Resolver sistemas de ecuaciones por el método de eliminación: estantes

Vamos a ver si podemos resolver este problema, dice, Arturo va a construir 3 estantes para su padre. Él tiene un pedazo de madera de 12 pies de largo, del cual, quiere que el estante superior sea medio pie más pequeño que el estante de en medio... déjame tomar colores para que poco a poco vayamos utilizando los datos... Del cual... déjenme agarrar otro color... quiere que el estante superior sea medio pie más pequeño que el estante de en medio... muy bien, este es otro dato y con otro color voy a poner que el estante inferior sea medio pie más pequeño que 2 veces la longitud del estante superior. Y bueno, lo que nos dice la pregunta es lo siguiente, si Arturo quiere usar los 12 pies de madera que tiene, ¿cuánto debe medir cada estante? Muy bien, ya tenemos aquí el problema, ahora lo que vamos a hacer es definir variables, como necesitamos saber la longitud de nuestros 3 estantes, uno superior, uno en medio y uno inferior, entonces vamos a ponerles nombre. Ahora lo primero que voy a hacer es definir variables, voy a decir que "t" es la longitud del estante superior... la longitud del estante superior, que "m" es la longitud del estante de en medio... "m" es la longitud del estante de en medio... la longitud del estante de en medio... ya tengo el superior, ya tengo el de en medio y por último que "b" es la longitud del estante inferior... "b" va a ser el estante inferior... del estante inferior... Y bueno, ¿qué me dicen estos datos? El primer dato lo podemos escribir en matemáticas de la forma siguiente, dice, Arturo quiere que el estante superior sea medio pie más pequeño que el estante de en medio, esto quiere decir que "t" tiene que ser igual al estante de en medio, que es "m" menos medio pie porque tiene que ser más pequeño que el estante de en medio, entonces "t" es igual a "m" menos 1/2 ó 0.5. Muy bien, después el siguiente dato me dice lo siguiente, Arturo también quiere que el estante inferior sea medio pie más pequeño que dos veces la longitud del estante superior, es decir, que el estante inferior "b", debe ser medio pie más pequeño que dos veces la longitud del estante superior... dos veces la longitud del estante superior, es lo mismo que tomarme la longitud del estante superior que es "t" y multiplicarlo por 2, porque van a ser 2 veces esa longitud. Entonces me quedaría, que "b" es igual a "2t"menos 1/2 pie, es decir, menos 1/2. Muy bien, entonces ya tenemos, que el estante superior sea 1/2 pie más pequeño que el estante de en medio, eso quiere decir que "t" es igual a "m" menos 1/2 y después que el estante inferior sea 1/2 pie más pequeño que dos veces la longitud del estante superior, eso quiere decir que "b", es igual a "2t" menos 1/2. Ahora nos falta una ecuación y la última ecuación la voy a sacar de qué dice que Arturo va a usar los 1 2 pies de madera completos y por lo tanto, con estos 12 pies de madera, tiene que hacer los 3 estantes, el superior, el de en medio y el inferior, es decir que "t" más "m" más "b", esto tiene que ser igual a 12... a 12 pies... Muy bien, y ahora que ya tenemos las tres ecuaciones, ¿cómo resolvemos este problema? Y bueno, a mi lo que se me ocurre es poner todo en términos de "m", porque aquí dice que "t" es igual a "m" menos 1/2, entonces voy a usar esta ecuación de aquí, para que cada vez que yo vea una "t", ponga en lugar de "t", "m" menos 1/2. Por lo tanto, aquí tengo que "b", es igual a "2t" menos 1/2, pero, en lugar de "t" voy a poner "m" menos 1/2, lo que voy a hacer es una sustitución, entonces en lugar de "t", voy a poner "m" menos 1/2 y entonces, ¿qué me quedaría de "b"? "b" sería igual a 2 por "t", es decir, 2 por "m" menos 1/2, porque recuerda que "t", vale igual a "m" menos 1/2, entonces 2 por "m" menos 1/2 y a esto le vamos a quitar -1/2... muy bien, ¿y esto qué me queda? Me va a quedar, 2 por "m", es "2m" y después 2 por -1/2, entonces "b" es igual a "2m" menos 2 por 1/2, 2 por 1/2 es 1, entonces -1 menos -1/2 ó dicho de otra manera, "b" es igual a "2m" menos 3/2, -1 menos 1/2 es lo mismo que -3/2, entonces a esto le quitamos 3/2. Y entonces ya tengo que "t" es igual a "m" menos 1/2, que "b" es igual a "2m" menos 3/2, entonces ¿por qué no sustituyo en esta ecuacionsota que tenemos aquí el valor de "t" y el valor de "b" en términos de "m"? Y me va a quedar, que "t", es decir "m" menos 1/2, más "m", más "b", pero en lugar de "b" recuerda que voy a poner "2m" menos 3/2, vamos a usar también esta otra ecuación que tengo aquí. Entonces tengo que "b" es igual a "2m" menos 3/2, y me va a quedar, "m" menos 1/2 más "m" más "2m" menos 3/2, esto es lo que vale "b", esto tiene que ser igual a 12. ¿Y qué crees? Ya tengo una ecuación con solamente una incógnita, pase de tener una ecuación con tres incógnitas, a tener una ecuación con solamente una incógnita, después de que sustituí el valor de "t" y el valor de "b". Y ahora si, tengo una "m", "2m", más "2m" son "4m" totales, "4m" y a esto, le tengo que quitar -1/2 menos 3/2, menos 1/2 menos 3/2, son -4/2, lo cual es -2, entonces -1/2 menos 3/2, esto, todo esto se reduce a -2, "4m" menos 2 esto tiene que ser igual a 12. Y ahora si, de aquí está muy fácil despejar para "m", porque si lo queremos hacer es obtener el valor de "m", primero hay que sumar 2 de ambos lados de la ecuación, de tal manera que si yo tomo otro color y aquí sumo 2 y aquí también sumo 2, entonces, ¿qué me va a quedar? Del lado izquierdo me queda "4m" porque estos dos se van y del lado derecho me queda 12 más 2, lo cual es 14. Y ahora si divido todo entre 4, voy a obtener el valor de "m", todo entre 4... todo entre 4... y me va a quedar que "m" es igual a 14/4, pero 14/4 es lo mismo que 7/2, entonces 7/2, "m" vale 7/2 y al menos, ya sé cuál es la longitud en pies que debe de tener el estante de en medio, el estante de en medio debe de tener 7/2 de pies de longitud. Y bueno, ya que sé "m", ¿ahora cómo saco "t"? Pues "t" es lo mismo que "m" menos 1/2, es decir, 7/2 menos 1/2, lo cual por cierto es 6/2 que es 3, el estante superior debe de medir 3 pies, su longitud debe de ser 3 pies y bueno, ya tengo a "m", que por cierto, 7/2, es exactamente lo mismo que 3 entero 1/2... déjame ponerlo aquí... "m" es lo mismo que 7/2 ó 3 enteros 1/2 de pies. Y bueno, ya tengo a "m", ya tengo a "t", puedo de aquí obtener el valor de "b", pues sí, "b" es igual a "2t" menos 1/2, es decir 2 por 3 menos 1/2, lo cual es 6 menos 1/2, lo cual son 5 enteros 1/2. La longitud del estante inferior, debe de ser de 5 pies 1/2 y es más, hasta lo podemos verificar, porque 5 1/2 más 3 enteros 1/2 es lo mismo que 9 y 9 más 3 es 12 y por otra parte, el estante superior es 1/2 pie más pequeño, que el estante de en medio, que era justo uno de los datos y después obtenemos que el estante inferior es medio pie más pequeño que 2 veces el estante superior.