Construyendo ecuaciones a partir de proporciones para resolver problemas

Luis ha comido con su familia en un restaurante. El total de la cuenta por la familia fue 52 dólares y Luis quedó contento con el servicio por lo que va a dejar 25% de propina. Él desea saber la cantidad total... la cantidad total que debe dejar en la mesa. Elige la ecuación que puede usar Luis y determina el total de la cuenta incluyendo propina. Así que lo que no sabemos, lo que debemos calcular es la cantidad total que debe dejar en la mesa. Llamemos a esto "x". Hay varias maneras de hacer esto, consideremos primero la razón entre la cantidad total que él va a pagar y el total de la cuenta. La razón de lo que él va a pagar y lo que en realidad fue la cuenta. Y eso debe de ser exactamente igual a la razón entre los correspondientes porcentajes. Así es que si consideramos el total de la cuenta como el 100%, la cuenta es el 100%, pero él no quiere pagar tan solo el 100%, él quiere pagar el 100% de la cuenta, más 25% de propina... más 25% de propina. Y éste de aquí lo podemos reescribir como, "x" sobre 52 es igual a 100% más 25% es 125% y eso sobre 100%. Si vemos las opciones que nos dan, esta última es nuestra respuesta intercambiando los lados, 125% es a 100% como "x" es a 52. Entonces podemos elegir ésta y esto hace sentido, la razón de lo que él va a pagar incluyendo la propina, con respecto al 100% ó el porcentaje que el va a pagar incluyendo la propina, 125% con respecto al 100% es igual a la cantidad total que él paga con respecto al total de la cuenta. Veamos si alguna de estas otras opciones es válida. En ésta se establece que la razón del total de la cuenta con respecto al 100% es igual a la razón total que él va a pagar con respecto al 125%, ésta de aquí hace sentido. Voy a reescribirla por acá para que la veamos claramente. Nos están diciendo que la razón de los 52 dólares del total de la cuenta con respecto al 100% y queremos encontrar... déjame mejor poner esto en azul... así es que 52 corresponde al 100% y queremos ver si esta razón es la misma que la razón del total de lo que está pagando, con respecto al 125%. Así es que al incrementar ésta en 25%, también hay que incrementar esta cantidad en 25% para obtener la cantidad total que realmente se tiene que pagar. Así es que esta respuesta también es correcta. ¿Qué pasa con esta? ¿La razón de 100% a 125% es igual a la razón de "x" a 52? No, ésta de aquí no hace sentido, pues ésta es la razón del total de la cuenta con respecto al total de la cuenta más la propina y aquí tenemos la cuenta con propina y sin propina, si invertimos esto como 52 entre "x" sí se cumple la igualdad, pero así como está las razones no corresponden. Así es que ésta no la marcamos. Lo último que debemos hacer es calcular, cuánto debe dejar Luis, incluyendo la propina. Para eso vamos a despejar "x" de esta ecuación. Empezamos entonces multiplicando ambos lados por 52, del lado derecho los 52 se cancelan, así es que nos queda "x" es igual a 125% sobre 100% que es 1.25 y esto que multiplica a 52. ¿Y esto cuánto es? 1.25 por 52... veamos.. 13 por 4 = 52 por 1.25 por 4... no, no quiero hacer un error... lo voy a hacer mejor de este lado, voy a hacer de este lado la multiplicación. 1.25 por 52, 2 por 5 = 10, llevamos 1, 2 por 2 = 4 y 1 = 5, 2 por 1 = 2, bajamos un 0 aquí pues estamos multiplicando por 50, 5 por 5 = 25, llevamos 2, 5 por 2 = 10 y 2 = 12 llevamos 1, 5 por 1 = 5 y 1 = 6, hacemos la suma, 0, 5 y 5 = 10, llevamos 1, 2 y 2 = 4 y 1 = 5, bajamos el 6, el punto decimal dos lugares a la derecha, así es que tiene que dejar 65, lo cual es correcto, 1 entero 1/4 por 52, 1/4 de 52 es 13, 52 más 13 es igual a 65. Así es que Luis debe dejar 65 dólares enla mesa incluyendo la propina.