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Contenido principal

Crecimiento lineal y exponencial: a partir de datos (ejemplo 2)

Sal construye una función que modela agua enfriándose. Para hacer eso, él decide si la función es lineal o exponencial.

Transcripción del video

la temperatura de un vaso de agua caliente después de ponerlo en un refrigerador se representa en la siguiente tabla y aquí tenemos la tabla donde el tiempo está en minutos y la temperatura que está en grados celsius es decir la temperatura dada para un tiempo dado y después nos preguntan cuál modelo para cdt es decir la temperatura del vaso de agua de minutos después de refrigerado es el que mejor se ajusta a los datos y aquí tenemos estos cuatro modelos así que una vez que ya los viste sería buen momento para que pausa el vídeo y veas cuál de estos cuatro modelos es el que mejor se ajusta a los datos muy bien esperando que ya lo hayas hecho ahora vamos a trabajarlo juntos y lo primero que quiero que veas es lo siguiente aquí en estos cuatro modelos tenemos dos modelos lineales y dos modelos exponenciales así que sería muy bueno recordar a qué me refiero con un modelo lineal y a qué me refiero con un modelo exponencial para que un modelo lineal sea el correcto necesitas tener cambios fijos en el tiempo y también tener cambios fijos en la temperatura es decir cambios iguales en el tiempo me van a dar cambios iguales en la temperatura mientras que si pensamos en un modelo exponencial lo que necesitamos es cada vez que cambie el tiempo multiplicar la temperatura por un factor en común eso quiere decir que entonces el cambio del minuto 1 al minuto 2 o de minuto 2 al minuto 3 no va a tener un cambio fijo lo que vamos a hacer es multiplicar por un mismo factor vamos a estar multiplicando por un mismo factor así que vamos a ver qué opción se ajusta mejor para eso veamos qué es lo que pasa con nuestros cambios en el tiempo y en la temperatura en el tiempo si observas vamos a hacer un cambio de dos minutos así que déjame ponerlo así delta de tm va a ser igual a dos minutos mientras que la temperatura que es lo que va a pasar bueno primero qué te parece si pensamos en un modelo lineal si pensamos en un modelo lineal cuanto hay de 80 a 60 y 4.3 se observa lo que hicimos fue restar restamos 15.7 entonces nuestro cambio va a ser de menos 15.7 bien esto si lo pensamos como un cambio lineal pero si lo pensamos como un cambio exponencial lo que necesitaríamos es multiplicar por un factor y como encontraríamos ese factor bueno para eso habrá que pensar por qué factor voy a multiplicar a 80 para llegar a 60 y 4.3 entonces vamos a pensarlo de este lado como un modelo exponencial y bueno para encontrar ese factor que te parece si dividimos 60 punto 3 entre 80 y para hacerlo más rápido voy a traer por aquí a mi calculadora y vamos a hacerlo 64.3 entre 80 esto me da 0.80 entonces redondeado esto es aproximadamente x 0.8 muy bien entonces si lo pensamos como un modelo lineal de 80 a 60 y 4.3 lo que hicimos fue restar 15.7 pero si lo pensamos como un modelo exponencial lo que hicimos fue multiplicar a 80 por 0.8 para llegar a 60 y 4.3 muy bien vamos a ver qué pasa en los siguientes dos minutos nuestro cambio otra vez es de 2 minutos delta de tm es igual a 2 minutos y ahora vamos a ver qué es lo que pasa de 64.3 a 52.7 si lo pensamos como un cambio lineal bueno lo que tenemos que ver es cuánto le tuvimos que quitar a 64.3 para llegar a 50 y 2.7 y bueno si lo pensamos así 64.7 serían 12 unidades para llegar a 50 y 2.7 pero estamos con 64.3 así que me quedarían 0.6 entonces le quitemos 11.6 muy bien esto si lo pensamos como un modelo lineal si lo pensamos como un modelo exponencial entonces vamos a ver cuántos 52.7 entre 60 y 4.3 y de nuevo voy a traer por acá mi calculadora y voy a decir 52.7 esto lo voy a dividir entre 60 y 4.3 y esto me dá 0.81 casi 0.82 así que déjame escribirlo esto me dan aproximadamente 0.82 ahora podemos ver otro cambio de dos minutos en el tiempo que parece ser bastante bueno pero solamente con ver esto que tenemos aquí ya podemos darnos una idea de qué es lo que está pasando si observas el cambio en la temperatura en nuestro modelo lineal no es tan cercano por una parte tenemos menos 15.7 otra menos 11.6 lo que no es tan cercano a comparación de aplicarnos en el modelo exponencial donde si estamos multiplicando por un factor que parece común 0.8 entonces con esto estarías muy tentado a decir que ese dt ya lo podemos ver de la siguiente forma lo podemos ver como el valor inicial que es 80 déjame ponerlo con este color el valor inicial que es 80 que multiplica al factor oa la razón común que en este caso es 0.8 vamos a ponerlo así 0.8 esto elevado a la t esto elevado a la potencia tm pero ten cuidado esto sería cierto si el cambio en el tiempo fuera de un minuto si aquí tuviéramos 0 después 1 después 2 y así sucesivamente pero observa que nuestro cambio en el tiempo es de 2 minutos por lo tanto en este modelo no es cierto cambio en el tiempo si quisiéramos modificar este modelo para que fuera cierto lo que tendríamos que decir es que nuestra razón 0.8 lo vamos a elevar a tm sobre 2 y ahora observa este modelo es cierto porque si el tiempo vale cero entonces me quedarían cero entre dos lo cual es cero esto se hace uno y me quedarían 80 y después si el tiempo fuera dos minutos tendría dos sobre dos lo cual es 1 y me quedarían 80 x 0.8 solamente una vez que es lo que pasa aquí y llegaríamos el valor de 64.3 y bueno si el tiempo fuera 4 entonces tendríamos 4 sobre 2 lo cual es 2 y me quedaría 80 que multiplica a 0.8 que multiplica a 0.8 que es justo el que pasaba aquí y para que lo veas con mayor claridad lo podemos ver aquí no sé si hacemos una pequeña tabla me voy a tomar por aquí una pequeña tabla de ponerlo así y algo más o menos así y bueno si yo pongo que aquí tenemos al tiempo y aquí hace de té y vamos a comprobar esta función qué te parece si vemos qué pasa cuando el tiempo vale 0 bueno cuando el tiempo vale cero aquí me quedaría cero entre dos lo cual es cero 0.8 elevado a cero es uno y simple y sencillamente me quedo con 80 podremos poner qué pasa con el tiempo vale 1 o bueno mejor vamos a hacerlo con estos tiempos que tenemos aquí vamos a ver qué pasa cuando el tiempo vale 2 cuando el tiempo vale 2 me quedaría 80 que multiplican a 0.8 elevado al lado sobre 2 es decir que multiplica a 0.8 elevado la primera potencia y bueno eso va a ser muy parecido a 64.3 va a ser una buena aproximación se va a ajustar los datos vamos a ver qué pasa cuando el tiempo vale 4 bueno cuando el tiempo vale 4 me va a quedar 80 que multiplica a 0.8 elevado a la 4 entre 24 entre dos es 2 es decir me quedaría 0.8 elevado al cuadrado y bueno eso va a ser cercano o una buena aproximación a 52.7 y si quieres lo podemos comprobar aquí si yo me tomo mi calculadora y la pongo por aquí y digo 0.8 esto lo elevó al cuadrado y después lo multiplicó por 80 voy a llegar a 50 y 1.2 aquí tengo 52.7 pero en verdad esta es una buena aproximación realmente estoy ajustando bien los datos así que aunque hay algo de diferencia puedo decir que es una buena aproximación así que déjame quitar la calculadora y observa cómo este modelo si va funcionando y es por eso que realmente me gusta mucho este modelo que tengo aquí pero si observas no está en ninguna de mis opciones así que vamos a escribirlo de otra manera para que se vea como una de mis opciones en la que puedo escribir es la siguiente puedo decir que esto es exactamente igual que 80 que multiplica a quien bueno esto va a ser lo mismo que 80 que multiplica a 0.8 esto elevado a la potencia un medio y después todo esto elevado a la potencia de estas dos expresiones son iguales y bueno si vemos cuánto es 0.8 elevado a un medio y para eso voy a traer por acá mi calculadora vamos a hacerlo y ver cuánto es esta cantidad de aquí 0.8 elevado a un médium es exactamente lo mismo que sacar la raíz cuadrada me va a quedar 0.89 aproximadamente 0.89 así que déjame escribirlo esto va a ser aproximadamente aproximadamente 80 lo voy a poner con su respectivo color 80 que multiplica a 0.89 0.89 esto elevado a la potencia de esto elevado a la potencia tema ahora observa 0.89 es muy cercano a 0.9 que es esta opción que tenemos aquí así que ésta se aproxima muy bien a nuestro modelo que tenemos es una muy buena aproximación al modelo que obtuvimos y esta es la forma en la que más me gusta resolver este ejercicio porque se me hace una forma de resolverlo bastante razonable pero tal vez haya otra forma de resolverlo lo que se me ocurre es ver las opciones que tengo acá abajo si observas todas estas opciones tienen como valor inicial a 80 entonces lo primero que quiero que descartemos es que es un modelo lineal porque no tenemos cambios iguales y entonces nos vamos a fijar en los modelos exponenciales y si observas tenemos solamente dos modelos exponenciales este que tengo aquí y este que tengo aquí ahora bien podemos descartar de una manera muy rápida este modelo que tengo aquí porque se observa estoy multiplicando por 0.81 cada año y yo lo que quiero es llegar a ese mismo valor pero cada dos años por lo tanto de ninguna manera voy a obtener que cada dos años multiplique por un factor de 0.81 así que de esa manera descartaría este que tengo aquí y bueno podemos ver que este es el modelo que buscamos porque observa que 0.9 multiplicado por sí mismo que un cambio de 0.81 cada dos años que es muy buena aproximación al factor que tengo y una vez más es por eso que esta es la opción que más nos gusta