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Sistemas cuadráticos: solución algebraica

Resolvemos para "y" un sistema de dos ecuaciones cuadráticas al sustituir la expresión de "y" que se obtiene de una de las ecuaciones en la otra. Creado por Sal Khan y Monterey Institute for Technology and Education.

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Transcripción del video

resuelve el sistema de ecuaciones por sustitución verifica tu solución graficando las ecuaciones hagámoslo por sustitución sabemos que es igual a 2x cuadrada más 3x menos 6 y también que es igual a menos x cuadrada estas dos yes son la misma por lo cual entonces esto de aquí tiene que ser igual a esto de aquí es decir menos x cuadrada es igual a 2 x cuadrada más 3 x menos 6 el valor de x donde estas expresiones son iguales nos va a proporcionar el valor de x donde está si son iguales obtendremos así el punto de intersección es decir la pareja de xy que cumple con ambas ecuaciones entonces resolvemos esta ecuación para x empecemos sumando x cuadrada a ambos lados de la ecuación sumamos x cuadra ambos lados y que nos queda del lado izquierdo nos queda 0 y del lado derecho nos queda 3 x cuadradas + 3 x menos 6 podemos simplificar esto dividiendo entre 3 a ambos lados de la ecuación dividimos entre 3 del lado izquierdo y dividimos entre 3 todos estos términos el lado izquierdo nos queda 0 del lado derecho nos queda x cuadrada más x menos 63 menos 2 ahora aquí podríamos aplicar la fórmula cuadrática o podríamos completar cuadrados sin embargo esta ecuación se puede factorizar fácilmente buscamos aquí un par de números tales que multiplicados nos dan menos 2 y sumados nos dan más 1 esto se factor hice entonces como x 2 x x menos 1 de donde obtenemos que x + 2 es igual a cero x menos uno es igual a cero resolviendo estas dos ecuaciones restando 2 ambos lados obtenemos que x es igual a menos 2 y sumando 1 a ambos lados obtenemos que x es igual a 1 estas son nuestras dos soluciones x es igual a menos 2 o x es igual a 1 verifiquemos estos valores vamos a sustituir x igual a menos 2 en esta ecuación vamos a ponerlo por aquí cuando x es igual a menos 2 esto sería menos 2 al cuadrado es 4 y este signo menos sería menos 4 así es que cuando x es igual a menos 2 el valor de ye correspondientes menos 4 ahora cuando x es igual a 11 al cuadrado 1 con el signo menos menos uno lo que nos da el punto 1 - 1 así es que para esta ecuación para esta función obtenemos estos dos puntos ahora sustituyendo x igual a menos 2 en la ecuación de arriba veamos menos 2 al cuadrado es 4 por 2 es igual a 8 tenemos que es 8 más 3 x menos 2 es menos seis y menos seis ahora 862 menos seis esto es igual a menos cuatro así es que tenemos el punto el punto menos 2,4 está también en esta ecuación ambas ecuaciones comparten ese punto se intersectan ahí ahora sustituyendo x igual a 12 3 - 6 2 3 5 6 es igual a menos 1 hemos sustituido el valor de x igual a 1 obtenemos entonces que el punto 1 - 1 también está en la gráfica de esta ecuación gráfica hemos estos puntos el punto menos 2 - 4 - 2 1 2 3 4 aquí está menos dos menos 4 y el punto 1 - 1 aquí tenemos 1 y menos 1 hacia abajo esos son los dos puntos de intersección de estas dos ecuaciones graphic hemos esta ecuación esta segunda ecuación aquí nos lo pide verifica tu solución verifica solución graficando las ecuaciones vamos a graficar esta que es fácil de igual a menos x cuadrada va a pasar por el punto 0,0 es una parábola que abre hacia abajo cuando x es igual a 1 o equis igual a menos 1 y es igual a menos 1 así es que este punto también está en la parábola cuando x es igual a 2 o menos 2 que va a ser igual a menos 4 y la gráfica se va a ver algo así 6 789 o sea ver algo así aquí está la parábola este la gráfica de esta ecuación que tenemos aquí ahora está va a abrir hacia arriba esta es una parábola que abre hacia arriba y una manera rápida podríamos completar cuadrado y todo eso que se puede hacer pero si lo piensas detalladamente apliquemos la fórmula cuadrática y te voy a mostrar una manera rápida de encontrar el vértice cuando se aplica dicha fórmula cuadrática al aplicar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de esta ecuación nos da que x es igual a menos b menos 3 más menos la raíz cuadrada de de cuadrada 3 al cuadrado que es 9 menos cuatro menos 4 que multiplica a 2 x c x menos 6 y todo eso dividido entre dos veces a todo eso dividido entre 2 x 2 ahora podemos evaluar esto y encontrar las raíces de la ecuación pero en realidad lo que te quiero mostrar es que si bien siempre tenemos dos soluciones déjame escribir la fórmula cuadra para mostrarte mi punto claramente la fórmula cuadrática es menos b más menos raíz de cuadrada menos 4 hace sobre 2a a partir de esta fórmula si este número es mayor que 0 siempre vamos a obtener dos soluciones y son equidistantes están a una distancia de esta cantidad sobre dos a de menos b sobre 2a esto lo podemos escribir como menos b sobre 2a más menos la raíz de b cuadrada menos 4 ac sobre 2 a entonces tenemos a lo más dos soluciones que están a la misma distancia de este valor de x que tenemos aquí y como hemos visto en varios vídeos cuál es ese punto que está a la misma distancia de las dos soluciones justo a la mitad ahí se va a ubicar la línea simetría o el valor de x del vértice así es que este va a ser el valor de x del vértice valor x de vértice es menos b sobre 2a así es que si queremos encontrar el valor x del vértice de esta parábola tenemos menos b menos tres sobre 2 x sobre 2 sobre 4 - tres cuartos es la coordenada en x del vértice de esta parábola y cuando x es igual a menos tres cuartos cuanto vale y bien eso es un poquito más complicado de hacer mentalmente voy a desarrollar los cálculos por aquí esto es 2 por 9 sobre 10 y 6 2 por 9 dieciseisavos menos nueve cuartos menos seis déjame sacar la calculadora para hacer esto a ver veamos va a ser 18 sobre 16 no no no no vamos a sacar la calculadora va a ser más fácil lo que yo perder tu tiempo haciendo aritmética esto es 2 x no directamente 18 sobre 16 esto es igual a y eso menos nueve cuartos menos nueve entre cuatro y a eso le restamos 6 menos 6 esto nos da menos 7.125 así es que esto es igual a menos 7.125 así es que el vértice va a estar en menos tres cuartos ahí lo tenemos menos tres cuartos y lleva a ser menos 7.125 menos siete y un cuarto uno dos tres cuatro cinco seis siete y un cachito más y un cachito más para abajo ahí está el vértice de esta parábola que tenemos arriba lo ubicamos aquí y hay una simetría alrededor del vértice este sería entonces el eje de simetría por lo que la gráfica de la ecuación de arriba se va a ver más o menos así se va a ver más o menos así algo así y ya hemos concluido hemos encontrado los dos puntos de intersección que son este y éste y hemos verificado nuestra solución haciendo las gráficas