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Curso: 2° Secundaria (antiguo) > Unidad 20

Lección 1: Desplazamiento, velocidad y tiempo
Matemáticas
2° Secundaria (antiguo)
El movimiento en una sola dimensión
Desplazamiento, velocidad y tiempo
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¿Qué son las gráficas de posición vs. tiempo?

Google Classroom
Lo que podemos aprender a partir de las gráficas que relacionan posición y tiempo.

¿Cómo es que son útiles las gráficas de posición vs. tiempo?

Muchas personas sienten lo mismo sobre las gráficas que lo que sienten al ir al dentista: una vaga sensación de ansiedad y un fuerte deseo de que la experiencia termine lo más rápido posible. Pero las gráficas de posición pueden ser hermosas, y son una manera eficiente de representar visualmente una gran cantidad de información acerca del movimiento de un objeto en un espacio convenientemente pequeño.

¿Qué representa el eje vertical en una gráfica de posición?

El eje vertical representa la posición del objeto. Por ejemplo, si lees el valor de la gráfica a continuación en un tiempo particular, obtendrás la posición del objeto en metros.
Intenta deslizar horizontalmente el punto en la siguiente gráfica para escoger diferentes tiempos y observa cómo cambia la posición.
Verificación de conceptos: ¿cuál es la posición del objeto al tiempo t=5 segundos de acuerdo a la gráfica de arriba?

¿Qué representa la pendiente en una gráfica de posición?

La pendiente de una gráfica de posición representa la velocidad del objeto. Así que el valor de la pendiente en un tiempo particular representa la velocidad del objeto en ese instante.
Para ver por qué, considera la pendiente de la gráfica de posición vs. tiempo que se muestra a continuación:
La pendiente de la gráfica de posición es pendiente=diferencia verticaldiferencia horizontal=x2−x1t2−t1.
Esta expresión para la pendiente es la misma que la definición de la velocidad v=ΔxΔt=x2−x1t2−t1. Así que la pendiente de una gráfica de posición tiene que ser igual a la velocidad.
Esto también es cierto para una gráfica de posición donde la pendiente está cambiando. Por ejemplo, para la siguiente gráfica de posición vs. tiempo, la línea roja te muestra la pendiente en un tiempo particular. Intenta deslizar el punto horizontalmente para ver cómo se ve la pendiente de la gráfica para momentos particulares de tiempo.
La pendiente de la curva entre los tiempos t=0 s y t=3 s es positiva, ya que se dirige hacia arriba. Esto significa que la velocidad es positiva y el objeto se está moviendo en la dirección positiva.
La pendiente de la curva es negativa entre t=3 s y t=9 s, pues se dirige hacia abajo. Esto significa que la velocidad es negativa y el objeto se mueve en la dirección negativa.
Al tiempo t=3 s, la pendiente es cero, dado que la línea que representa a la pendiente es horizontal. Esto significa que la velocidad es cero y que el objeto se encuentra momentáneamente en reposo.
Verificación de conceptos: ¿cuál es la velocidad del objeto al tiempo t=9 s de acuerdo con la gráfica de arriba?
Una cosa más que hay que tener en mente es que la pendiente de una gráfica de posición en un momento dado en el tiempo te da la velocidad instantánea en ese momento. La pendiente promedio entre dos puntos en el tiempo te dará la velocidad promedio entre esos dos puntos en el tiempo. La velocidad instantánea no tiene que ser igual a la velocidad promedio. Sin embargo, si la pendiente es constante por un periodo de tiempo (es decir, la gráfica es un segmento de recta), entonces la velocidad instantánea será igual a la velocidad promedio entre cualesquiera dos puntos en ese segmento de recta.

¿Qué significa la curvatura en una gráfica de posición?

Observa la gráfica a continuación. Se ve curvada pues no está hecha solo de segmentos de recta. Si una gráfica de posición está curvada, la pendiente estará cambiando, lo que significa que la velocidad también está cambiando. Una velocidad cambiante implica aceleración. Entonces, la curvatura en una gráfica significa que el objeto está acelerando, es decir cambiando de velocidad, o en términos gráficos, que su pendiente está cambiando.
En la siguiente gráfica, intenta deslizar horizontalmente el punto para ver cómo cambia la pendiente. La primera joroba entre 1 s y 5 s representa aceleración negativa, pues la pendiente va de positiva a negativa. Para la segunda joroba entre 7 s y 11 s, la aceleración es positiva ya que la pendiente va de negativa a positiva.
Verificación de conceptos: ¿cuál es la aceleración del objeto al tiempo t=6 s de acuerdo a la gráfica de arriba?
Para resumir, si la curvatura de una gráfica de posición se ve como un tazón de cabeza, la aceleración será negativa. Si la curva se ve como un tazón de pie, la aceleración será positiva. Aquí hay una forma de recordarlo: si tu tazón está al revés, toda tu comida se saldrá y eso es negativo. Si tu tazón está al derecho, toda tu comida permanecerá dentro y eso es positivo.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran gráficas de posición vs. tiempo?

Ejemplo 1: una morsa hambrienta

El movimiento de una morsa hambrienta que camina de atrás para adelante en el eje horizontal en busca de comida está dado por la siguiente gráfica que muestra la posición horizontal x como una función del tiempo t.
¿Cuál fue la velocidad instantánea de la morsa en los siguientes tiempos: 2 s, 5 s, and 8 s?

Encontrar la velocidad en 2 s:

Podemos encontrar la velocidad de la morsa en t=2 s al determinar la pendiente de la gráfica en t=2 s:
pendiente=x2−x1t2−t1(Usa la fórmula para la pendiente).
Ahora vamos a escoger dos puntos sobre la recta que estamos considerando que convenientemente se encuentran sobre la cuadrícula, de modo que podamos determinar el valor de la gráfica en esos dos puntos. Vamos a escoger los puntos (0 s,1 m) y (4 s,3 m), pero podríamos escoger cualesquiera dos puntos entre 0 s y 4 s. Debemos sustituir el segundo punto en el tiempo como el punto 2, y el primer punto en el tiempo como el punto 1.
pendiente=3 m−1 m4 s−0 s(Escoge dos puntos y sustituye los valores de x en el numerador y los valores de t en el denominador).
pendiente=2 m4 s=12 m/s(Calcula y celebra).
Entonces, la velocidad de la morsa al tiempo 2 s fue de 0.5 m/s.

Encontrar la velocidad en 5 s:

Para encontrar la velocidad en 5 s solo tenemos que observar que la gráfica es horizontal en ese lugar. Como la gráfica es horizontal, la pendiente es igual a cero, lo que significa que la velocidad de la morsa en 5 s fue de 0 m/s.

Encontrar la velocidad en 8 s:

pendiente=x2−x1t2−t1(Usa la fórmula para la pendiente).
Vamos a escoger los puntos al principio y al final del último segmento de recta, que son (6 s,3 m) y (9 s,0 m).
pendiente=0 m−3 m9 s−6 s(Escoge dos puntos y sustituye los valores de x en el numerador y los valores de t en el denominador).
pendiente=−3 m3 s=−1 m/s(Calcula y celebra).
Así que la velocidad de la morsa en 8 s fue de −1 m/s.

Ejemplo 2: un pájaro feliz

El movimiento de un pájaro extraordinariamente jubiloso que vuela de arriba para abajo está dado por la siguiente gráfica, que muestra la posición vertical y como una función del tiempo t. Responde las siguientes preguntas acerca del movimiento del pájaro.
¿Cuál fue la velocidad promedio del pájaro entre t=0 s y t=10 s?
¿Cuál fue la rapidez promedio del pájaro entre t=0 s y t=10 s?

Encontrar la velocidad promedio del pájaro entre t=0 s y t=10 s:

Para encontrar la velocidad promedio entre t=0 s y t=10 s, podemos determinar la pendiente promedio entre t=0 s y t=10 s. De manera visual, esto correspondería a encontrar la pendiente de la recta que conecta el punto inicial y el punto final de la gráfica.
pendiente=y2−y1t2−t1(Usa la fórmula para la pendiente).
El punto inicial sería (0 s,7 m) y el punto final sería (10 s,6 m).
pendiente=6 m−7 m10 s−0 s(Escoge los puntos final e inicial del intervalo de tiempo y sustituye sus valores).
pendiente=−1 m10 s=−0.1 m/s(Calcula y celebra).
Entonces, la velocidad promedio del pájaro entre t=0 s y t=10 s fue de −0.1 m/s.

Encontrar la rapidez promedio del pájaro entre t=0 s y t=10 s:

La definición de rapidez promedio es la distancia recorrida dividida entre el tiempo. Entonces, para encontrar la distancia recorrida necesitamos sumar la longitud del trayecto de cada etapa del viaje. Entre t=0 s y t=2.5 s, el pájaro se movió 5 m hacia abajo. Luego, entre t=2.5 s y t=5 s, el pájaro no se movió. Por último, entre t=5 s y t=10 s, el pájaro voló 4 m hacia arriba. Al sumar las longitudes de las trayectorias obtenemos el total recorrido: distancia=9 m.
Ahora podemos dividir entre el tiempo para obtener la rapidez promedio, rprom:
rprom=distanciaΔt(Usa la fórmula para la rapidez promedio).
rprom=9 m10 s=0.9 m/s(Sustituye los valores, calcula, y celebra).
Entonces la rapidez promedio del pájaro entre t=0 s y t=10 s fue de 0.9 m/s.

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