Estadística: fórmulas alternativas para la varianza

creo que estamos en el momento perfecto para jugar un poco con la fórmula de la varianza para ver si podemos encontrar alternativas o formas de aprender nos mejor esa fórmula la idea va a ser tomar la fórmula de la varianza y usando un poco de álgebra ver a dónde podemos llegar si nosotros recordamos habíamos denotado a la varianza con las letras sigma elevada al cuadrado y la fórmula decía lo siguiente primero fijémonos en todos los datos cada uno de los datos era un x subíndice y entonces a xy le quitábamos la media o el promedio de todos los datos ya esta diferencia la elevamos al cuadrado y después nos tomábamos la suma de todos los datos es decir desde igual a uno hasta n iv a todo esto lo dividimos entre la cantidad de datos es decir entre n y bueno ya que tenemos esta fórmula vamos a jugar un poco con ella a ver qué pasa cuando elevamos x subíndice y menos elevado al cuadrado bueno pues esto es la suma desde igual a 1 n de x y menos elevado al cuadrado pero quién es esto bueno esto es x subíndice y elevado al cuadrado y después esto es un binomio cuadrado perfecto si se acuerdan de cómo hacerlo en álgebra de todas maneras si no se acuerdan vamos a ponerlo aquí tal vez sea un poco confuso que tengamos x subíndice y new pero pues esto es lo mismo que x subíndice y menos mil por equis subíndice y menos 1000 x subíndice y menos mí o al cuadrado es lo mismo que esto que tenemos aquí y bueno primero tenemos x subíndice y al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir dos veces x subíndice y por mí esto es porque tenemos una vez x subíndice y multiplicando a mí y otra vez yo multiplicando a x subíndice es decir menos 2 veces x y por mí y bueno a esto hay que agregarle el tercer término que es menos newport menos view que va a ser ni un cuadrado entonces es x subíndice y al cuadrado menos 2 veces x subíndice y por mí más cuadrada recuerden que estos tres términos salen del binomio cuadrado perfecto o en su dado caso de la multiplicación de x subíndice y menos por equis subíndice y menos mil muy bien y ahora si nos fijamos en esta suma que yo tengo aquí esta suma que yo tengo aquí es lo mismo que la suma de cada uno de los términos es decir la suma de estos tres sumandos es la suma de cada uno de los sumandos por lo tanto yo lo puedo escribir de la siguiente manera no voy a tomar aquí aquí arriba no mejor de voy a tomar aquí abajo como la suma desde iu igual a uno hasta n del primer término que es x subíndice y elevado al cuadrado x subíndice y elevado al cuadrado ya esto hay que quitarle la suma desde igual a uno hasta n y aquí de esa cuenta que hay dos constantes tanto el 2 como el amigos son constantes porque no tienen nada que ver con la suma que se está haciendo con respecto a y por ejemplo si yo sacara los primeros términos tendrían menos 2 newport x 1 - 2000 por x2 y al final tanto el 2 como el mío nunca cambian entonces todas las constantes pueden salir de las sumas y de hecho ahorita que estoy hablando de sumas y designa la anotación de sigma me recuerda mucho a los vídeos que hice de cálculo donde yo hablaba de la integral y es que tiras recuerdan que la integral es una suma de partes muy muy muy pequeñas y por eso les ponemos al lado un de equis y también en esta ocasión hablábamos de la notación sigma sin embargo no me quiero meter mucho en cálculo porque no estamos viendo cálculo y yo lo único que quiero decirles es que el segundo término me va a quedar como menos dos veces mío por la suma desde igual a uno hasta n y ahora sí de quien del término x y del término x subíndice y bueno por último tengo y bueno darse cuenta que en mí o cuadrada es una constante entonces la podemos sacar de la suma me va a quedar mí o cuadrada que multiplica a la suma desde igual a 1 n de que me va a quedar adentro pues me queda un 1 porque si yo tengo 1 y lo multiplicó por mí o cuadrada me va a quedar view cuadrada y bueno ahora vamos a simplificar todo esto esto es igual a voy a bajar el pizarrón porque ya no me cabe y bueno ahora que se podrá hacer con estas tres sumas en la primera suma tengo la suma desde igual a uno hasta ndx subíndice y al cuadrado y sabemos cuánto es eso bueno de hecho lo viaje primero así y ahorita pensamos si podemos saber expedientes pero esperen aquí me faltaba una n ahorita está acordando de que me falta una n este de aquí arriba es lo mismo que este que tengo aquí sin embargo hay que dividirlo entre n para que sea la varianza entonces todo esto hay que dividirlo entre n hasta el final voy a dividir entre n para no confundirme para no confundirme más que tenemos una división entre n entonces vamos a regresar a lo que estábamos tengo las sumas desde iu igual a 1 hasta el de x subíndice y al cuadrado menos dos veces new que multiplica al as esta estamos esta horrible es mejor está así muy que multiplica a la suma desde igual a uno hasta n de x subíndice y ya esto hay que aumentarle y quien es la tercera suma la suma desde igual a uno hasta n de 1 bueno pues esto es lo mismo que tener uno más uno más uno más uno más uno el de veces y si se dan cuenta 11 11 n veces es lo mismo que uno y no esperen que es lo mismo que n por lo tanto tendría yo n que multiplica a mu cuadrada entonces esta suma es n y multiplicada por muy cuadrada me queda simple y sencillamente más muy cuadrada que multiplica a n ok pero recuerden que todo esto era el numerador de la varianza me falta dividirlo todo entre n ahorita lo divido entre n primero vamos a fijarnos en esto y que puedo ser yo aquí bueno en el 1er sumando tengo la suma de xy al cuadrado creo que nada en el segundo tengo menos dos muy por todo esto y hoy a télam ya lo tengo esperen esperen lo que quiero hacer es otra vez voy a regresar a la en el aire que estaba dividiendo que habíamos dejado en la parte de arriba recuerden que esta era la parte de arriba de mi división es decir en mi numerador pero abajo teníamos todo dividido entre n por lo tanto ahora sí voy a ocupar esa n esto todo esto había que dividirlo entre n y como n dividía a los tres suman 2 entonces n divide a cada uno de los tres suman 2 esté entre n este de aquí entre n y este de aquí entre n y bueno en el primero no podemos hacer mucho tengo la suma desde igual a uno hasta ndx y elevado al cuadrado entre n entonces lo voy a dejar simple y sencillamente tal cual esto es la suma desde igualdad uno hasta ndx subíndice y elevado al cuadrado entre n y en el segundo término tengo menos 2 new que multiplica a y aquí tengo algo muy importante tengo la suma desde igualdad uno hasta ndx y n qué es eso bueno todo esto de aquí es ni más ni menos que la media en efecto están en lo correcto la media porque la suma de todos los datos / / n es la media es decir mucho y si yo tengo mucho que multiplica a 2 no me queda 2 muy cuadrada entonces esto se simplifica a menos 2 muy cuadrada y esto vaya que sí fue una buena simplificación porque nos dimos cuenta que todo esto que teníamos aquí era la media y bueno en el tercer sumando tengo en la que multiplica tiene que divide entonces se pueden ir y solamente me queda muy cuadrada vamos simplificando bastante bien este ejercicio y bueno ahora que tengo del primero no puedo hacer mucho porque porque tengo los cuadrados y me queda la suma desde y igual a uno hasta n de x subíndice y elevado al cuadrado aquí no se puede hacer mucho dividido entre n todo esto había que dividirlo entre n y bueno después tengo menos muy cuadrada más muy cuadrada pues aquí se va una mutua me queda solamente menos muy cuadrada y ya están tenemos una nueva forma de escribir a la varianza acabamos de encontrar una segunda fórmula alternativa para la varianza la cual podemos utilizar según los datos que tengamos y dice lo siguiente tomen la suma de todos los cuadrados de cada uno de los datos tomamos la suma de todos los cuadrados de cada uno de los datos lo dividimos entre la cantidad de datos ya esto le quitamos la media elevado al cuadrado y de donde salió esta fórmula pues salió de la fórmula original de varianza y utilizando un poco de álgebra hicimos este binomio al cuadrado perfecto y después separamos las sumas y dividimos todo entre n solamente utilizamos un poco de álgebra y encontramos una fórmula alternativa o si lo quieren ver así como una fórmula un poco más pulida en el aspecto de que si tenemos nosotros la media es muy fácil calcular esta fórmula y bueno si quisiera yo escribir todo en términos de xy pues entonces tengo que pasar la media en términos de x para encontrar una tercera fórmula alternativa la media es igual a la suma desde igual a uno hasta n de todos los x y todo esto hay que dividirlo entre n así si yo sustituyó a esta media en mi fórmula alternativa que había sacado puedo encontrar otra fórmula otra forma de escribir esta varianza entonces esto es lo mismo que quien pues primero tengo la suma desde x y desde igual a 1 hasta en de x y elevada al cuadrado y todo esto dividido entre n y después tengo menos la media elevado al cuadrado pero la media es todo esto de aquí entonces si yo sustituyó voy a obtener que es muy cuadrada o dicho de otra manera es la suma desde igual a uno hasta ndx y todo esto elevado al cuadrado la suma desde igual a uno hasta ndx y todo esto cuadrado / pues en el elevado al cuadrado porque el cuadrado de una división es el cuadrado del numerador entre el cuadrado del denominador y darse cuenta que esta fórmula que estoy sacando de nuevo nos sirve cuando no tenemos la media ya dada es decir si no tenemos la media en lugar de calcular la media y después elevarla al cuadrado podemos utilizar la tercera fórmula alternativa que solamente depende de x y ya mí en lo personal me gusta más la segunda fórmula sin embargo creo que la tercera fórmula es muy útil si no tenemos al promedio es decir si no tenemos en la media solamente ponemos todos los datos y con mucho cuidado resolvemos esta operación pero al final lo más importante es que tú te sientas cómodo con alguna de estas tres fórmulas eso ya depende de ti lo que sí quiero que veamos es que las tres fórmulas salieron de utilizar pura álgebra es decir con puro conocimiento de álgebra llegamos de la primera fórmula a la segunda fórmula y sustituyendo a la media llegamos a la tercera fórmula de hecho algunos libros de texto lo que te dicen es la fórmula de la varianza es y ponen la primera y además 3 como alternativa la segunda y como otra alternativa la tercera fórmula espero que todo esto haya sido de tu agrado y hayas entendido bien de dónde salieron cada una de las cosas porque así ya tienes tres formas alternativas de escribir a la varianza por lo pronto nos vemos en el siguiente vídeo