Ejemplo resuelto: volver a escribir expresiones al completar el cuadrado

veamos si puedo tomar esta expresión cuadrática de aquí es decir x cuadrada más 16 x 9 y escribirla de esta forma y tal vez estás pensando hey sal porque debería de preocuparme por esto y bueno una de las razones es porque ser capaz de manipular cosas como estas y pasarlas a este tipo de formas es muy buena práctica algebraica pero como veremos en el futuro lo más importante de todo esto es que esta técnica se llama completando el cuadrado y es una técnica muy valiosa para resolver ecuaciones cuadráticas y de hecho es la base de la prueba de la fórmula cuadrática la cual aprenderás en un futuro pero no con más ansias mejor primero vamos a resolver este ejercicio vamos a trabajar con esta técnica muy interesante entonces como escribimos esto de esta forma bueno una manera de ver esto es que si expandimos esta parte que tenemos aquí que me quedaría me quedaría cuadrada x cuadrada más dos veces el primero por el segundo dos veces x por am que es lo mismo que a x más el cuadrado del segundo que en este caso es a entonces me quedaría más cuadrada y claro no olvidemos esta vez más b entonces vamos a tomar esta expresión que tengo aquí la voy a escribir de nuevo pero esta vez la voy a escribir con un pequeño espacio adentro de ella me voy a tomar x cuadrada x cuadrada más 16 x 16 x y por acá voy a poner al 9 espacio 9 y ahora quiero que observes lo siguiente primero tenemos aquí esta x cuadrada que también la tenemos aquí aquí tenemos una x cuadrada pero después tenemos aquí uno más 16 x y aquí tenemos 12 x entonces si queremos que 2a x sea lo mismo que 16 x eso quiere decir que cuanto tiene que ser a déjame ponerlo aquí aquí voy a poner 2 a x2 x x y bueno eso significa que entonces 2 a tienes que ser 16 o dicho de otra manera am tiene que ser 8 tiene que ser 8 entonces si quiero tener aquí una cuadrada aquí quiero tener una cuadrada y a vale 8 entonces aquí tengo que sumar el cuadrado de 8 que es 64 64 pero ten cuidado no puedes agregar números de la nada en una expresión sin cambiar el valor de la expresión entonces si no quieres cambiar el valor total de esta expresión lo que necesitamos hacer es restar 64 y restar 64 entonces no está todo lo que he hecho ahorita fue simplemente tomar nuestra expresión original y le sume 64 y leer este 64 por lo tanto no estoy cambiando el valor de la expresión pero lo valioso de todo esto es que ahora esta primera parte encaja muy bien con el patrón del cuadrado perfecto que tenemos a la derecha encaja muy bien justo con este patrón que tengo aquí con este patrón que tengo aquí tenemos x cuadrada más dos veces a x en este caso recuerda que a vale 8 y entonces a cuadrada vale 64 y si te preguntas cómo obtuve es de 64 entonces recuerda lo siguiente tome el 16 lo divide a la mitad y lo eleve al cuadrado así llegamos al 64 entonces lo que puse adentro de este rectángulo morado será déjame ponerlo aquí va a ser lo mismo que x 8 esto elevado al cuadrado y una vez más sabemos que es esto porque sabemos que a vale 8 entonces aquí me queda x 8 elevado al cuadrado y luego viene todo esto que está a la derecha todo esto que tengo aquí y bueno cuánto es 9 - 64 piénsalo así 64 menos 9 55 entonces esto de aquí será lo mismo que menos 55 y hemos terminado escribimos esta expresión de esta forma lo que se conoce como completando el cuadrado