La estructura en una expresión exponencial

digamos que la posición de una partícula está dada por esta expresión de aquí esta expresión horrenda que es menos de a la menos t más sea la cuarta dividido entre sea al cuadrado más 111 y de mayores que 1 esta expresión horrenda y lo que quiero hacer en este vídeo es tratar de ver que podemos inferir a partir de esta expresión acerca del movimiento de la partícula como empieza como se va moviendo si avanza ni retrocede qué le sucede a la partícula y lo primero primero que quiero hacer es encontrar su posición inicial su posición cuando el tiempo te vale cero así que los invito a pasar este vídeo ya tratar de encontrar la respuesta por ustedes mismos si ya pasaron el vídeo y ya encontrarán la respuesta vamos a ver qué podemos decir acerca de la posición inicial como decía la posición inicial ocurre cuando te es igual a cero por lo tanto quiero encontrar p d 0 0 cuanto vale esto pues sería menos de menos de simplemente voy a sustituir te iguala 0 menos de a la menos cero - de al menos 0 más sea la cuarta base a la cuarta todo esto dividido entre se cuadrada más bien y cuánto es esto pues de es distinto de cero porque de es mayor que 1 así que como d es distinto de cero este término de aquí este primer término es realmente de ala 0 pero de a la cero como de es distinto a cero simplemente es uno es uno ahora sólo tengo que tomar en cuenta ese menos que tenía fuera y voy a reescribir esto como sea la cuarta menos uno recuerden que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es 10 a la 0 no está definido pero cualquier número distinto de cero si así que esto es sea la cuarta menos 1 dividido entre pse al cuadrado más 1 ahora quizás ustedes puedan notar que esto es una diferencia cuadrados puede escribir esto como sea al cuadrado al cuadrado menos 1 / sea al cuadrado más 1 y como esto es una diferencia de cuadrados yo sé que lo puede escribir como sea al cuadrado menos 1 por se al cuadrado más 1 esto es este término en el numerador y todavía tengo que dividir todo entre pse cuadrada + 1 ahora éste se cuadrado más uno es distinto de cero por lo tanto lo puedo cancelar o cancelar este con este y escribir el resultado como se cuadrada menos 1 así que la posición inicial de la partícula cuando te es igual a cero esto se cuadrada menos 1 se simplifica bastante bonito bien pues ahora les quiero preguntar ya que sabemos la posición inicial de la partícula qué es lo que le pasa a su posición su función de posición va a crecer va a disminuir se va a quedar estática sube y baja no sé no tengo ni idea de que haga pero traten de responder esa pregunta que hace la función de posición y bueno de nuevo los invito a para usar el vídeo y asumiendo que ya lo hicieron veamos antes que nada noten que el único término que depende explícitamente el tiempo es este de a la menos t este cachito que acaba de cerrar es lo único que depende del tiempo todo lo demás se mantiene constante por lo tanto sería bueno estudiar qué pasa con ese término primero vamos a hacer una gráfica vamos a poner aquí me deje dónde voy a poner la función de la menos t y mi eje horizontal que va a representar el tiempo ahí está más o menos ahora cuando el tiempo es cero de al menos t simplemente de a la 0 que es 1 recuerden que d es mayor que 1 por lo tanto eso está bien definido así que cuando t es igual a 0 en la función vale 1 cuando t es igual a 1 cuando t es igual a 1 de al menos uno es uno entre d y como de es mayor que 1 1 entre d tiene que ser menor que 1 voy a suponer que uno entre d está por aquí ahí está uno entre d y la gráfica en la función pasaría por este punto cuando t es igual a 2 pues si uno entre d era menor que 1 1 entre de cuadrada es aún más chico que uno entre d porque d es mayor que 1 por lo tanto por lo tanto pasaría más o menos por ahí y creo que ya ven lo que pasa si completarán la gráfica se vería algo así es una función decreciente cada vez está tomando valores más y más chicos por lo tanto esto que tengo encerrado aquí es una función decreciente decreciente pero tengo este menos acá aguas entonces veamos qué está pasando con todo ahora con entonces qué está pasando ahora con todo lo que tengo encerrado pero ahora en verde pues estoy restando pero estoy restando cosas cada vez más pequeñas cuando t es igual a 0 resto 1 cuando t es igual a 1 resto 1 entre d cuando t es igual a 2 resto 1 / de cuadrada cada vez restó números más pequeños a este número que es una constante por lo tanto esto como cada vez restos números más pequeños si toma en cuenta al menos es una función creciente creciente siempre que tengan una función decreciente si le ponen un menos adelante se va a volver creciente la gráfica de echo de menos de de menos de al menos t se vería como el reflejo de esta gráfica sobre el eje x se vería algo así esta de aquí sería menos de al menos d bien así que cada vez estoy quitando números más pequeños a un número que está fijo por lo tanto esta función en sí tendría un comportamiento creciente toda esta expresión ya que junto a todos los valores sería una función creciente así que el comportamiento de toda la función de posición está dictado por el comportamiento de esto que está encerrado en verde que es creciente y por lo tanto la posición es un número creciente empiecen se al cuadrado menos uno que es positivo por esta suposición de aquí y comienza a crecer ahora la pregunta es cuál es el valor máximo hasta cuánto puedo crecer o cuál sería el comportamiento en el límite ok de nuevo pausa en el vídeo si gustan y tratemos de responder esto pues este término en lo que está encerrado en verde - de al menos t es un término que se está haciendo cada vez más cercano a cero es un término que se hace más y más pequeño en valor absoluto y se acerca a cero pero jamás alcanza a tocar el cero esta gráfica se iría así y se pegaría pegaría pegaría sin jamás tocar el eje así que este término este término se acerca a 0 acerca cuando cuando t se va a infinito de modo que si me voy a límites y me imagino que pudiera llegar a este infinito qué pasaría si te está en el infinito entonces este término sería efectivamente cero y básicamente tendría 0 + sea la cuarta 0 + sea la cuarta que sea la cuarta / sea al cuadrado más uno y ese sería el límite de la función de posición sería un valor al que parece que estoy tendiendo sin jamás alcanzarlo porque está en el límite