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Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

Avanza por ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustituición.
Trabajemos para resolver el sistema de ecuaciones:
y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, c, u, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, 1, point, end text, end color gray
x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, c, u, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, 2, point, end text, end color gray
Lo complicado es que hay dos variables, x y y. Si tan solo pudiéramos deshacernos de una de ellas...
¡Aquí hay una idea! La ecuación 1 establece que start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 y start color #e07d10, y, end color #e07d10 son iguales. Así, sustituyamos start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 en vez de start color #e07d10, y, end color #e07d10 en la ecuación 2 para deshacernos de la variable y:
x+y=24Ecuacioˊn 2.x+2x=24Sustituye 2x en vez de y.\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{Ecuación 2.}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{Sustituye 2x en vez de y.}}\end{aligned}
¡Es brillante! Ahora tenemos una ecuación que solo tiene la variable x, y que sabemos cómo resolver:
x+2x=243x=24 3x3=243Divide cada lado entre 3.x=8
¡Excelente! Ya sabemos que x es igual a 8. Pero recuerda que estamos buscando un par ordenado. También necesitamos el valor de y. Usemos la primera ecuación para determinar y cuando x es igual a 8:
y=2xEcuacioˊn 1.y=2(8)Sustituye 8 en vez de x.y=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{Ecuación 1.}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{Sustituye 8 en vez de x.}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
¡Fantástico! Entonces la solución del sistema de ecuaciones es left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis. Siempre es una buena idea verificar la solución por medio de las ecuaciones, solo para estar seguros.
Revisemos la primera ecuación:
y=2x16=?2(8)Sustituye x = 8 y y = 16.16=16¡Sıˊ!\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2(\blueD{8}) &\gray{\text{Sustituye x = 8 y y = 16.}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{¡Sí!}}\end{aligned}
Revisemos la segunda ecuación:
x+y=248+16=?24Sustituye x = 8 y y = 16.24=24¡Sıˊ!\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{Sustituye x = 8 y y = 16.}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{¡Sí!}}\end{aligned}
¡Muy bien! El par left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis ciertamente es una solución. No debimos haber cometido errores.
Es tu turno de resolver un sistema de ecuaciones por medio del método de sustitución.
Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
4, x, plus, y, equals, 28
y, equals, 3, x
x, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Encontrar una variable primero y luego sustituir

A veces el método de sustitución es un poco más complicado. Aquí hay otro sistema de ecuaciones:
minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, c, u, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, 1, point, end text, end color gray
5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, c, u, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, 2, point, end text, end color gray
Observa que ninguna de estas ecuaciones está resuelta para x o y. Como consecuencia, primero hay que resolver para x o y. Así es cómo hace:
Paso 1: resuelve alguna de las ecuaciones para alguna de las variables.
Resolvamos la primera ecuación para y:
3x+y=9Ecuacioˊn 1.3x+y+3x=9+3xSuma 3x a cada lado.y=9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{Ecuación 1.}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{Suma 3x a cada lado.}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Paso 2: sustituye el resultado en la otra ecuación y resuelve para x.
5x+4y=32Ecuacioˊn 2.5x+4(9+3x)=32Sustituye -9 + 3x en vez de y.5x36+12x=3217x36=3217x=68x=4Divide cada lado entre 17.\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{Ecuación 2.}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{Sustituye -9 + 3x en vez de y.}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{Divide cada lado entre 17.}}\end{aligned}
Paso 3: Sustituye x, equals, 4 en alguna de las ecuaciones originales y despeja y.
3x+y=9La primera ecuacioˊn.3(4)+y=9Sustituye 4 en vez de x.12+y=9y=3Suma 12 a cada lado.\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{La primera ecuación.}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{Sustituye 4 en vez de x.}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{Suma 12 a cada lado.}} \end{aligned}
Por lo que la solución es left parenthesis, start color #11accd, 4, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

¡Practiquemos!

1) Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
2, x, minus, 3, y, equals, minus, 5
y, equals, x, minus, 1
x, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
minus, 7, x, minus, 2, y, equals, minus, 13
x, minus, 2, y, equals, 11
x, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
minus, 3, x, minus, 4, y, equals, 2
minus, 5, equals, 5, x, plus, 5, y
x, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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