En el paso 4 del ejercicio 4 hay un error en la respuesta final, ya que la restricción es en realidad 2 y no -3.

Lo siento, pero si simplificas (X+3), entonces la restriccion que tienes que indicar es que x no puede tomar el valor -3. El ejercicio no tiene errores.

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Curso: 4° Semestre Bachillerato > Unidad 1

Lección 1: Simplificación de expresiones racionales

Reducir expresiones racionales a su mínima expresión

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Aprende qué significa reducir una expresión racional a su mínima expresión, ¡y cómo hacerlo!

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. El dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hagan que su denominador sea igual a cero.

Por ejemplo, el dominio de la expresión racional

\frac{x + 2}{x + 1}

es: todos los números reales, excepto $-1$ ‍, o sea

x \neq - 1

Si esto es nuevo para ti, recomendamos que leas nuestra Introducción a las expresiones racionales.

También debes saber cómo factorizar polinomios para esta lección.

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo aprenderemos a reducir expresiones racionales a su mínima expresión con varios ejemplos.

Introducción

Una expresión racional se reduce a su mínima expresión si el numerador y el denominador no tienen factores en común.

Podemos reducir expresiones racionales a su mínima expresión de una manera parecida a como reducimos las fracciones numéricas a su mínima expresión.

Por ejemplo,

\frac{6}{8}

reducida a su mínima expresión es

\frac{3}{4}

. Observa cómo cancelamos un factor común de

2

del numerador y el denominador:

\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}

Ejemplo 1: Reducir $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍ a su mínima expresión

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador

¡La única manera de ver si el numerador y el denominador comparten factores comunes es factorizarlos!

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Paso 2: lista los valores restringidos

En este punto es útil observar si hay algunas restricciones para

x

. Estas se trasladarán a la expresión simplificada.

Como la división entre

0

es indefinida, aquí vemos que

x \neq 0

x \neq - 5

\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Paso 3: cancela factores comunes

Ahora observa que el numerador y el denominador tienen un factor común de

x

. Este se puede cancelar.

\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}

Paso 4: respuesta final

Recuerda que la expresión original está definida para

x \neq 0, - 5

. La expresión reducida debe tener las mismas restricciones.

Debido a esto, debemos notar que

x \neq 0

. No necesitamos notar que

x \neq - 5

, pues esto ya se entiende por la expresión.

Expresión original:

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Expresión reducida:

\frac{x + 3}{x + 5}

Observa que

x = - 5

hace que ambos denominadores sean

0

, así que no es una entrada válido. Sin embargo, esto ya está implícito en cada una de las expresiones.

En contraste, si no indicamos que

x \neq 0

para la expresión reducida, entonces

x = 0

sería un valor de entrada válido, pues

\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}

Como la expresión evaluada para

x = 0

debe ser indefinida (ver la expresión original), debemos restringir esto en el dominio.

En conclusión, la forma reducida se escribe así:

\frac{x + 3}{x + 5}

para

x \neq 0

Una observación sobre expresiones equivalentes

Expresión original	Expresión reducida
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Las dos expresiones de arriba son equivalentes. Esto significa que sus salidas son iguales para todos los valores posibles de

x

. La siguiente tabla ilustra esto para

x = 2

	Expresión original		Expresión reducida
Evaluación en $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Nota	El resultado ya está reducido a su mínima expresión al cancelar un factor común $2$ ‍.		El resultado ya está reducido a su mínima expresión porque el factor de $x$ ‍ (en este caso $x = 2$ ‍), ya estaba cancelado cuando redujimos la expresión a su mínima expresión.

Por esta razón, las dos expresiones tienen el mismo valor para la misma entrada. Sin embargo, los valores que hacen que la expresión original sea indefinida, son excepciones a esta regla. Observa que este es el caso para

x = 0

	Expresión original		Expresión reducida (sin restricción)
Evaluación en $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = indefinida \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Como las dos expresiones deben ser equivalentes para todas las entradas posibles, debemos requerir que

x \neq 0

en la expresión reducida.

Alerta sobre una idea errónea

Observa que no podemos cancelar

x

en la siguiente expresión. Esto porque ¡son términos, y no factores en los polinomios!

\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}

Esto es evidente si vemos un ejemplo numérico. Por ejemplo, supongamos que

x = 2

\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq \frac{3}{5}

Por regla general, solo podemos cancelar ¡si el numerador y el denominador están en forma factorizada!

Resumen del proceso para reducir a la mínima expresión

Paso 1: Factorizar el numerador y el denominador.
Paso 2: Enumerar los valores restringidos.
Paso 3: Cancelar los factores comunes.
Paso 4: Reducir a la mínima expresión y observar los valores restringidos no implícitos en la expresión.

Comprueba tu comprensión

Problema 1

Reduce $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍ a su mínima expresión.

Problema 2

Reduce $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍ a su mínima expresión.

para

x \neq

Ejemplo 2: Reducir $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍ a su mínima expresión

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

Para factorizar el numerador, podemos utilizar el patrón de diferencia de cuadrados:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Así, tenemos que:

\begin{aligned} x^{2} - 9 & = x^{2} - 3^{2} \\ = (x + 3) (x - 3) \end{aligned}

Podemos factorizar el denominador con el patrón de suma-producto.

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

Para factorizar

x^{2} + 5 x + 6

, podemos encontrar factores de

6

que sumen

5

. Puesto que

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

, el polinomio se puede factorizar como

(x + 2) (x + 3)

Paso 2: lista los valores restringidos

Como la división entre

0

es indefinida, aquí vemos que

x \neq - 2

x \neq - 3

\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

Paso 3: cancela factores comunes

Observa que el numerador y el denominador tienen un factor común de

x + 3

. Este se puede cancelar.

\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}

Paso 4: respuesta final

Escribimos la forma reducida de esta manera:

\frac{x - 3}{x + 2}

para

x \neq - 3

La expresión original requiere que

x \neq - 2, - 3

. No necesitamos notar que

x \neq - 2

, pues esto ya se entiende por la expresión.

Comprueba tu comprensión

Problema 3

Reduce $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍ a su mínima expresión.

Problema 4

Reduce $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍ a su mínima expresión.

para

x \neq

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Mencoscastañedalauraandrea
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Hay alguna forma de encon...” de Mencoscastañedalauraandrea
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JONATH
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “En el paso 4 del ejercici...” de JONATH
En el paso 4 del ejercicio 4 hay un error en la respuesta final, ya que la restricción es en realidad 2 y no -3.
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Respuesta
- Raul Juarez
  Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Lo siento, pero si simpli...” de Raul Juarez
  Lo siento, pero si simplificas (X+3), entonces la restriccion que tienes que indicar es que x no puede tomar el valor -3. El ejercicio no tiene errores.
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Lopez Jimenez Maria Esmeralda
Publicado hace hace 5 meses. Enlace directo a la publicación “Hay alguna forma de encon...” de Lopez Jimenez Maria Esmeralda
Hay alguna forma de encontrar la restricción sin tanto procedimiento
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