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Contenido principal

Resolver cuadráticas al sacar raíces cuadradas

Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas como x^2=36 o (x-2)^2=49.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta ahora has resuelto ecuaciones lineales, que incluyen términos constantes (números) y términos con la variable elevada a la primera potencia left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Ahora aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas, lo cual incluye términos en los que la variable está elevada a la segunda potencia, x, squared.
Aquí hay algunos ejemplos de tipos de ecuaciones cuadráticas que aprenderás a resolver:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
Ahora pongamos manos a la obra.

Resolver x, squared, equals, 36 y ecuaciones similares

Supón que queremos resolver la ecuación x, squared, equals, 36. Primero verbalicemos lo que la ecuación nos está pidiendo encontrar. Nos preguntan qué número multiplicado por sí mismo es igual a 36.
Si esta pregunta te parece familiar, es porque esta es la definición de la raíz cuadrada de 36, lo cual se expresa matemáticamente como square root of, 36, end square root.
Ahora bien, así es como se ve la solución completa de la ecuación:
x2=36x2=36Saca la raıˊz cuadrada.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Revisemos lo que hicimos para encontrar la solución.

Lo que quiere decir el signo plus minus

Observa que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa. Por ejemplo, ambos 6 y minus, 6, cuando se elevan al cuadrado, son iguales a 36. Por lo tanto, esta ecuación tiene dos soluciones.
El signo plus minus es solo una forma eficiente de representar este concepto matemáticamente. Por ejemplo, plus minus, 6 significa "6 o minus, 6".

Una nota sobre operaciones inversas

Cuando resolvemos ecuaciones lineales, despejamos la variable al usar operaciones inversas: si la variable tiene un 3 sumado a ella, restamos 3 de ambos lados. Si la variable estuviera multiplicada por 4, dividiríamos ambos lados entre 4.
La operación inversa de elevar al cuadrado es sacar la raíz cuadrada. Sin embargo, a diferencia de otras operaciones, cuando sacamos la raíz cuadrada debemos recordar sacar la raíz cuadrada positiva y la negativa.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Problema 1
Resuelve x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Resuelve x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Resuelve x, squared, equals, 5.
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Resolver left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 y ecuaciones similares

Aquí te mostramos cómo encontrar la solución de la ecuación left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49:
(x2)2=49(x2)2=49Saca la raıˊz cuadrada.x2=±7x=±7+2Suma 2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{Suma 2.}\end{aligned}
Por lo tanto, las soluciones son x, equals, 9 y x, equals, minus, 5.
Revisemos lo que hicimos para encontrar la solución.

Despejar x

Al usar la operación inversa de sacar la raíz cuadrada, eliminamos el signo de cuadrado. Esto fue importante para despejar x, pero todavía tuvimos que sumar 2 en el último paso para verdaderamente despejar x.

Entender las soluciones

Nuestro trabajo terminó con x, equals, plus minus, 7, plus, 2. ¿Cómo deberíamos entender esa expresión? Recuerda que plus minus, 7 significa "plus, 7 o minus, 7". Por lo tanto, deberíamos separar nuestra respuesta de acuerdo a los dos casos: x, equals, 7, plus, 2 o x, equals, minus, 7, plus, 2.
Esto nos da las dos soluciones x, equals, 9 y x, equals, minus, 5.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Problema 4
Resuelve left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25.
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Problema 5
Resuelve left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9.
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Problema 6
Resuelve left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7.
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¿Por qué no debemos desarrollar el paréntesis?

Regresemos a nuestra ecuación de ejemplo, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. Supón que queremos desarrollar el paréntesis. Después de todo, esto es lo que hacemos en ecuaciones lineales, ¿verdad?
Desarrollar el paréntesis da por resultado la siguiente ecuación:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Si queremos sacar la raíz cuadrada en esta ecuación, tenemos que sacar la raíz cuadrada de la expresión x, squared, minus, 4, x, plus, 4; pero no está claro que square root of, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end square root pueda volver a escribirse como una expresión amigable.
En contraste, al sacar la raíz cuadrada de expresiones como x, squared o left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared obtenemos lindas expresiones como x o left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Por lo tanto, es muy útil tener las ecuaciones cuadráticas factorizadas, porque esto nos permite sacar la raíz cuadrada.

Resolver 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 y ecuaciones similares

No todas las ecuaciones cuadráticas se resuelven al sacar la raíz cuadrada inmediatamente. Algunas veces tenemos que despejar el término cuadrado antes de sacar su raíz.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 primero debemos aislar x, squared. Hacemos esto exactamente como aislaríamos el término x en una ecuación lineal.
2x2+3=1312x2=128Resta 3.x2=64Divide entre 2.x2=64Saca la raıˊz cuadrada.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{Resta 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{Divide entre 2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{Saca la raíz cuadrada.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Problema 7
Resuelve 3, x, squared, minus, 7, equals, 5.
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Problema 8
Resuelve 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38.
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Problema de desafío
Resuelve x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
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