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Contenido principal
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CCSS.Math:
HSN.RN.B.3

Transcripción del video

esta vez nos dicen sean a y b números racionales y sea ven distinto de cero y esto es necesario porque vamos a dividir entre b por lo tanto lo pedimos distinto del 0 entonces es a entrevén un número racional o irracional bueno pues pensemos un poco esto ambos son números racionales tanto a cómo ven eso significa que a al ser racional lo podemos escribir de la siguiente manera podemos ver a cómo m / n como la razón de dos números enteros y pasa lo mismo para ver bem lo podemos ver como pe / cu donde p y q son números enteros como la proporción de dos números enteros y es más déjeme escribirlo donde m n p y q todos son enteros y ojo todo esto viene de la definición de lo que es un número racional nos dicen que estos dos números son racionales por lo tanto dos puedo expresar cómo este tipo de razones ahora bien aquí será igual a entrevé déjame ponerlo aquí / b bueno pues eso es lo mismo que m sobre n m sobre en esto su vez / / b pero ve spee entre cum pm / cv y bueno si te das cuenta aquí tengo la división de dos racionales entonces esto es exactamente lo mismo que gm entre en que multiplica al recíproco de éste a cu / p dividir sobre una fracción es lo mismo que multiplica por su recíproco y esto va a ser lo mismo que m por cv / / n por pp y ahora observa m por q será un número entero porque este es el producto de dos números enteros y n por p también será número entero porque es el producto de dos números enteros entonces a cabo de demostrar que a sobre b puede ser expresado como la razón de dos números enteros lo que quiere decir que entonces se acabó demostrar que a entre ve seguro será un número racional y seguro será un número racional y está de lujo así que qué te parece si hacemos otro ejercicio más y para eso voy a quitar esta pantalla y voy a traer para acá el siguiente problema y dice sean a y b números irracionales en esta ocasión entonces a entrevé en un número racional o irracional y como siempre pausa el video y tratar de resolverlo por tu cuenta y a lo mejor que russell algunos ejemplos con números irracionales dividirlos y ver si obtienes números racionales o irracionales bueno pues qué te parece si nos imaginamos un caso hipotético y vamos a resolverlo juntos vamos a imaginarnos un mundo donde no se ha a tomás valor de 2 veces la raíz de dos ok esto me parece bien y bem b tome el valor de bueno se me ocurre la raíz de dos la raíz de dos ok entonces cuánto es a am / b bueno pues esto sería lo mismo que dos veces la raíz de 2 2 veces la raíz de dos sobre la raíz de dos pero observa esto sería lo mismo que dos porque la raíz de dos entre la raíz de dos se pueden cancelar y entonces me quedaría solamente con dos y dos es un número bastante racional porque lo puede expresar como la razón de 2 enteros cuando yo quiera por ejemplo puede decir que el 2 es lo mismo que dos sobre uno o cuatro sobre dos o qué sé yo de hecho hay un número infinito de maneras en que puedo expresar al 2 como una razón de 12 enteros entonces en este caso fue capaz de obtener un número racional de dividir a entrever cuando a y b eran dos números irracionales en esta ocasión no obtuvimos un racional pero espera que te parece si ahora ponemos este siguiente caso imagínate que amd valga la raíz de dos y kemp valga la raíz de siete que voy a obtener de dimitir a entrevén entrevé bueno pues voy a obtener la raíz de dos entre la raíz de 7 estás de acuerdo a lo cual sigue siendo un número irracional ojo no lo estoy probando pero a lo que me refiero es que puedes pensar esto de la siguiente manera esto es lo mismo que la raíz de dos séptimos y si te das cuenta adentro no tenemos algo que sea un cuadrado perfecto entonces vamos a terminar teniendo un número irracional y bueno acá vamos dar un ejemplo en donde empezamos con dos números irracionales y al dividir los obtuvimos un número irracional en este caso tuvimos un ejemplo donde llegamos a un número racional y también tuvimos un ejemplo en donde llegamos a un número irracional entonces puedo decir que es ambos puede ser tanto regional como irracional muy bien me están gustando mucho así que vamos a ser otro más voy a quitar este y vamos a poner aquí el siguiente y dice sea a un número racional distinto de cero entonces a por ocho un número racional o irracional bien pues la clave aquí es que raíz de 8 ésta es un número irracional y seguro te preguntas por qué raíz de 8 es un número irracional porque si 8 tiene un cuadrado perfecto a dentro de él pero ojo no es un cuadrado perfecto en sí mismo la raíz cuadrada de 8 déjame ponerlo a kim la raíz cuadrada de 8 es exactamente lo mismo que la raíz cuadrada de 4 x 2 de 4 x 2 que es lo mismo que la raíz cuadrada de cuatro por larra la escuadra de dos que por cierto es lo mismo que dos veces la raíz cuadrada de dos y esto de alguna manera nos lleva al punto clave para resolver este problema porque si multiplicó un número racional por un número irracional entonces obtengo un número de racional eso es muy importante porque si vemos la raíz de 8 estar aquí es un número irracional es estar aquí y al multiplicarla por am que es un número racional como me dice el problema entonces seguro va a ser un número irracional seguro la respuesta es un número irracional multiplicando un racional por un irracional y me dan irracional muy bien así que vamos a hacer otro más éste estuvo muy fácil y vamos a trabajar el último vamos a hacer el siguiente dice sea a un número irracional eso es muy importante esta vez tenemos un número irracional entonces es menos 24 más a un número racional o irracional y no voy a dar una prueba formal de esto pero lo que sí quiero darte es una idea intuitiva de lo que está pasando y para eso es bueno tomar algunos números así que te invito a que pausa el video e intentes resolverlo por tu cuenta bueno imaginemos algunos valores para se me ocurre que upton el valor de no se ven menos pin muy bien si a vale menos pym que por cierto es aproximadamente menos 3.14 15-9 y todos los demás es decir me refiero a que así seguirá por siempre y nunca se repetirá luego tendríamos menos 24 más am - 24 más a lo cual es exactamente lo mismo que menos 24 - pin - pym los cuales aproximadamente 27.14 15-9 y todos los demás porque la expansión un decimal es decir todo lo que está después del punto decimal será exactamente la misma que la expansión decimal de pink y bueno al menos esto se ve para este ejemplo que nuestra respuesta será un número irracional ahora qué te parece si le damos otro valor a amd se me ocurre pensar que abdomen el valor de la raíz de dos buenos ya toma el valor de la raíz de dos tendría menos 24 más la raíz de dos y una vez más no estoy haciendo la demostración aquí pero parece que de una manera intuitiva esto va a tener una expansión decimal infinita la cual seguirá por siempre y por siempre y no se repetirán entonces este 24 sólo va a cambiar lo que está a la izquierda del decimal pero realmente no va a cambiar bueno no esperan este dispositivo entonces va a cambiar también lo que está a la derecha el decimal ya que éste es un número negativo pero de cualquier manera nuestro resultado seguirá por siempre y nunca se repetirá de hecho si fuera en este caso menos la raíz de 2 - la raíz de dos si afuera - la raíz de dos bueno en este caso a la derecha del decimal tendrás lo mismo que tenías con la raíz cuadrada de dos ya la izquierda el decimal simplemente tendrás un valor distinto de sumar estos dos y ahora tendrás menos 25 punto lo que sea lo que sea lo que sea entonces cuando sumas un número racional a un número irracional y lo hemos probado en otros vídeos un racional más un irracional siempre quedará irracional y si quieres la demostración tenemos otros vídeos que hablan de lo mismo en este tutorial