Introducción al teorema de Pitágoras. Parte 2

hablemos ahora del que es por mucho el teorema más famoso de todas las matemáticas y me estoy refiriendo al teorema de pitágoras teorema teorema d pitágoras teorema de pitágoras y tiene que ver con triángulos rectángulos triángulos que tienen un ángulo de 90 grados de la manera como lo dibujé aquí este es el ángulo de 90 grados y la manera distinguir un ángulo de 90 grados si nunca has visto uno antes es si este lado va de izquierda a derecha este otro lado va de abajo arriba son perpendiculares estos lados este ángulo de 90 grados o un ángulo recto y el teorema de pitágoras nos dice que si estamos trabajando con un triángulo rectángulo déjame escribir esto este es un triángulo rectángulo no es un triángulo chueca ángulo es un triángulo rectángulo un triángulo que tiene un ángulo recto un triángulo en el cual uno de sus ángulos mide 90 grados entonces la relación que tiene entre sus lados es la siguiente si este lado le llamamos a a este lado le llamamos b y este lado le llamamos ce y aquí lo importante es notar que este lado ce es el que es opuesto al ángulo de 90 grados es muy importante tomar en cuenta la disposición de los lados el teorema de pitágoras nos dice que si y sólo si éste es un triángulo rectángulo entonces se cumple que a cuadrada más b cuadrada va a ser igual a se cuadrada y la manera de aplicar esta información es si conocemos dos de estos podemos aplicar el teorema de pitágoras para encontrar con esta fórmula el tercer lado revisemos más terminología el lado más largo de este triángulo rectángulo este lado de aquí el opuesto al ángulo recto este lado designado por la letra sea aquí se llama hipotenusa o te usa una palabra demandante para un concepto tan simple el lado más largo de un triángulo rectángulo de lo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa ahora que ya conocemos el teorema de pitágoras vamos a aplicarlo vamos a usarlo porque bueno una cosa es conocer algo y otra cosa mucho más entretenida es aplicarlo digamos que tenemos el siguiente triángulo déjame dibujarlo mucho más claro tenemos este triángulo es un triángulo rectángulo y supongamos que este lado tiene una longitud de 9 y este otro lado una longitud de 7 y que queremos saber cuál la longitud de este lado llamémosle lado se como ya vimos en este caso se es la hipotenusa es el lado más largo y como ya sabemos la suma de los cuadrados de estos dos lados va a ser igual al cuadrado de ese entonces por el teorema de pitágoras tenemos que 9 al cuadrado más 7 al cuadrado va a ser igual a se cuadrada 9 al cuadrado es igual a 81 más 7 al cuadrado es igual a 49 y esto cuando nos va a dar 81 49 80 más 40 y 120 19 10 esto va a ser igual a 130 deja de poner lo mejor de esta manera esto de aquí es igual a 130 y aquí tenemos que esto va a ser igual a c cuadrada entonces cuál es el valor de c déjame escribirlo por aquí tenemos que ser cuadrada es igual a 130 o lo que equivale a c igual a la raíz cuadrada de 130 y observa que solo estoy tomando la raíz principal pues al ser una distancia tiene que ser positiva no podemos tomar la raíz negativa por lo que estamos tomando la raíz principal vamos a tratar de simplificar el radical extrayendo sus factores 130 lo podemos descomponer como 2 por 65 a la vez que 65 lo podemos descomponer como 5 por 13 todos los factores de 130 son primos por lo cual no podemos simplificar más este valor ya está en su forma más simple por lo cual se es igual a la raíz cuadrada de 130 hagamos otro de estos problemas voy a dejar la cultura de pitágoras para que veamos a qué nos estamos refiriendo y voy a hacer mi triángulo por acá supongamos que tenemos un triángulo que se ve más o menos así veamos este es ahora nuestro triángulo este es nuestro ángulo recto y supongamos que este lado de aquí le voy a llamar a este lado de aquí tiene una longitud de 21 mientras que este otro lado tiene una longitud de 35 y quizás de buenas a primeras podrías decir bueno para encontrar a lo que hago es sumo 21 al cuadrado más 35 al cuadrado y así puede encontrar pero observa que en este caso 35 es la hipotenusa aquí que es igual a 35 es el lado más largo de este triángulo rectángulo en este caso el teorema de pitágoras nos dice que a cuadrada más el cuadrado del otro lado del otro lado corto en este caso 21 más 21 al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa que en este caso es 35 al cuadrado tienes que recordar siempre que la se cuadra da a la cual se refiere el teorema es el lado más largo del triángulo el lado opuesto al ángulo recto este es el lado que está opuesto al ángulo recto así a cuadrada más 21 al cuadrado es igual a 35 al cuadrado que tenemos entonces 1 al cuadrado estoy tentado a sacar la calculadora pero no voy a hacerlo a mano 21 x 21 es igual 1 por 21 21 tenemos cero aquí 2 por 21 es 42 esto nos da 441 35 al cuadrado de nueva cuenta atentado a usar la calculadora pero no 35 por 35 5 por 5 25 llevamos 25 por 315 y 2 17 17 bajamos un 0 3 por 5 15 llevamos 13 x 39 y una 10 hacemos la suma 11 no voy a hacerlo como debe ser 5 y 0 5 7 y 5 12 llevamos una una y una son 2 y 11 mil 225 que tenemos entonces tenemos que a cuadrada más 441 es igual a 35 al cuadro que es mil 225 restamos entonces 441 de ambos lados estamos 451 ambos lados y tenemos aquí esto se hace 0 sólo nos queda cuadrada y del lado derecho que nos queda vamos a hacer esta diferencia tenemos 1 para 54 ahora vamos a restar no mejor voy a hacerlo más claro déjame escribir esto más claro vamos a recitar entonces 441 ambos lados del lado izquierdo se cancelen nos queda a cuadrada del lado derecho que tenemos vamos a hacer la diferencia 1 si es menor a 54 no es menor a 2 tenemos que tomar prestado 1 para que esto sea entonces 12 luego tenemos que 4 no es menor a 1 entonces de nueva cuenta tomamos prestado 1 para poner este de acá como 11 y ahora si hacemos la resta 1 para 5 es 4 4 para 12 es 8 y 4 para 11 es 7 cuadrada es igual a 784 y esto equivale a que a es igual a la raíz de 784 y de nueva cuenta estoy tentado a sacar la calculadora pero no no la voy a sacar descomponga mos 784 en factores tenemos que esto es 2 x 392 y dos por 392 es igual a 784 de acuerdo luego a 392 lo podemos descomponer como 2 por 196 196 dejame checar 2 % 90 382 por 612 si es 392 y luego 196 los componemos como 2 por 2 x 98 2 por 98 nos da 196 sigamos hacia abajo 98 es 2 por 49 2 por 49 y 49 ya sabemos a que es igual que tenemos aquí 2 por 2 por 2 por 22 a la cuarta que es 16 por lo cual es igual a la raíz cuadrada de 16 por 49 y elegí estos números porque ambos son cuadrados perfectos y esto es igual a la raíz de 16 que es 4 por la raíz de 49 que es 7 4 por 7 es 28 así que este lado de aquí es igual a 28 por el teorema de pitágoras hagamos uno más de estos problemas nunca está de más seguir practicando dibujemos entonces otro triángulo ahora lo va a ser grande este es mi triángulo aquí tenemos el ángulo recto y digamos que este lado mide 24 este lado 12 y este lado lo llamamos b de nueva cuenta identificamos cuál es el lado más largo el lado opuesto al ángulo de 90 grados y podría decir bueno yo no sé si es el lado más largo no conozco ve como sé que este es el más largo en estos casos ya sabemos que es el lado opuesto al ángulo de 90 grados así que si esta es la hipotenusa entonces este al cuadrado más este al cuadrado va a ser igual a 24 al cuadrado por el teorema de pitágoras tenemos que b cuadrada más 12 al cuadrado es igual a 24 al cuadrado ahora restando 12 al cuadrado ambos lados tenemos del lado izquierdo es igual adecuada del lado derecho es igual a 24 al cuadrado menos 12 al cuadrado 12 al cuadrado de 144 así es que b es igual a la raíz de 24 al cuadrado menos 12 al cuadrado nuevamente intentado usar la calculadora y voy a caer en la tentación hagámoslo el último que hicimos fue tan doloroso aún me estoy recuperando que tenemos entonces la raíz de 24 al cuadro menos 12 al cuadrado esto es igual a 24 78 déjame hacerlo por partes vamos a sacar primero 24 al cuadrado menos 12 al cuadrado esto nos da igual a 432 b es igual entonces a la raíz cuadrada de 432 y factor hicimos esto en nueva cuenta ya vimos cuál es el resultado pero quizás podemos simplificar el radicando así que esto es igual a 2 por 216 y 216 creo que es un cuadro perfecto déjame checar la raíz cuadrada de 216 no no es cuadrado perfecto continuemos con el proceso 216 lo puede escribir como 2 por ciento 8 108 puede escribir como 4 por deja de ver 4 por 25 100 por 27 4 por 27 y 27 lo puede subir como 9 por 3 que tenemos aquí 2 por 2 por 4 esto es 16 esto de aquí es 16 9 y 3 está bien déjame checar lo estoy usando una calculadora distinta 16 por 9 por 3 es igual a 432 entonces b es igual a la raíz cuadrada de 16 por 9 por 3 lo cual es igual la raíz cuadrada 16 es igual a 4 la raíz de nueve es 3 y luego nos queda dentro el radical 3 esto va a ser igual a 12 raíz de 3 tenemos entonces que b es igual a 12 raíz de 3 espero que esto te haya sido útil