa lo mismo para ben b lo podemos ver como p / q donde p y q son números enteros como la proporción de dos números enteros y es más déjeme escribirlo donde en p y q todos son enteros y ojo todo esto viene de la definición de lo que es un número racional nos dicen que estos dos números son racionales por lo tanto los puedo expresar como este tipo de razones ahora bien aquí será igual a / b déjame ponerlo aquí am / b bueno pues eso es lo mismo que m sobre n m sobre n esto a su vez dividido entre b pero bp entre com pe / q y bueno si te das cuenta aquí tengo la división de dos racionales entonces esto es exactamente lo mismo que m entre n que multiplica al recíproco de este aqu / p dividir sobre una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco y esto va a ser lo mismo que m por q dividido entre n y ahora observa m porque será un número entero porque este es el producto de dos números enteros y n por p también será un número entero porque es el producto de dos números enteros entonces acabo de demostrar que a sobre b puede ser expresado como la razón de dos números enteros lo que quiere decir que entonces te acabo de mostrar que entrevé seguro será un número racional seguro será un número racional y está de lujo así que qué te parece si hacemos otro ejercicio más y para eso voy a quitar esta pantalla y voy a traer por acá el siguiente problema y dice sean ahí ven números irracionales en esta ocasión entonces es a entrever un número racional o irracional y como siempre pausa el vídeo y trata de resolverlo por tu cuenta ya lo mejor que hacer algunos ejemplos con números irracionales y ver si obtienes números racionales o irracionales bueno pues qué te parece si nos imaginamos un caso hipotético y vamos a resolverlo juntos vamos a imaginarnos un mundo donde no se ama atom el valor de dos veces la raíz de dos ok esto me parece bien y b&b tome el valor de bueno se me ocurre la raíz de 2 la raíz de 2 ok entonces cuánto es am / b bueno pues esto sería lo mismo que dos veces la raíz de 2 2 veces la raíz de 2 sobre la raíz de 2 pero observa esto sería lo mismo que 2 porque la raíz de 2 entre la raíz de 2 se pueden cancelar y entonces me quedaría solamente con dos y dos es un número bastante racional porque lo puedo expresar como la razón de dos enteros cuando yo quiera por ejemplo puedo decir que el 2 es lo mismo que 2 sobre 1 o 4 sobre 2 o qué sé yo de hecho hay un número infinito de maneras en que puedo expresar al 2 como una razón de dos enteros entonces en este caso de obtener un número nacional de dividir a entrever cuando ibm eran dos números irracionales en esta ocasión obtuvimos un racional pero espera qué te parece si ahora ponemos este siguiente caso imagínate que am valgan la raíz de 2 y que te valga la raíz de 7 que voy a obtener de dividir a entre b entre b bueno pues voy a obtener la raíz de 2 entre la raíz de 7 estás de acuerdo lo cual sigue siendo un número irracional ojo no lo estoy probando pero a lo que me refiero es que puedes pensar esto de la siguiente manera esto es lo mismo que la raíz de dos séptimos y si te das cuenta adentro no tenemos algo que sea un cuadrado perfecto entonces vamos a terminar teniendo un número de racional y bueno acá vamos dar un ejemplo en donde empezamos con dos números irracionales y los obtuvimos un número irracional en este caso tuvimos un ejemplo donde llegamos a un número racional y también tuvimos un ejemplo en donde llegamos a un número irracional entonces puedo decir que es ambos puede ser tanto racional como irracional muy bien me están gustando mucho así que vamos a hacer otro más voy a quitar este y vamos a poner aquí el siguiente y dice sea a un número racional distinto de cero entonces es a por 8 un número racional o irracional bien pues la clave aquí es que raíz de 8 está es un número irracional y seguro te preguntas por qué raíz de 8 es un número irracional porque si 8 tiene un cuadrado perfecto adentro de él pero ojo no es un cuadrado perfecto en sí mismo la raíz cuadrada de 8 déjame ponerle aquí la raíz cuadrada de 8 es exactamente lo mismo que la raíz 4 de 4 por 2 de 4 por 2 que es lo mismo que la raíz cuadrada de 4 por la raíz cuadrada de 2 que por cierto es lo mismo que dos veces la raíz cuadrada de 2 y esto de alguna manera nos lleva al punto clave para resolver este problema porque si multiplico un número racional por un número irracional entonces obtengo un número de racional eso es muy importante porque si vemos la raíz de 8 está de aquí es un número irracional es esta de aquí y al multiplicar la por amd que es un número racional como me dice el problema entonces seguro va a ser un número irracional seguro la respuesta es un número irracional estoy multiplicando un racional por un irracional y me dan irracional muy bien así que vamos a hacer otro más este estuvo muy fácil y vamos a trabajar el último vamos a hacer el siguiente dice a un número irracional eso es muy importante esta vez tenemos un número irracional entonces es menos 24 más un número racional o irracional y no voy a dar una prueba formal de esto pero lo que sí quiero darte es una idea intuitiva de lo que está pasando y para eso es bueno tomar algunos números así que te invito a que pausa el vídeo e intentes resolverlo por tu cuenta bueno imaginemos algunos valores para a mí se me ocurre que a tomé el valor de no se den menos pi muy bien si a vale menos pin que por cierto es aproximadamente menos 3.14 15-9 y todos los demás es decir me refiero a que así seguirá por siempre y nunca se repetirá luego tendríamos menos 24 más a menos 24 más a lo cual es exactamente lo mismo que menos 24 - pin pin lo cual es aproximadamente 27 puntos 14 15 9 y todos los demás porque la expansión decimal es decir todo lo que está después del punto decimal será exactamente la misma que la expansión decimal de pi y bueno al menos esto se ve para este ejemplo que nuestra respuesta será un número irracional ahora qué te parece si le damos otro valor a am se me ocurre pensar que a tomé el valor de la raíz de dos buenos ya toma el valor de la raíz de 2 tendría menos 24 más la raíz de 2 y una vez más no estoy haciendo la demostración aquí pero parece que de una manera intuitiva esto va a tener una expansión decimal infinita la cual seguirá por siempre y por siempre y no se repetirá entonces este 24 sólo va a cambiar lo que está a la izquierda del decimal pero realmente no va a cambiar no espera este es positivo entonces va a cambiar también lo que está a la derecha del decimal ya que este es un número negativo pero de cualquier manera nuestro resultado seguirá por siempre y nunca se repetirá de hecho si fuera en este caso menos la raíz de dos menos la raíz de dos si fuera menos la raíz de dos bueno en este caso a la derecha del decimal tendrás lo mismo que tenías con la raíz cuadrada de 2 y en la izquierda del decimal simplemente tendrás un valor distinto de sumar estos dos y ahora tendrás menos 25 puntos lo que sea lo que sea lo que sea entonces cuando sumas un número racional a un número irracional y lo hemos probado en otros vídeos un racional más un irracional siempre te dará irracional y si quieres la demostración tenemos otros vídeos que hablan de lo mismo en este tutorial