La varianza de una población

supongamos que estoy tratando de evaluar cuántos años de experiencia tenemos en la academia kahn cuántos años de experiencia tenemos en promedio y el tipo de promedio que voy a enfocar en particular es la media aritmética así es que voy encuestó a los compañeros supongamos que esto es cuando la academia kahn era pequeña cuando tan solo había cinco personas en la organización y encuentro esto encuestando a toda la población encuentro que los años de experiencia de la población total de la academia kahn eso es lo que me interesa así que años de experiencia en nuestra organización en la academia kahn eso es lo que nos interesa esto es cuando éramos cinco personas en la academia kahn ahora somos 36 personas pero no quiero que importe la fecha de este vídeo así es que checo llegue una persona que acabe salir de la universidad ese es un año de experiencia otra persona que tiene 3 años de experiencia otra persona que tiene 5 años de experiencia una persona de 7 años de experiencia y alguien muy experimentado con 14 años de experiencia así es que basados en este conjunto de datos y esta sería nuestra población para años de experiencia estoy suponiendo que sólo hay 5 personas en la organización en este momento cuál sería la media poblacional para años experiencia cuál es la media aritmética para estos datos que son los años de experiencia de mi población bueno vamos a calcular la la media mío y estoy usando la letra griega a mí porque estoy refiriéndome a la población estoy refiriéndome al parámetro poblacional esta media es igual a la suma la suma desde el primer dato hasta el enésimo dato de una vez pongo que n es igual a 5 son 5 datos los que tenemos así es que vamos a tener la suma desde igual a 1 hasta 5 de cada uno de mis xy datos esto es igual x 1 más esto por supuesto dividido entre 5 más x 2 más x 3 más x 4 más x 5 dividido entre 5 y como hemos dicho esta es una manera muy elegante indicar que voy a sumar todas estas cosas voy a sumar todos mis datos y luego dividir entre el número de datos que en este caso es igual a 5 hagamos eso sacó la calculadora y vamos vamos a ver los datos aquí podemos ver bien los datos tenemos que es uno más tres más cinco más siete más catorce y esto dividido entre 5 y esto nos da un total de 6 la media poblacional para años de experiencia en mi organización es igual a 66 años de experiencia bien creo que esto es interesante pero ahora quiero hacer otra pregunta quiero obtener una medida de que tanto varían estos datos con respecto a la media que tanto se dispersan con respecto a la media de los datos obviamente podría darle a alguien todos estos datos pero más bien lo que quiero es obtener un parámetro que de alguna manera represente que tanto varían estos números en promedio con respecto a la media poblacional este número que tenemos aquí y cómo quiero medir la variación le llamaré a dicho número la varianza varianza variance aclarando que esto es la varianza de la población es un parámetro la varianza poblacional y la voy a denotar por la letra sigma minúscula está aquí en la cima mayúscula pero esta es sigma minúscula al cuadrado y lo que voy a hacer es tomar la distancia de cada uno de estos datos con respecto a la media la voy a elevar al cuadrado para tener un valor positivo y la voy a dividir entre el número de datos que tenemos básicamente lo que vamos a encontrar es el promedio de la distancia al cuadrado suena un poco complicado pero calculemos lo así que tomo mi primer dato tomo mi primer dato y le restó el valor de la media y lo elevó al cuadrado este número es negativo pero el elevado al cuadrado lo hacemos positivo esto es básicamente la distancia de uno a la media elevada al cuadrado ya eso le voy a sumar la distancia al cuadrado entre el 3 y la media y a eso le voy a agregar la distancia al cuadrado entre el 5 y la media y no importa que esto sea negativo a la elevarlo al cuadrado es positivo 5 6 ó 6 menos cinco no hace ninguna diferencia al elevarlo al cuadrado a eso le voy a sumar la distancia entre el 7 y la media elevado al cuadrado y notemos que estamos hablando de la distancia con respecto a la media poblacional finalmente a esto le voy a sumar la distancia entre 14 y la media poblacional ahí están 7 14 y 6 que es la media población elevada al cuadrado y luego voy a tomar el promedio de estas distancias elevadas al cuadrado es decir voy a dividir toda esta suma entre el número total de datos que es 5 y que obtenemos al hacer la suma de estas distancias al cuadrado bueno calculemos lo aquí abajo esto va a ser igual 165 elevado al cuadrado es 25 más 36 63 elevado al cuadrado es 9 positivo esto más 56 es menos 1 elevado al cuadrado es uno más 7 menos seis es 1 al cuadrado es 1 ya esto finalmente le sumamos 14 menos 68 elevado al cuadrado es igual a 64 dividimos entonces todo esto lo dividimos entre 5 y esto cuánto va a ser igual sacó la calculadora no podía ser mentalmente pero tiene equivocarme mucho cuando lo hago mentalmente esto es igual a 25 más 9 más uno más uno más 64 todo esto dividido entre 5 esto nos da igual a 20 así que el promedio la distancia al cuadrado o la media de la distancia al cuadrado con respecto a la media poblacional es igual a 20 es igual a 20 y tú podrías decir bueno un momento ninguno de estos valores es 20 pero acuérdate calculamos la distancia al cuadro con respecto a esta media poblacional cada uno de estos términos y eso estuvo bien porque los hicimos positivos posteriormente veremos que esto tiene otras propiedades interesantes finalmente como representamos esto matemáticamente ya sabemos que aquí se representa la media poblacional también sabemos cómo representar matemáticamente la media de la muestra espero que la anotación ya no te resulte oscura pero como representamos matemáticamente la varianza poblacional que acabamos de calcular establezcamos entonces que para la varianza poblacional hemos tomado la suma hemos tomado la suma para todos los datos desde el primer dato hasta el enésimo dato de nuestra población este es un parámetro poblacional de nuestro dato pero no tan sólo vamos a sumar los datos sino a cada uno de nuestros datos le vamos a restar la media poblacional vamos a restarle esto de aquí vamos a restarle esto de aquí y lo vamos a elevar al cuadrado lo vamos a elevar al cuadrado y si te fijas aquí sólo estoy expresando el numerador está el numerador la suma de cada una de las diferencias de los valores con respecto a la media elevado al cuadrado para obtener lo que calculamos aquí lo que tengo que hacer es dividir toda esta suma entre el número de datos que tenemos y esta fórmula que se ve tan fea e intimidante lo único que dice es toma tus datos resta le bueno no primero primero calcula la media poblacional calcula la media poblacional a cada uno de los valores de la población préstale el valor de la media poblacional luego eleva al cuadrado la diferencia suma todos esos valores y luego simplemente divide por el número de datos que tienes y vas a obtener la varianza poblacional