La fórmula cuadrática

en este vídeo voy a hablarles acerca de una fórmula importantísima en matemáticas esta es una de las fórmulas más importantes que hay en todas las matemáticas de hecho hasta se podría decir que entra en mi top 5 de fórmulas porque es la fórmula que soluciona todas las ecuaciones del segundo grado y me estoy refiriendo a la solución general de las ecuaciones de segundo grado o la fórmula cuadrática así que déjame escribirlo aquí arriba en este vídeo quiero hablarles acerca de la fórmula cuadrática fórmula cuadrática muy bien y la fórmula cuadrática lo que hace es solucionar todas las ecuaciones de este estilo a x cuadrada déjame cambiar de color voy a poner a x cuadrada más bx más c igual a cero ay que es cuadrada más bx más e igual a cero en donde la a es el coeficiente de la ex cuadrada la b es el coeficiente de la x y la c es el coeficiente de la x la cero o es el coeficiente libre es decir constante y todo esto igualado y tú ya has visto esto en varias ocasiones porque hemos trabajado con esto en muchos vídeos anteriores y lo que nosotros veíamos en vídeos pasados era encontrar las raíces de esta ecuación pues con la fórmula cuadrática vamos a encontrar las soluciones de una manera muy sencilla porque la fórmula cuadrática nos dice que las raíces se ven de este estilo la equis que buscamos es igual a menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 ac entre 2 am y yo no soy muy fanático de que se aprenda en todas estas fórmulas sin embargo creo que es muy importante que tú trabajes con esta fórmula y aunque en un par de vídeos te voy a demostrar de dónde sale esta fórmula que por cierto sale solamente completando el binomio cuadrado perfecto estaría excelente que la tuvieras muy fresca que la tuviera siempre a la mano y que te la supieras de memoria porque esta fórmula la vamos a ocupar muchísimas veces para resolver todas las ecuaciones de este estilo porque entonces es justo lo que nos está diciendo esta solución general de ecuaciones de segundo grado o la fórmula cuadrática no está diciendo que las soluciones se ven de esta manera y bueno para entenderla mejor sería muy bueno que empezáramos a hacer algunos ejercicios para que veas exactamente bien a qué me refiero con esta fórmula cuadrática así que vamos a tomarnos x cuadrada más 4 x menos 21 igual a 0 y bueno aquí cuánto vale a cuánto vale b y cuánto vale s voy a cambiar de color a va a valer 1 que es el coeficiente que está al lado de la x cuadrada ojo muy importante solamente vale 1 no vale x cuadrada b vale 4 que es el coeficiente que está lado de la x no vale 4x solamente vale 4 el coeficiente y se va a ser igual a menos 21 que es el coeficiente libre o el coeficiente de la x a la 0 y bueno pues apliquemos la fórmula la fórmula lo que me dice es que la solución de esta ecuación de segundo grado es de la siguiente manera - de m es decir menos por 4 me da menos 4 más menos la raíz cuadrada de de cuadrada pero vale 44 elevado al cuadrado es lo mismo que 16 ya esto hay que quitarle menos 4 veces hacen vale 1 entonces es menos 4 por 1 por c pero se vale menos 21 así que aquí voy a poner el 21 y voy a decir que menos por menos me da más bueno no de hecho mejor dejemos ponerlo con mucha calma porque es apenas el primer ejercicio que estamos haciendo menos 4 por 1 por menos 21 todo esto dividido entre 2 a 2 por 1 es 2 y por lo tanto esto hay que dividirlo entre 2 todo esto entre 2 muy bien espero que hasta aquí vayamos bien y esto lo que tiene que valer x y ahora pues vamos a realizar las correspondientes operaciones x es igual a menos 4 más menos la raíz cuadrada de 16 menos menos x menos ahora si me da más puedo cancelar este menos y entonces me queda 4 por 1 por 21 es 84 84 16 es lo mismo que 100 perfecto 84 más 16 es siempre es un cuadrado perfecto y todo esto entre 2 y bueno entonces me queda menos 4 más 1010 es la raíz cuadrada de 100 y todo esto dividido entre 2 y a continuación lo que voy a hacer es dividir 4 entre 2 y 10 entre 2 y me va a quedar menos 4 entre 2 me da menos 2 más menos 10 entre 2 que es 5 y por lo tanto me está diciendo que las soluciones de esta ecuación que tengo aquí arriba las raíces son menos 25 lo cual me va a dar 3 positivo o en su dado caso es menos 2 menos 5 lo cual me da menos 7 entonces mis dos raíces es x igual a 3 x igual a menos 7 que por cierto nosotros podríamos meter estas raíces adentro de esta ecuación y verificar que en efectos sean éstas las raíces de esta ecuación o en su dado caso podemos hacer lo que ya sabemos podemos factorizar esta expresión y decimos dos números que multiplicamos menos 21 y que sumados me den 4 pues esto es x + 7 x x menos 3 igual a menos 21 y entonces ya tenemos los dos números que buscábamos porque un 7 por menos 3 me da menos 21 y 7 menos tres me da 4 esto ya lo hemos visto en varios vídeos no no perdonen perdonen aquí en cero no es 21 es igual a 0 es una ecuación que está igualada 0 y entonces nos queda que x 7 es igual a 0 en su dado caso x 3 era igual a 0 esto ya lo habíamos visto varias veces y en el primer caso me queda que x es igual a menos 7 y en el segundo caso me queda que x es igual a 3 que que creen son las mismas raíces que habíamos encontrado y entonces vamos a decir oye sal pero entonces para que encontramos todas estas fórmulas y ya no sabemos hacer pero la respuesta a esa pregunta es que esta solución general de ecuaciones de segundo grado sirven para todas las ecuaciones de segundo grado inclusive las que son bien difíciles de factorizar así que vamos a ver un ejemplo de una ecuación que no sea tan fácil de factorizar y un problema en donde me sirva bastante la solución general de ecuaciones de segundo grado que por cierto la voy a escribir aquí la fórmula cuadrática me dice que x es igual a menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 hace entre 2 am y vamos a tomarnos la ecuación 3x cuadrada déjame cambiar de color 3x cuadrada más x igual a menos 10 este es el problema que vamos a resolver ahora y entonces lo primero que hay que hacer es igualar esta ecuación a 0 esto es lo primero que tienes que hacer cuando tengas una ecuación de segundo grado y quieras utilizar la fórmula cuadrática y me queda 3x cuadrada más 6 x 10 igual a 0 y entonces ahora sí vamos a aplicar esta fórmula y para esto hay que encontrar a b y c este de aquí es am este de aquí es b el coeficiente y este de aquí s así que vamos a aplicar la fórmula me queda que x es igual a quien x es igual a menos b - b es decir menos 6 v6 y entonces solamente estoy sustituyendo estos valores de abc en esta solución general de ecuaciones de segundo grado menos 6 más menos la raíz cuadrada de b cuadrada es decir de 6 al cuadrado menos 4 por a por c menos 4 x 3 10 se vale 10 y todo esto hay que dividirlo entre 2 por a 2 por a pero a la letra s entonces me quedan dos por tres muy bien entonces a continuación lo que hubiese de simplificar un poco esta expresión me queda menos 6 más menos la raíz cuadrada de 6 al cuadrado que es 36 menos 4 por 3 por diez lo cual es 120 lo cual es 120 nos estamos metiendo en un caso especial pero ahorita van a ver a qué me refiero 4 por 16 40 por 13 120 y todo esto hay que dividirlo entre dos por tres que es 6 y bueno a continuación vamos a ver cuántos 36 menos 120 lo cual creo que es menos 84 bueno para estar seguros vamos hacer la operación aquí al lado porque nada me cuesta hacer la operación y así no nos equivocamos y además vamos a ver cuánto me da de resultado lo que está dentro de la raíz para sacar la raíz 6 para cero no se puede entonces aquí se vuelve 10 aquí se vuelve 11 es 4 y georg o 84 pero aquí tenemos menos 6 más menos la raíz cuadrada y no es 120 menos 36 es 36 menos 120 por lo tanto resultados menos 84 84 negativo y todo esto dividido entre 6 y en este momento más decir oye sal como sacamos la raíz cuadrada de un número negativo esto no se puede y bueno no se pueden los números reales por lo tanto en esta ocasión estamos diciendo que cuando no salen raíces de números negativos estamos hablando de números imaginarios esto lo voy a introducir en unos vídeos con mucho más calma para que tengamos todas las soluciones las ecuaciones de segundo grado pero ahorita lo que les puedo decir es que no existen soluciones reales de esta ecuación no hay ningún número real de los números que nosotros manejamos que cumplan que al ponerse en esta ecuación me dé igual a cero porque tenemos la raíz cuadrada de un número que es negativo entonces cada vez que tengamos la raíz cuadrada de números negativos aunque pronto sabremos que son los números imaginarios nosotros podemos contestar que esta ecuación no tiene solución o no tiene más bien en los números reales hay que tener cuidado que be cuadrada menos 4 hace sea positivo y es que es más lo podemos graficar y vamos a ver qué es lo que encontramos nos vamos a encontrar con una parábola que abre hacia arriba porque x cuadrado es positivo pero que nunca cruza al eje de las x así que déjenme mejor borrar todo esto y pongo tres x cuadrada más 6 x más 10 y lo que quiero es graficar esta función recuerda que todas las ecuaciones cuadráticas tienen como gráfica una parábola y si esta parábola no toca el eje de las x entonces no existen valores que la hagan celo ahí está ya se dieron cuenta tenemos una gráfica que nunca se acercan ni siquiera tantito al eje de las x aquí está el vértice y a partir del vértice empieza a subir la parábola para ambos lados esta función nunca cruza a legislas x por ninguna parte te das cuenta mi función baja llega al vértice y después empieza a subir y es cóncava hacia arriba y entonces nunca cruza el eje las equis y es por eso que no tenemos raíces en los números reales pero bueno vamos a tomarnos un último ejemplo y vamos a resolver este ejemplo y con esto vamos a entender mucho mejor la fórmula cuadrática mb a tomar menos 3x cuadrada más 12 x más 1 igual a 0 a ver qué encontramos de esto y bueno para esto hay que saber cuánto vale a b y c ya está igual a cero por lo tanto ya sabemos que podemos utilizar la fórmula cuadrática y me quedan menos b pero b es 2 entonces es menos 12 más menos la raíz cuadrada debe al cuadrado 12 al cuadrado que 144 12 por 12 menos 144 menos 4 por 14 es decir menos 4 x menos 3 porsche que vale 1 en este caso vale menos 3 se vale 1 y todo esto dividido entre 12 como vale menos 3 entonces me queda menos 6 y bueno esto cuanto es igual a menos 12 más menos la raíz cuadrada de 144 menos por menos se vuelve más y cuatro por tres me da 12 entonces es 12 144 156 y a esto hay que dividirlo todo entre menos 6 y estamos bien 12 144 si es 156 ya esto hay que dividirlo entre menos 6 y que me va a quedar bueno primero que saber cuánto es la raíz cuadrada de 156 y yo no recuerdo ningún entero que al elevarlo al cuadrado me salga 156 por lo tanto lo que voy a hacer es factorizar lo más que se pueda el 156 y entonces me va a quedar 156 tiene mitad la mitad es 78 78 también tiene mitad la mitad de 78 es 39 39 por 2 778 39 39 es primo entonces ya puedo certificar un poquito la raíz lo que estoy diciendo es que la raíz de 156 es lo mismo que la raíz de 2 por 2 por 39 2 por 2 por 39 pero podemos dividir esta raíz de la siguiente manera la raíz de 2 por 2 por la raíz de 39 24 raíz cuadrada de 4 es 2 entonces me queda 2 por la raíz de 39 y esta raíz es un poco más amigable que la raíz de 156 porque si yo sustituyó aquí arriba que me va a quedar pues me queda menos 12 esto es lo mismo que menos 12 más menos 2 veces la raíz de 39 la raíz de 156 es dos veces la raíz de 39 entre menos 6 y bueno qué pasa si divido tanto arriba como abajo entre 2 esto va a ser mucho más amigable y me queda menos 6 más menos la raíz de 39 el 2 con el 2 evans y abajo me queda entre menos 3 y bueno voy a separar la división y me queda menos 6 entre menos 3 más menos la raíz cuadrada de 39 entre menos 3 y esto lo estoy haciendo porque menos y menos se van esto se puede reducir bastante y 6 entre 13 es 2 entonces me queda dos aquí en un menos pero menos podría afectar estos signos sin embargo como tengo dos raíces una positiva y una negativa es lo mismo tomar más menos que menos más lo voy a poner como más menos 2 más menos la raíz de 39 entre 3 y hasta ahorita que vamos lo que estoy diciendo es que la solución general de esta ecuación es decidir x es igual a 2 + menos la raíz de 39 entre 3 y quiero ser bastante claro en este último paso no quiero que te confundas y medidas porque quitaste este menos de aquí abajo entonces lo voy a poner aquí como 2 más la raíz de 39 entre menos 3 como si estuviera tomando el menos todavía me queda dos menos la raíz de 39 entre menos 3 y fíjate que vamos a llegar yo lo que te decía es que tenemos más menos y menos y más pero fíjate que llegamos a lo mismo me quedaría más entre menos me da menos y me queda 2 - la raíz de 39 entre 3 y aquí menos entre menos me da más me queda dos más la raíz de 39 entre 3 que es exactamente lo mismo que dos más menos la raíz de 39 entre 3 que es justo lo que teníamos aquí arriba te das cuenta 2 más menos la raíz de 39 entre 3 por lo tanto este menos era distinto ponerlo no y lo que quiero que veas es que estas son las soluciones de esta ecuación cuadrática que tenemos aquí es más tengo curiosidad vamos a ver que nos sale de graficar esta función si yo pusiera y es igual déjeme borrar todo esto y es igual a menos 3 x cuadrado menos 3 x cuadrada más 12 x más 1 y quiere ver cómo se ve la gráfica de esta función la gráfica moss iba para arriba y baja perfecto fíjate tenemos dos raíces toca al eje de las x en dos puntos ya ver que no sale fíjate bien tenemos dos más menos la raíz de 39 entre 3 la raíz de 39 es un poquito más de 6 porque 6 x 6 636 la raíz de 36 6 entonces es un poquitito más de 66 entre 3 me da 2 esto es un poquito más de 2 y bueno 2 más 2 con un poquito me saldría 4 con un poquito y dos menos dos con un poquito me saldría 0 con un poquito es decir 0 y un poquitito más entonces fíjate aquí tengo 1 2 3 4 y es lo que teníamos y aquí tengo al ladito del 0 es decir 0 con un poquito y entonces estamos bien y espero que este vídeo te haya sido bastante útil en donde hemos estado hablando acerca de la fórmula cuadrática