Evaluar exponentes fraccionarios

Nosotros ya hemos visto a qué nos referimos, cuando estamos tratando de sacar 64 elevado a la potencia 1/3 ¿ok? Y esto lo que significa es simplemente que tenemos que encontrar la raíz cúbica del número 64. ¿Ok? O sea tenemos que encontrar un número que si lo multiplicamos por sí mismo 3 veces nos da 64. Ahora por otro lado, nosotros sabemos que si tomamos el 4 y lo multiplicamos por sí mismo 3 veces, o sea multiplicamos 4, por 4, por 4 o sea elevamos el 4 a la tercera potencia, lo que obtenemos es 4 por 4 = 16 por 4 = 64. Entoncesm esto nos dice que 4 es justo ese número que si lo multiplicamos por sí mismo 3 veces... 3 veces, nos da 64, así es que esta raíz cúbica de 64 es igual a 4 o sea 64 elevado a la 1/3 es 4. Ahora, lo que vamos a hacer ahorita, es hacer esto mismo, pero un poquito más complicado aunque con exponentes más complejos, aquí este exponente es una fracción pero su numerador es un 1, y eso es justo lo que vamos a cambiar ¿ok? Ahora nos interesa saber qué pasa cuando queremos encontrar 64 elevado a la potencia 2/3, ¿Ok? Y para hacer eso, vamos a usar una propiedad de los exponentes, que vamos a ver más a fondo más adelante pero, que podemos ver rápidamente ahorita. Digamos con un número sencillo, pongamos por ejemplo un 2, ok, tenemos aquí el 2 y digamos que tenemos elevado este 2 a la potencia 3, y después todo este nuevo número que es 2 a la 3, que es 8, lo tenemos elevado a la potencia 4, ¿ok? hay una propiedad de los exponentes que nos dice que este número es igual a tomar la base, que es este número 2, y elevarlo a la potencia 3 por 4 ¿ok? 3 por 4 es 12, entonces esto es igual a tomar el 2 y elevarlo a la potencia 12. Ok, tenemos un número, ese número lo estamos elevando a la potencia 3, y luego todo ese númerote lo estamos elevando a la potencia 4, y eso es exactamente igual a tomar ese número, que es el 2 y elevarlo a la potencia de... esta potencia, por esta potencia, o sea 3 por 4 que es 12. Bueno pero esto lo podemos ver también como 2 elevado a la potencia 4 por 3, y esto lo podemos ver como, hacer digamos lo inverso a lo que hicimos aquí. Esto lo podemos ver como 2 elevado a la 4 y todo eso elevado a la 3. Y bueno, justo esto es lo que queremos usar por acá, porque 2/3 lo podemos ver como 1/3 multiplicado por 2 ¿no? Entonces esto de aquí lo podemos ver como 64 elevado a la potencia 1/3 y después todo esto elevado al cuadrado, porque mira, 64 elevado a la 1/3 y después al cuadrado es igual a 64 elevado a la 1/3 por 2 y eso es exactamente igual a 64 elevado a las 2/3. Entonces estas 2 cosas son iguales, pero nosotros ya sabemos cuánto vale, 64 elevado a la 1/3 lo tenemos por aquí... Entonces 64 elevado a la 2/3 es 64, elevado a la 1/3, que es como vimos por aquí, 4... 4, esto es igual a 4 y después tenemos que elevarlo al cuadrado... al cuadrado ¿ok? 64 a la 2/3 es 4 al cuadrado, que es 4 por 4 = 16. Ahora como yo lo pienso, es tal cual tengo aquí la expresión, 64 a la 2/3 y yo sin tener que escribir todo esto, simplemente digo, 64, vamos a tomar primero la raíz cúbica... raíz cúbica de 64 es 4 y después elevamos al cuadrado, entonces 4 al cuadrado es 16 y listo. Bueno vamos con otro problema, este problema te recomiendo que lo hagas tú solito, y ya después cheques lo que hicimos nosotros como solución, y voy a tratar de ponerle colores bonitos. Entonces a ver, 8 entre 27 elevado a la -2/3 ¿Ok? Así es que ya sabes ponle pausa, hazlo tú en tu cuaderno y luego lo pones play. Bueno vamos a resolverlo paso a paso. Aquí para hacer esto lo primero que hago es fijarme en el signo del exponente, aquí tenemos un menos y esto lo que nos dice es que tomemos el recíproco de la base ¿Ok? O sea tomemos 1 entre 8 entre 27 y eso lo único que hace es cambiar el numerador con el denominador, o sea que aquí nos queda 27 entre 8 y el exponente lo dejamos tal cual, pero en su forma positiva, ok, ya no va a ser - 2/3, va a ser simplemente 2/3, Así es que aquí nos queda elevado a la potencia 2/3. ¿Y cómo le vamos a hacer para resolver esto? Pues vamos a usar una propiedad de los exponentes super importante que ya vimos, que lo que nos dice es que si tenemos una fracción elevada a otro exponente, eso es igual a tomar el numerador 27 y elevarlo al exponente, o sea elevar 27 a la 2/3 y dividirlo entre el denominador... denominador... elevado a la misma potencia, o sea elevarlo a la 2/3. Bueno, ahora lo que tenemos que hacer, es ver qué significan cada una de estas expresiones, y para hacer eso vamos a usar esto mismo que acabamos de ver. Esta otra propiedad de la siguiente forma. ¿Ok? Tenemos por aquí 27 elevado a la potencia 2/3 eso por esta propiedad es exactamente igual a 27 elevado a la 1/3 y luego todo este número elevado al cuadrado y lo mismo le pasa a este 8 a la 2/3, esto es exactamente igual a 8 elevado a la 1/3 y luego todo este número, elevado al cuadrado. Y ahora sí ya podemos resolver cada una de estas cosas, por que para encontrar 27 a la 1/3 lo único que tenemos que hacer es encontrar ese número, que si lo multiplicamos por sí mismo 3 veces, nos da 27. Y seguramente te viene a la cabeza justo el número adecuado porque 3 por 3, por 3, o sea 3 multiplicado por sí mismo 3 veces es igual a 3 por 3 = 9 por 3 = 27. Entonces este número de aquí, la raíz cúbica de 27 es igual a 3, entonces, este numerador se convierte en 3 elevado al cuadrado, porque este 3 es igual a lo que está dentro de este paréntesis, y este paréntesis lo estamos elevando al cuadrado. Y bueno, lo mismo pasa con el denominador. Tenemos 8 elevado a la 1/3, estamos buscando entonces la raíz cúbica de 8 y ese número, a ver dime ¿cuál es? Pues tenemos que 2 por 2 por 2 es 8. Entonces 8 elevado a la 1/3, o sea lo que está dentro de estos paréntesis es un 2 pero, estamos elevando a 8 a la 1/3 al cuadrado. Entonces por aquí nos queda 2 al cuadrado. ¡Y Listo! Ya terminamos de encontrar este número ¿Ok? 3 al cuadrado es 9 y lo estamos dividiendo entre 2 al cuadrado, que es 4, Muy bien. Entonces ya viste si organizamos nuestras ideas de una forma adecuada y usamos las propiedades de los exponentes, estos números se vuelven súper sencillos.