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Contenido principal

Resolver cuadráticas por factorización

Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas como (x-1)(x+3)=0, y a utilizar la factorización para resolver otras formas de ecuaciones.

Con lo que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta ahora has resuelto ecuaciones lineales, que incluyen términos constantes (números) y términos con la variable elevada a la primera potencia left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Puede ser que también hayas resuelto algunas ecuaciones cuadráticas, que incluyen variables elevadas a la segunda potencia, al aplicar raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
En esta lección aprenderás una nueva forma de resolver ecuaciones cuadráticas. Específicamente, aprenderás
  • cómo resolver ecuaciones factorizadas como left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0, y
  • cómo utilizar métodos de factorización para convertir otras ecuaciones left parenthesiscomo x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis a la forma factorizada y resolverlas.

Resolver ecuaciones cuadráticas factorizadas

Supón que se nos pide resolver la ecuación cuadrática left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Este es un producto de dos expresiones, y es igual a cero. Observa que cualquier valor de x que haga que left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis o left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis sea cero, hará que el producto sea cero.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
El sustituir x, equals, 1 o bien x, equals, minus, 3 en la ecuación tiene por resultado la ecuación verdadera 0, equals, 0, así que ambos valores son soluciones de la ecuación.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Resuelve left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
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Resuelve left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
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Pregunta para reflexionar

¿Podemos usar el mismo método de resolución con la ecuación left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
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Una observación sobre la propiedad del producto-cero

¿Cómo sabemos que no existen otras soluciones que no sean las dos que nos encontramos con nuestro método?
La respuesta la obtenemos a partir de una propiedad simple pero muy útil que se llama la propiedad del producto-cero:
Si el producto de dos cantidades es igual a cero, entonces al menos una de las cantidades debe ser igual a cero.
Al sustituir cualquier valor de x, a excepción de nuestras soluciones, obtenemos un producto de dos números diferentes de cero, lo que significa que el producto es definitivamente diferente de cero. Por lo tanto, sabemos que nuestras soluciones son las únicas posibles.

Resolver por factorización

Supón que queremos resolver la ecuación x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, entonces todo lo que tenemos que hacer es factorizar x, squared, minus, 3, x, minus, 10 y ¡resolver como lo hicimos antes!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 se puede factorizar como left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
La solución completa de la ecuación es como sigue:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Ahora es tu turno para resolver algunas ecuaciones. Ten en cuenta que ecuaciones diferentes pueden requerir otros métodos de factorización.

Resuelve x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Paso 1. Factoriza x, squared, plus, 5, x como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
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Resuelve x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Paso 1. Factoriza x, squared, minus, 11, x, plus, 28 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Resuelve 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Paso 1. Factoriza 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Resuelve 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Paso 1. Factoriza 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Arreglar la ecuación antes de factorizar

Uno de los lados debe ser cero

Así es como se encuentra la solución de la ecuación x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Resta 40 y suma x.x2+3x40=0Combina teˊrminos semejantes.(x+8)(x5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Resta 40 y suma }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Combina términos semejantes.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Antes de factorizar manipulamos la ecuación de manera que todos los términos estén del mismo lado y el otro lado sea cero. Solo entonces podemos factorizar y utilizar nuestro método de solución.

Eliminar factores comunes

Así es como se encuentra la solución de la ecuación 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0:
2x212x+18=0x26x+9=0Divide entre 2.(x3)2=0Factoriza.x3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Divide entre 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Factoriza.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Todos los términos tenían originalmente un factor común 2, así que dividimos ambos lados entre 2 (el lado cero no se altera), lo que hizo más sencilla la factorización.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Encuentra las soluciones de la ecuación.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

Encuentra las soluciones de la ecuación.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

Encuentra las soluciones de la ecuación.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

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  • Avatar primosaur seedling style para el usuario Alberto Albino Millan
    No entiendo bien este metodo com0 lo puedo facilitar?
    (8 votos)
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    • Avatar duskpin ultimate style para el usuario Rey Diego XIV de Francia
      Mira lo que tienes que hacer es simplemente factorizar las expresiones, recuerda que la factorización es simplemente escribir una expresión algebraica en términos de factores o multiplicación... ahora si nos dicen que esta multiplicación da como resultado 0 por lo menos uno de los factores tiene que tener este valor para que la ecuación sea verdadera. Tu deber es decirnos que valor debe tener por ejemplo la "x" en esta expresión (x-5)(x+6) para que uno de los factores al sustituir la X por este valor se anulen, como por ejemplo si x=5 el producto seria este: (5-5)(5+6) = (0)(1) = 0
      O si por el otro lado x=-6 este seria el producto: (-6+5)(-6+6) = (-1)(0) = 0
      En resumen los pasos que debes de hacer son:
      1.- Factorizar las expresiones
      2.- Buscar posibles valores para las variables que estés trabajando para que al sustituirlas tu resultado sea 0.

      Espero no haberte confundido más :)

      Si tienes mas dudas yo te recomiendo leer otra vez el articulo, para eso esta... se que no lo leerás, esto fue hace dos años, pero para quien lo lea ;)
      (6 votos)
  • Avatar aqualine sapling style para el usuario Gamaliel Bernardino
    ¿como puedo usarlo en mi vida?
    (9 votos)
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  • Avatar marcimus pink style para el usuario Esther  Viviana Ruiz Gonzales
    ¿como podemos afimar que las respuestas es verdad o no?
    (2 votos)
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  • Avatar duskpin sapling style para el usuario Alejandra Carreño
    Me encantó la explicación
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Gisselle Cazar
    La luna esta mas cerca a la tierra que el sol
    (2 votos)
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    • Avatar duskpin ultimate style para el usuario Rey Diego XIV de Francia
      El sol esta a aproximadamente 150 millones de kilómetros de la tierra, aproximadamente 8 minutos luz (Distancia conocida en la Astronomía como Unidad Astronomica)
      mientras que la luna se encuentra a aproximadamente 350 000 kilometros, (cerca de un segundo luz de la tierra), de hecho la luna esta muchísimo mas cerca, tanto que aunque el sol tenga 40 veces el tamaño de la luna al estar tan distante, (40 veces mas lejos el también) parecen tener el mismo tamaño aparente, si la luna estuviera mas lejos que el sol no veríamos los eclipses como los conocemos (la luna interponiéndose entre la tierra y el sol) :)
      (2 votos)
  • Avatar leafers tree style para el usuario Patricio Wong Guerrero
    ¿para que me sirve al comprar pan?
    (2 votos)
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  • Avatar male robot donald style para el usuario guimaraesamcoarucayali
    gracias , a esto puedo mejorar mi velocidad en el desarrolo de las ecuaciones
    (2 votos)
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  • Avatar marcimus pink style para el usuario Esther  Viviana Ruiz Gonzales
    ¿como podemos afimar que las respuestas es verdad o no?
    (1 voto)
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  • Avatar mr pants teal style para el usuario Daniel  Tobon
    las maines son hertzens :
    (1 voto)
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  • Avatar duskpin seedling style para el usuario naomi.roman1
    duda con el ejercicio 4x al cuadrado +4x +1. de donde salio el 1 que se factorizo del 4x
    (1 voto)
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