Repaso de polinomios

en este vídeo quiero platicar acerca de polinomios déjame ponerle por aquí polinomios polinomios y polinomios parece una palabra muy complicada pero un polinomio simplemente es la suma de algunos términos que tiene constantes y variables en donde las variables están elevadas a exponentes que son enteros positivos sí creo que ya dije algo un poco más complicado bueno vamos a ver mejor algunos ejemplos para explicar a qué me refiero digamos si tenemos la expresión x al cuadrado x al cuadrado más 1 entonces esto de aquí es un polinomio de hecho es un binomio porque tiene dos términos polinomio se refiere a algo un poco más general este poli viene de muchos es algo que tiene muchos términos déjame poner otro ejemplo digamos si tenemos 4 x al cubo 4 x al cubo menos 2 x cuadrada + 7 entonces esto de aquí también es un polinomio de hecho es un trinomio porque tiene tres términos pero creo que también es útil ver ejemplos de algunas cosas que no son polinomios por ejemplo x a la menos un medio x a la menos un medio más uno no es un polinomio le voy a poner aquí que no es un polinomio porque este exponente no es un entero positivo queremos puros exponentes que sean entre los positivos como 223 y así entonces esto de aquí no es un polinomio esto no quiere decir que no te lo vas a encontrar cuando hagas problemas matemáticos pero simplemente no se llama polinomio vale de manera similar ye yé raíz cuadrada de i menos cuadrada este de aquí tampoco tampoco es un polinomio porque llegué a la raíz cuadrada de y es lo mismo que elevar a un medio entonces otra vez tenemos exponentes que no son enteros positivos va entonces ninguno de estos dos ejemplos es un polinomio muy bien ahora ya viendo más o menos algunos ejemplos de cosas que si son y cosas que no son polinomios vamos a pasar a un poco de la terminología va para que sepamos a qué se refieren algunas palabras vamos a empezar con el grado el grado de un poli no lo voy a poner por aquí creado grado el grado de un polinomio simplemente es el máximo exponente que tiene el polinomio por ejemplo aquí arriba el máximo exponente que tenemos es 3 y por lo tanto decimos decimos que esto de acá es un polinomio de grado 3 le voy a poner así es un polinomio le voy a poner nada más poli de grado de grado 3 y de manera similar el polinomio de aquí arriba a su máximo exponente es 2 y lo voy a marcar el 3 y por lo tanto este es un polinomio de grado 2 polinomio de grado grado 2 a éste también se le conoce como polinomio cúbico y al de arriba como polinomio cuadrado bueno entonces el grado es es el máximo exponente que otras cosas pues también los polinomios tienen términos constantes y términos variables por ejemplo aquí estos dos son términos variables porque tienen equis pero este de acá el 7 sería un término constante porque nada más es un número así constante de manera similar este de aquí también es constante este aquí es constante y este de aquí es un término variable y finalmente déjame platicar acerca de los coeficientes de un polinomio y para esto voy a poner otro ejemplo porque ya escribí mucho sobre estos entonces voy a poner un ejemplo un poco en desorden y dice x al cuadrado - 5 x + 7 x a la quinta menos 5 ok entonces aquí tenemos otro polinomio cuál es el grado el grado es 5 verdad 5 es el exponente más grande que tenemos y entonces déjame le pongo que es un polinomio de grado 5 polinomio de grado de grado de grado 5 y bueno o sea es que te preguntarás por qué es tan importante el grado porque porque me estoy fijando tanto en el grado bueno hay varias cosas por las cuales es importante pero para mí lo que nos dice es qué sucede con el polinomio cuando x es muy muy grande vale entonces el término que tiene el exponente más grande va a dominar al resto de los términos más o menos la idea detrás es que es que éste esté bueno este este término el que tiene el exponente más grande nos dice qué tan rápido crece o decrece el polinomio decrece en el caso en el que este coeficiente sea negativo pero claro coeficientes no he platicado de eso entonces deja pongo por aquí abajo coeficientes coeficientes deficientes y ya habíamos utilizado esta palabra antes verdad cuando hablamos de sistemas de ecuaciones y los coeficientes básicamente son los números o bien las constantes que acompañan a cada término variable por ejemplo aquí tenemos que el coeficiente es menos 5 el coeficiente de este término menos 5x es menos 5 con todo y el menos vale así lo vamos a pensar el coeficiente aquí sería 7 y aquí sería menos 5 aquí no está la equis pero podemos pensar que hay un x a la cero y por lo tanto el menos 5 es lo que acompaña a la equis y qué pasa con este término de aquí pues aquí el coeficiente es uno solo que pues bueno no no no tiene sentido poner el 1 porque porque pues ya implícitamente tenemos una multiplicación por 1 pero cuando no tenemos un coeficiente visible quiere decir que hay un coeficiente 1 detrás vale ok nada más una última cosa déjame platicarte de la forma estándar de un polinomio voy a ponerlo por acá voy a escribirlo con este color azul la forma forma estándar estándar y la forma estándar de un polinomio básicamente es escribir sus términos pero en orden decreciente de exponente vale o sea tenemos que ir bajando de exponente por ejemplo para escribir este polinomio en forma estándar empezamos con el de exponente más grande el de mayor grado que sería este 7x a la quinta le voy a poner aquí 7 x a la quinta luego tendríamos que ir a este al cuadrado verdad porque es el siguiente con exponente más grande sería más x al cuadrado le podría poner más 1 x al cuadrado pero nada más lo voy a dejar así y luego vamos a éste que es menos 5 x - 5x y finalmente voy a poner este de acá que es menos 5 menos 5 muy bien entonces aquí ya está escrito el polinomio de aquí arriba en forma estándar o sea con orden decreciente de exponentes muy bien ahora bueno todas estas definiciones todavía no te sirven para nada para resolver un problema pero es muy útil que las tengas en cuenta para después cuando yo platiqué algunos problemas de polinomios o tu maestro los platiqué para que sepas a qué nos estamos refiriendo va ahora si vamos a pasar a algunas operaciones y estas operaciones son muy muy útiles muy muy útiles no sólo para polinomios sino para toda toda tu vida matemática entonces bueno vamos a sumar y restar polinomios ya habíamos algunos ejemplos en vídeos anteriores vamos a ver unos ejemplos más imagínate que nos piden sumar el polinomio menos 2 x cuadrada más 4 x menos 12 más 4 x menos 12 con el polinomio con el polinomio 7 + x al cuadrado lo único importante para recordar cuando tenemos que hacer estas cosas cuando tenemos que sumar polinomios es clínicamente podemos sumar términos en los cuales las variables tengan pues el mismo grado ahorita nada más tenemos una variable que es x pero ahorita hacemos un ejemplo más complicado con varias variables entonces bueno vamos a hacer eso pero antes déjame quitar los paréntesis ahorita los paréntesis no nos sirven de nada porque esto es una suma entonces vamos a quitarlo para que se vea un poco más limpio si tuviéramos una resta hay que tener cuidado con distribuir el signo menos ahorita hacemos un ejemplo de eso pero este quitando los paréntesis aquí me queda menos 2x cuadrada + 4 x menos 12 + 7 x + x al cuadrado muy bien aquí ya podemos juntar términos similares déjame tomar este color rosa entonces vamos a empezar con los términos de mayor grado para que ya quede en forma estándar va entonces tenemos aquí menos 2 x cuadrada y aquí x cuadrado las voy a escribir aquí menos 2 x cuadrada más x 4 muy bien esos son los términos con exponente 2 ahora voy a tomar este color morado para indicar los términos que tienen nada más x a la 1 que serían este más 4 x y este más 7 x ba y finalmente con este color azul voy a marcar el término constante que es este menos 2 este menos 2 verdad no menos 12 mira copia mal aquí esté uno éste es menos menos 12 a qué bueno que me di cuenta tiempo bueno ahora sí vamos a sumar estos términos iguales estos términos iguales y esto y este término entonces que nos quedaría nos quedaría menos 2 x cuadradas más x cuadradas y tenemos menos 2 de algo y le sumamos 1 obtenemos - x cuadrado o bien si aún no le quitamos 2 obtenemos - x cuadradas vamos con este de ak-47 de 11 tenemos 11 x y finalmente el término constante nos queda menos 12 entonces la suma la suma de estos dos polinomios es menos x cuadrada a más 11 x menos 12 el coeficiente principal que es el coeficiente del término de mayor grado del término principal es menos 1 el coeficiente de este término es 11 y este de acá el término constante es menos 12 muy bien ya está en forma estándar muy bonito todo y parece ser que fue sencillo verdad vamos a hacer un ejemplo un poco más complicado que involucre varias variables y una resta pares o déjame bajar un poquito y lo voy a poner aquí entonces el problema dice lo siguiente dice haz la siguiente resta de polinomios de 2 a cuadrada b -3 ave cuadrada tres aves cuadradas más cinco a cuadrada de cuadrada de cuadrada este es el primer polinomio y a eso queremos restar 2 al cuadrado de cuadrada 2 a cuadrada de cuadrada más 4 a cuadrada bien 4a 4b 5b cuadradas 5b cuadrada entonces ahora tenemos aquí una resta y tenemos dos variables entonces vamos a hacer las cosas con calma lo primero que yo haría es distribuir este signo menos cambiándole el signo a cada uno de estos términos para entonces déjame reescribir esta expresión como lo primero lo dejamos igual 2 al cuadrado 3 b cuadrada más 5 a cuadrada b cuadrada y ahora tenemos que distribuir este menos nos quedaría menos 2 a cuadrada b luego de cuadrada luego menos 4 a cuadrada de menos 4 al cuadrado y luego este menos con este menú se hace más 5b cuadrada muy bien entonces aquí ya tenemos la operación que tenemos que realizar vamos a simplificar la entonces tenemos que sumar términos similares déjame juntarlos y voy a empezar con este color azul entonces empecemos con términos de la forma cuadrada b hay algún otro término de la forma cuadrada para que podamos sumar o restar tienen que coincidir los exponentes de ambas variables tiene que ser cuadrada y ve a ver este noroeste no esté no esté si éste está cuadrada ve este menos 4 a cuadrada b entonces los copió con 2a cuadrada b menos 4 a cuadrada ve muy bien ahora vamos a las cosas del estilo menos tres ave cuadrada estaría acá menos tres ave cuadrada hay otro a b cuadrada pues no no verdad éste está cuadrada ave cuadrada este también y este es b cuadrada entonces nada más está el menos 3 a b cuadrada luego tenemos estos términos de acá que los voy a pintar en color amarillo los de la forma cuadrada ve y tenemos 5 al cuadrado y aquí tenemos menos 2 al cuadrado más 5 a cuadrada b cuadrada a la cuadrada de cuadrada perdón menos 2 a cuadrada b cuadrada y finalmente y finalmente tenemos este que es más 5 b cuadrada y ya no hay ninguno más desistir entonces vamos a realizar las operaciones para ver cuánto nos queda dos menos cuatro es menos dos menos 2 al cuadrado b luego es menos 3 ave cuadrada en los tres a b cuadrada luego en color amarillo es 5 menos dos que nos queda tres a cuadrada b cuadrada y finalmente hay que sumar 5 b cuadrado más 5 b cuadrada y a lo mejor te preguntarás si esto ya está en forma estándar porque no hemos platicado de la forma estándar cuando hay más de una variable y bueno depende mucho del gusto hay las hay personas que lo hacen de una forma hay personas que lo hacen de otra a mí me gusta pensarlo como la combinación de los grados de las dos variables entonces lo que yo haría es poner primero este 3 y ponerlo en el color amarillo 3 a cuadrada ave cuadrada porque el grado conjunto es 4 luego pondría estos que tienen grado conjunto 3 no importa cual cual primero voy a poner primero el azul no sería menos 2 a cuadrada b luego sería este menos 3 ave cuadrada y finalmente pondría el término naranja término naranja que es más 5 b cuadrada por qué grado combinado nada más es 2 vale muy bien entonces aquí ya lo tenemos en una cierta forma está listo ya resolvimos este problema que estaba un poco más complicado ya nada más para terminar el vídeo quiero enseñarte un ejemplo de cómo construir polinomios a partir de dibujos y esto es más o menos para que veas que nuestras representaciones abstractas pues si tienen alguna utilidad tienen utilidad en cálculo o en geometría en álgebra y en un montón de partes más entonces el problema dice lo siguiente dice representa el área de cada una de las figuras en términos de un polinomio ok voy a intentar hacerlo con los mismos colores que aquí dan entonces voy a empezar con esta primera figura si queremos el área de la parte coloreada tenemos que poner el área de este rectángulo que es x y a eso tenemos que sumarle el área de estos rectángulos de estos rectángulos amarillos entonces el área de uno de ellos es x x zeta pero tenemos 22 x 71 aquí y 1 acá entonces esta sería la primera respuesta ahora vamos con este en este a ver aquí tenemos estos cuatro rectángulos que son iguales que son de medidas a y b entonces tenemos ave más ave más ave más ave sabe muy bien y luego hay que sumar el área de este cachito verde chin creo que no nos dan la información a mira que hay una c estás esta rara aquí no como que no debería estar aquí déjame ponerle que está sé que está hace en realidad es este lado que nos falta para para poder conocer el área de este de este rectángulo verde va entonces el área de este rectángulo verde sería su altura qué es sin creo que debería usar un verde más brillante por si sale entonces este aporte déjame simplificar esto nos quedaría igual a 4 veces saben esto es igual a 4 veces saben ave más hace más así muy bien entonces aquí está el área de la segunda figura en una expresión del polinomio y asumí que él hace que nos daban en realidad era de este lado bueno pasemos a este de acá estoy acá como sería para encontrar en el área coloreada de rosa tenemos que tomar toda el área del rectángulo grande que sería 2x y 2x y ya eso restarle el área de estos dos cuadrados y son cuadrados del lado x y tenemos 2 entonces hay que restarle 2 x al cuadrado y finalmente en la figura de aquí abajo pues ver podemos trazar esta línea esta línea y esta línea de acá para separar las áreas y entonces ahora tenemos aquí un rectángulo de área a b otro rectángulo de área ave y un tercer rectángulo de área ave ave y por lo tanto el área total es 3 muy bien espero que todos estos términos ejemplos y problemas hayan sido un buen calentamiento para este tema de polinomios