If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Resolver cuadráticas al completar el cuadrado

Por ejemplo, resuelve x²+6x=-2 al convertirla en (x+3)²=7 y luego sacar la raíz cuadrada.

Con lo que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta el momento, has resuelto ecuaciones cuadráticas al sacar la raíz cuadrada o por factorización. Estos métodos son relativamente simples y eficientes, cuando se pueden utilizar. Desafortunadamente, no siempre es así.
En esta lección, aprenderás un método para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática.

Resolver ecuaciones cuadráticas al completar el cuadrado

Considera la ecuación x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. La raíz cuadrada y los métodos de factorización no se aplican aquí.
¡Pero no perdamos las esperanzas! Podemos usar un método llamado completar el cuadrado. Comencemos con la solución y luego revisémosla más detenidamente.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Suma 9 para completar el cuadrado.(3)(x+3)2=7Factoriza la expresioˊn de la izquierda.(4)(x+3)2=±7Saca la raıˊz cuadrada.(5)x+3=±7(6)x=±73Resta 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Suma 9 para completar el cuadrado.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Factoriza la expresión de la izquierda.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Resta 3.}\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 y x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

¿Qué pasó aquí?

Sumar 9 a x, squared, plus, 6, x en el renglón start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd tiene el resultado afortunado de hacer la expresión un cuadrado perfecto que puede factorizarse como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. Esto nos permite resolver la ecuación al sacar la raíz cuadrada.
Claro que esto no fue una coincidencia. El número 9 se escogió cuidadosamente para que la expresión resultante fuera un cuadrado perfecto.

Cómo completar el cuadrado

Para entender cómo escogimos el 9, deberíamos hacernos la siguiente pregunta: si x, squared, plus, 6, x es la parte inicial de una expresión cuadrada perfecta, ¿cuál debería ser el término constante?
Vamos a suponer que la expresión puede factorizarse como el cuadrado perfecto left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared donde se desconoce el valor de la constante a. Esta expresión puede desarrollarse como x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, de lo que podemos concluir dos cosas:
  1. El coeficiente de x, que sabemos que es 6, debe ser igual a 2, a. Esto significa que a, equals, 3.
  2. El número constante que debemos sumar es igual a a, squared, la cual es 3, squared, equals, 9.
Trata de completar algunos cuadrados por tu cuenta.
Problema 1
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x, squared, plus, 10, x?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x, squared, minus, 2, x?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x?
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5

Problema de desafío
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x, squared, plus, b, dot, x?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Esta pregunta de desafío nos da un atajo para completar el cuadrado, para aquellos a los que les gustan los atajos y no les molesta memorizar cosas. Nos muestra que para completar x, squared, plus, b, x en un cuadrado perfecto, donde b es cualquier número, necesitamos sumarle left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared.
Por ejemplo, para completar x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x en un cuadrado perfecto le sumamos left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9

Resolver ecuaciones una vez más

¡Muy bien! Ahora que eres un completador de cuadrados certificado, regresemos al proceso de resolver ecuaciones usando nuestro método.
Veamos un nuevo ejemplo, la ecuación x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Suma 25 para completar el cuadrado.(3)(x5)2=13Factoriza la expresioˊn a la izquierda.(4)(x5)2=±13Saca la raıˊz cuadrada.(5)x5=±13(6)x=±13+5Suma 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Suma 25 para completar el cuadrado.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Factoriza la expresión a la izquierda.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Suma 5.}\end{aligned}
Para convertir la expresión original x, squared, minus, 10, x, que está del lado izquierdo, en un cuadrado perfecto, le sumamos 25 en el renglón start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. Como siempre con las ecuaciones, hicimos lo mismo del lado derecho, lo que lo hizo que minus, 12 aumentara a 13.
En general, la elección del número a sumar para completar el cuadrado no depende del lado derecho, pero siempre debemos sumar el número a ambos lados.
Ahora es tu turno para resolver algunas ecuaciones.
Problema 4
Resuelve x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Problema 5
Resuelve x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Arreglar la ecuación antes de completar el cuadrado

Regla 1: separar los términos variables del término constante

Así se obtiene la solución de la ecuación x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Resta x.(3)x2+4x=7Suma 6.(4)x2+4x+4=11Suma 4 para completar el cuadrado.(5)(x+2)2=11Factoriza.(6)(x+2)2=±11Saca la raıˊz cuadrada.(7)x+2=±11(8)x=±112Resta 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Resta }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Suma 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Suma 4 para completar el cuadrado.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Factoriza.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Resta 2.}\end{aligned}
Completar el cuadrado en uno de los lados de la ecuación no sirve si tenemos un término con x en el otro lado. Esta es la razón por la que restamos x en el renglón start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, así tenemos los términos variables en el lado izquierdo.
Además, para completar x, squared, plus, 4, x como cuadrado perfecto, necesitamos sumarle 4. Pero antes de hacer eso, necesitamos asegurar que todos los términos constantes están al otro lado de la ecuación. Por esto sumamos 6 en el renglón start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, para dejar solo a x, squared, plus, 4, x.

Regla 2: asegúrate de que el coeficiente de x, squared sea igual a 1.

Así se obtiene la solución de la ecuación 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42:
(1)3x236x=42(2)x212x=14Divide entre 3.(3)x212x+36=22Suma 36 para completar el cuadrado.(4)(x6)2=22Factoriza.(5)(x6)2=±22Saca la raıˊz cuadrada.(6)x6=±22(7)x=±22+6Suma 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Divide entre 3.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Suma 36 para completar el cuadrado.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Factoriza.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Suma 6.}\end{aligned}
El método de completar el cuadrado solo funciona si el coeficiente de x, squared es 1.
Es por esto que en el renglón start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c dividimos entre el coeficiente de x, squared, que es 3.
Algunas veces, dividir entre el coeficiente de x, squared dará como resultado otros coeficientes que serán fracciones. Esto no significa que hiciste algo mal, simplemente necesitarás trabajar con fracciones para poder encontrar la solución.
Ahora es tu turno de resolver una ecuación como esta.
Problema 6
Resuelve 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.